2019版数学浙江省学业水平考试专题复习选修2-1-§3

知识点一 双曲线定义 平面内与两个定点 F1 F2的距离的差的绝对值等于非零常数 小于 F1F2 的点的轨迹叫做双 曲线 这两个定点叫做双曲线的焦点 两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 集合 P M MF1 MF2 2a F1F2 2c 其中 a c 为常数且 a 0 c 0 1 当 2a F1F2 时 P 点不存在 知识点二 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 1 a 0 b 0 x2 a2 y2 b2 1 a 0 b 0 y2 a2 x2 b2 图形 范围 x a 或 x a y Rx R y a 或 y a 对称性对称轴 坐标轴 对称中心 原点 顶点A1 a 0 A2 a 0 A1 0 a A2 0 a 渐近线 y x b a y x a b 离心率 e e 1 其中 c c aa2 b2 性质 实虚轴 线段 A1A2叫做双曲线的实轴 它的长 A1A2 2a 线段 B1B2叫做双曲 线的虚轴 它的长 B1B2 2b a 叫做双曲线的半实轴长 b 叫做双曲 线的半虚轴长 a b c 的关系c2 a2 b2 c a 0 c b 0 知识点三 有关双曲线的计算 证明 1 待定系数法求双曲线方程的常用方法 与双曲线 1 共渐近线的可设为 0 x2 a2 y2 b2 x2 a2 y2 b2 若渐近线方程为 y x 则可设为 0 b a x2 a2 y2 b2 若过两个已知点则设为 1 mn0 b 0 的一条渐近线的斜率为 x2 a2 y2 b2 b a b2 a2 c2 a2 a2e2 1 题型一 双曲线的定义 例 1 已知双曲线 x2 1 的两个焦点为 F1 F2 P 为双曲线右支上的一点 若 y2 24 PF1 PF2 则 F1PF2的面积为 4 3 A 48 B 24 C 12 D 6 答案 B 解析 由双曲线的定义可得 PF1 PF2 PF2 2a 2 1 3 解得 PF2 6 故 PF1 8 又 F1F2 10 由勾股定理可知 PF1F2为直角三角形 因此 PF1 PF2 24 1 2 PF F SA 1 2 感悟与点拨 利用双曲线的定义时 要特别注意条件 差的绝对值 弄清研究对象是整条双 曲线 还是双曲线的一支 跟踪训练 1 1 已知圆 C1 x 3 2 y2 1 和圆 C2 x 3 2 y2 9 动圆 M 同时与圆 C1及 圆 C2相外切 则动圆圆心 M 的轨迹方程为 2 设过双曲线 x2 y2 9 左焦点 F1的直线交双曲线的左支于点 P Q F2为双曲线的右焦 点 若 PQ 7 则 F2PQ 的周长为 答案 1 x2 1 x 1 2 26 y2 8 解析 1 如图所示 设动圆 M 与圆 C1及圆 C2分别外切于点 A 和 B 根据两圆外切的条件 得 MC1 AC1 MA MC2 BC2 MB MA MB MC1 AC1 MC2 BC2 即 MC2 MC1 BC2 AC1 20 b 0 和椭圆 1 有相同的焦点 且双曲线 x2 a2 y2 b2 x2 16 y2 9 的离心率是椭圆离心率的 2 倍 则双曲线的标准方程为 2 与双曲线 x2 2y2 2 有公共渐近线 且过点 M 2 2 的双曲线的标准方程为 答案 1 1 2 1 x2 4 y2 3 y2 2 x2 4 解析 1 椭圆 1 的焦点为 F1 0 F2 0 离心率为 e x2 16 y2 977 7 4 由于双曲线 1 与椭圆 1 有相同的焦点 x2 a2 y2 b2 x2 16 y2 9 a2 b2 7 又双曲线的离心率 e a2 b2 a 7 a 7 a 2 7 4 7 2 a 2 b2 c2 a2 3 故双曲线的标准方程为 1 x2 4 y2 3 2 x2 2y2 2 化为标准方程得 y2 1 x2 2 设与双曲线 y2 1 有公共渐近线的双曲线方程为 x2 2 y2 k k 0 x2 2 将点 2 2 代入得 k 2 2 2 22 2 双曲线的标准方程为 1 y2 2 x2 4 题型三 双曲线的几何性质 例 3 1 2017 年 4 月学考 过双曲线 1 a 0 b 0 的左顶点 A 作倾斜角为 45 的直线 x2 a2 y2 b2 l l 交 y 轴于点 B 交双曲线的一条渐近线于点 C 若 则该双曲线的离心率为 AB BC A 5 B 5 C D 3 5 2 2 设双曲线 1 a 0 b 0 的右焦点是 F 左 右顶点分别是 A1 A2 过 F 作 A1A2的 x2 a2 y2 b2 垂线与双曲线交于 B C 两点 若 A1B A2C 则该双曲线的渐近线方程为 答案 1 B 2 x y 0 解析 1 由题意可知 设双曲线的右顶点为 D 连接 CD 由题意可知 OA OB OD a OB 是 ADC 的中位线 则 CD 2a 则 C a 2a 将 C 代入双曲线的渐近线方程 y x b a 整理得 b 2a 则该双曲线的离心率 e c a 1 b2 a25 双曲线的离心率为 故选 B 5 2 由题设易知 A1 a 0 A2 a 0 B C c b2 a c b2 a 因为 A1B A2C 所以 1 整理得 a b b2 a c a b2 a c a 因此该双曲线的渐近线方程为 y x 即 x y 0 b a 感悟与点拨 双曲线的几何性质的常考题型为求双曲线的渐近线和离心率 1 对于双曲线的渐近线问题 注意公式中双曲线的焦点所在的坐标轴 当焦点在 x 轴上时 渐近线方程为 y x 当焦点在 y 轴上时 渐近线方程为 y x b a a b 2 对于双曲线的离心率问题 根据条件 建立关于 a b c 的齐次方程 或不等式 然后求解 即可 跟踪训练 3 1 2018 年 4 月学考 双曲线 x2 1 的渐近线方程是 y2 3 A y x B y x 1 3 3 3 C y x D y 3x 3 2 设双曲线 1 b a 0 的焦距为 2c 直线 l 过 A a 0 B 0 b 两点 已知原点到直 x2 a2 y2 b2 线 l 的距离为c 则双曲线的离心率为 3 4 答案 1 C 2 2 解析 2 过点 O 作 AB 的垂线 垂足为 E 如图所示 在 OAB 中 OA a OB b OE c 3 4 AB c a2 b2 因为 AB OE OA OB 所以 c c ab 即 a2 b2 ab 3 4 3 4 两边同除以 a2 得 2 0 3 4 b a b a 3 4 解得 或 舍去 b a3 b a 3 3 所以 e 2 c a a2 b2 a2 1 b a 2 一 选择题 1 2018 年 6 月学考 双曲线 1 的焦点坐标是 x2 16 y2 9 A 5 0 5 0 B 0 5 0 5 C 0 0 D 0 0 7777 答案 A 2 已知双曲线 y2 1 的焦点坐标为 2 0 则此双曲线的渐近线方程是 x2 a2 A y x B y x 5 5 5 C y x D y x 3 33 答案 C 解析 由题意可知 2 a2 1 a 3 双曲线的渐近线方程为 y x x 1 a 3 3 3 若双曲线 1 上点 P 到点 5 0 的距离为 15 则点 P 到点 5 0 的距离为 x2 16 y2 9 A 7 B 23 C 5 或 25 D 7 或 23 答案 D 解析 双曲线 1 x2 16 y2 9 2a 8 5 0 5 0 是双曲线的两个焦点 点 P 在双曲线上 PF1 PF2 8 点 P 到点 5 0 的距离为 15 点 P 到点 5 0 的距离是 15 8 23 或 15 8 7 4 已知双曲线 1 a 0 的实轴长 虚轴长 焦距长成等差数列 则双曲线的渐近线 x2 a2 y2 4 方程为 A y x B y x 5 4 4 5 C y x D y x 3 4 4 3 答案 D 解析 由题意可知实轴长为 2a 虚轴长为 4 焦距长为 2 a2 4 因为实轴长 虚轴长 焦距长成等差数列 则 2a 2 8 解得 a a2 4 3 2 因此双曲线的方程为 1 x2 9 4 y2 4 则双曲线的渐近线方程为 y x 4 3 5 设双曲线 1 的渐近线方程为 3x 2y 0 则 a 的值为 x2 a y2 9 A 4 B 3 C 2 D 1 答案 A 解析 因为方程表示双曲线 所以 an 0 且渐近线方程为 y x 则双曲线的焦点 A 在 x 轴上 B 在 y 轴上 C 在 x 轴或 y 轴上 D 无法判断 答案 A 解析 因为 m n 0 所以点 m n 在第一象限且在直线 y x 的下方 故焦点在 x 轴上 7 2016 年 10 月学考 设双曲线 1 a 0 b 0 的左 右焦点分别为 F1 F2 以 F1为 x2 a2 y2 b2 圆心 F1F2 为半径的圆与双曲线在第一 二象限内依次交于 A B 两点 若 F1B 3 F2A 则该双曲线的离心率是 A B C D 2 5 4 4 3 3 2 答案 C 解析 由题意知 F1B F1A 2c AF2 2c 2a 已知 F1B 2c 3 AF2 6c 6a 即 4c 6a 得 e c a 3 2 8 若双曲线 1 a 0 b 0 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长 则该双曲线的离心 x2 a2 y2 b2 率为 A B 5 C D 2 52 答案 A 解析 焦点 c 0 到渐近线 y x 的距离为 2a 解得 b 2a b a bc a2 b2 又 a2 b2 c2 5a2 c2 离心率 e c a5 9 设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点 且与 C 的一条对称轴垂直 l 与 C 交于 A B 两点 AB 为 C 的实轴长的 2 倍 则 C 的离心率为 A B C 2 D 3 23 答案 B 解析 设双曲线的标准方程为 1 a 0 b 0 x2 a2 y2 b2 由于直线 l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直 因此直线 l 的方程为 x c 或 x c 代入 1 x2 a2 y2 b2 得 y2 b2 c2 a2 1 b4 a2 y 故 AB b2 a 2b2 a 依题意 得 4a 2b2 a 2 e2 1 2 e b2 a2 c2 a2 a23 10 已知 F1 F2分别是双曲线 1 a 0 b 0 的左 右焦点 l1 l2为双曲线的两条渐 x2 a2 y2 b2 近线 设过点 M b 0 且平行于 l1的直线交 l2于点 P 若 PF1 PF2 则该双曲线的离心率为 A B 35 C D 14 2 41 2 14 2 41 2 答案 B 解析 根据题意可得 F1 c 0 F2 c 0 双曲线的渐近线方程 l2为 y x b a 直线 PM 的方程为 y x b b a 联立 可得 x b 2 P b 2 b2 2a F1P b 2 c b2 2a F2P b 2 c b2 2a PF1 PF2 0 F1P F2P 0 b 2 c b2 2a b 2 c b2 2a c2 0 b2 4 b4 4a2 又 a2 b2 c2 b2 4a2 c2 5a2 e 故选 B c a5 二 填空题 11 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2 焦点到渐近线的距离为 6 则该双曲线的离心 率为 答案 3 12 设中心在原点的椭圆与双曲线 2x2 2y2 1 有公共的焦点 且它们的离心率互为倒数 则该椭圆的方程为 答案 y2 1 x2 2 解析 由题意知 双曲线 1 的焦点为 F1 1 0 F2 1 0 离心率 e x2 1 2 y2 1 22 设椭圆的标准方程为 1 a b 0 x2 a2 y2 b2 又 c 1 c a 2 2 a b 1 2a2 c2 椭圆的方程为 y2 1 x2 2 13 已知双曲线 1 a 0 b 0 过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 x2 a2 y2 b2 M N 两点 O 为坐标原点 若 OM ON 则双曲线的离心率为 答案 1 5 2 解析 设右焦点为 F 由条件可得 MF OF 即 c 则 c2 ac a2 0 即 e2 e 1 0 解得 e 由 e 1 可得 e b2 a 1 5 2 1 5 2 14 已知双曲线 1 a 0 b 0 的一条渐近线垂直于直线 l x 2y 5 0 双曲线的 x2 a2 y2 b2 一个焦点在 l 上 则双曲线的方程为 答案 1 x2 5 y2 20 解析 由题意得 2 即 b 2a b a 又焦点 c 0 在 x 2y 5 0 上 所以 c 5 双曲线中 a2 b2 c2 解得 a b 2 55 所以双曲线的方程为 1 x2 5 y2 20 15 已知 A B P 为双曲线 x2 1 上不同的三点 且满足 2 O 为坐标原点 y2 4 PA PB PO 直线 PA PB 的斜率记为 m n 则 m2 的最小值为 n2 4 答案 4 解析 由 2知点 O 为线段 AB 的中点 PA PB PO 设 A x1 y1 P x2 y2 则 B x1 y1 所以 m n y2 y1 x2 x1 y2 y1 x2 x1 故 mn y2 y1 y2 y1 x2 x1 x2 x1 y2 2 y2 1 x2 2 x2 1 由于点 A B P 在双曲线上 所以 x 1 x 1 2 1 y2 1 42 2 y2 2 4 代入上式中 有 mn 4 y2 2 y2 1 1 4 y2 2 y2 1 所以