小学数学简便运算和巧算

小学数学简便运算和巧算 一 数的加减乘除有时可以运用运算定律 性质 或数量间的特殊关系进性较 快的运算这就是简便运算 1 其方法有 一 利用运算定律 性质或法则 1 加法 交换律 a b b a 结合律 a b c a b c 2 减法运算性质 a b c a b c a b c a b c a b c a c b a b c a c b b c a 3 乘法 利用运算定律 性质或法则 交换律 a b b a 结合律 a b c a b c 分配率 a b c a c b c a b c a c b c 4 除法运算性质 a b c a b c a b c a b c a b c a c b a b c a c b c a b c a c b c 前边的运算定律 性质公式很多是由于去掉或加上括号而发生变化的 其 规律是同级运算中 加号或乘号后面加上或去掉括号 后面数值的运算符号 不变 例 1 283 52 117 148 283 117 52 48 400 200 600 运用加法交换律 和结合律 减号或除号后面加上或去掉括号 后面数值的运算符号要改变 例 2 657 263 257 657 257 263 400 263 147 运用减法性质 相当加法交 换律 例 3 195 95 24 195 95 24 100 24 76 运用减法性质 例 4 150 100 42 150 100 42 50 42 92 同上 例 5 0 75 125 8 0 75 8 125 8 6 1000 1006 运用乘法分配律 例 6 125 0 25 8 125 8 0 25 8 1000 2 998 同上 例 7 1 125 0 75 0 25 1 125 0 25 0 75 0 25 4 5 3 1 5 运用 除法性质 例 8 450 81 9 450 9 81 9 50 9 59 同上 相当乘法分配律 例 9 375 125 0 5 375 125 0 5 3 0 5 1 5 运用除法性质 例 10 4 2 0 6 0 35 4 2 0 6 0 35 7 0 35 20 同上 例 11 12 125 0 25 8 125 8 12 0 25 1000 3 3000 运用乘法交 换律和结合律 例 12 175 45 55 27 75 175 75 45 55 27 100 100 27 227 运用加法性 质和结合律 例 13 48 25 3 8 48 8 25 3 6 25 3 450 运用除法性质 相 当加法性质 5 和 差 积 商不变的规律 1 和不变 如果 a b c 那么 a d b d c 2 差不变 如果 a b c 那么 a d b d c a d b d c 3 积不变 如果 a b c 那么 a d b d c 4 商不变 如果 a b c 那么 a d b d c a d b d c 例 14 3 48 0 98 3 48 0 02 0 98 0 02 3 46 1 4 46 和不变 例 15 3576 2997 3576 3 2997 3 3579 3000 579 差不变 例 16 74 6 6 4 7 46 36 7 46 64 7 46 36 7 46 64 36 7 46 100 746 积不变和分配律 例 17 12 25 0 25 12 25 4 0 25 4 49 1 49 商不变 二 拆数法 1 凑整法 19999 1999 198 6 19999 1 1999 1 198 2 2 22202 2 利用规律 7 5 2 3 1 9 2 5 2 5 0 4 7 5 0 4 1 9 1 9 2 5 2 5 0 4 7 5 0 4 7 5 1 9 1 9 2 5 2 5 0 4 0 4 7 5 2 5 1 9 7 5 2 5 2 19 21 2 1992 2005 1992 2005 10000 1 2005 1992 10000 1 0 三 利用基准数 2072 2052 2062 2042 2083 2062x5 10 10 20 21 10311 四 改变 顺序 重新组合 1 215 357 429 581 205 347 419 571 215 357 429 581 205 347 419 571 215 205 429 419 357 347 581 571 40 2 378 5 25 4 0 8 3 78 378 5 25 4 0 8 3 78 378 3 78 25 4 x 5 0 8 100 x100 x4 40000 五 1 求等差连续自然数的和 当加数个数为奇数时 有 和 中间数 x 个 数 当加数个数为偶数时 有 和 首 尾 x 个数的一半 1 3 6 9 12 15 9 5 45 2 1 2 3 4 10 1 10 10 2 55 2 求分数串的和 因为 1 n 1 n 1 1 n n 1 1 n 1 n 1 n n 1 n n 1 所以 1 1 42 1 56 1 72 1 90 1 110 1 6 1 7 1 7 1 8 1 8 1 9 1 9 1 10 1 10 1 11 1 6 1 11 5 66 2 5 6 7 12 9 20 11 30 13 42 15 56 41 400 43 460 1 2 1 3 1 3 1 4 1 4 1 5 1 5 1 6 1 6 1 7 1 7 1 8 1 20 1 21 1 21 1 22 1 2 1 22 5 11 3 变形约分法 求 1 2 2 3 3 4 4 5 12 23 34 45 的值 因为分 母各项是分子各项的 10 倍 所以有 原式 0 1 六 设数法 求 1 0 23 0 34 0 23 0 34 0 65 1 0 23 0 34 0 65 0 23 0 34 的值 设 a 0 23 0 34 b 0 23 0 34 0 65 原式 1 a b 1 b a b ab a ab b a 0 23 0 34 0 65 0 23 0 34 0 65 二 巧算的方法 除运用上面所说的简便方法外 最重要的是抓住题目 特别是应用题 中的数量关系 充分利用逻辑推理 变解法不明为解法明确 把一般问题转化为特殊问题 以小见大 以少见多 以简驭繁 从而达到巧算 的目的 一 利用数的整除特征和某些特殊规律 特殊问题来求解 重在一个 巧 1 一个三位数连续写两次得到的六位数一定能被 7 11 13 整除 为什 麽 解 六位数 abcabc abc 1000 abc abc 1001 1001 7 13 11 六位数 abcabc 必能被 7 11 13 整除 2 六位数 865abc 能被 3 4 5 整除 当这个数最小时 a b c 各是数 字几 解 因为该数能被 4 5 整除 b c 必都是零 要使该数能被 3 整除 它各 位数字和应能 被 3 整除 a 只能是 2 所以 a b c 分别是 2 0 0 3 化简 1 2 3 4 5 6 7 8 7 6 5 4 3 2 1 8 8 1 1 因为 11 11 121 111 111 12321 1111 1111 所以 二 估算法 求 a 1 1 1992 1 1993 1 1994 1 2003 的整数部分 解 用一般通分求他得值太繁琐 可巧用 放缩法 估算 假定除数部分各加数都是 1 1992 则 a 1 12 1992 166 若除数部分各加数都是 1 2003 则 a 1 12 2003 166 11 12 所以它的整数部分是 166 三 正难则反法 直接求解困难时 换个角度从反面求解 1 除了本身 合数的最大因数是多少 一般想法是将其分解质因数求 之 但 这个数很大 做起来很繁琐 巧解 先求它的最小因数 再通过 除 求它的最大因数 因为该数各位 数字和能被 3 整除 所以这个数的最小因数是 3 最大因数是 3 2 某厂人数在 90 110 之间 做工间操排队时 站 3 列正好 站 5 列少 2 人 站 7 列少 4 人 这厂有多少人 解 按所给数值正面求解很难 若换个角度从反面做 把它转化为 该厂工人站 3 列多 3 人 站 5 列多 3 人 站 7 列多 3 人求这厂人数的问题 即求 比 3 5 7 的 最小公倍数多 3 的数是多少 3 5 7 105 105 3 108 人 这厂 有 108 人 四 慎密的逻辑推理 1 幼儿园的小朋友分饼干 每人分 5 块 则差 27 块 每人分 4 块 正好分完 这个 幼儿园有多少小朋友 分了多少饼干 解 一般用方程法 设有 x 个小朋友 5x 4x 27 x 27 饼干为 27 4 108 块 巧解 每人分 4 块 正好分完 每人多分一块 5 块 差 27 块 说明小朋友 为 27 1 27 个 饼干为 27 4 108 块 2 某商店有两个柜台 甲台比乙台的磁带少 120 盒 各卖出 164 盒后 乙剩下的是甲 剩下的 3 倍 求原来两台各有多少盒磁带 一般用方程法 设甲剩 x 台 乙剩 3x 台 3x 164 x 164 120 x 60 3x 180 甲原有 60 164 224 盒 乙原有 180 164 344 盒 推理巧解 因为卖出的数量相等 所以卖出后甲仍比乙少 120 盒 乙 是甲的 3 倍 这就转化为差倍问题了 120 3 1 60 60 3 180 甲原有 60 164 224 盒 乙原有 180 164 344 盒 3 甲乙两人进行骑车比赛 当甲骑到全程的 7 8 时 乙骑到全案程 6 7 这时两人相 距 140 米 如果两人的速度不变 当甲骑到终点时 两人相距多少 解 一般方法 7 8 6 7 49 48 140 7 8 6 7 7840 7840 x 49 48 x 7680 7840 7680 160 米 推理巧解思路 直接求甲到终点时比乙多走多少米 甲走 7 8 时比乙多 走 140 米 甲走 1 8 时比乙多走 140 7 20 米 所以甲走 8 8 全 程 时 比乙多走 140 20 160 米 4 求分母为 40 以内所有自然数的真分数的和 1 2 1 3 2 3 1 4 2 4 3 4 1 5 2 5 3 5 4 5 39 40 解 用通分法求和很繁琐 通过分析数量关系可知 每个加数乘以 2 可 顺次得到 1 2 3 4 39 所以 20 39 2 390 即为所求 5 一正方形 当竖边减少 20 横边增加 2 米时 得到的长方形面积与 原正方形面积相等 求原正方形面积 解 一般思路 因为正方形面积 边长 边长 所以应先求边长 用方程解 设正方形边长为一个单位长度 则面积为一个单位面 积 长方形的 宽为 1 1 20 80 个单位长度 长为 一个单位面积 80 个 单位长度 1 25 个单位长度 与 2 米对应的单位长度为 1 25 1 0 25 个单位长 度 所以正方 形边长 一个单位长度 2 0 25 8 米 正方形面积 8x8 64 平方 米 很繁琐 巧解思路 因竖边减少 20 在原图形上减少的面积与后来因横边 增加 2 米 增 加的面积相等 所以设原正方形边长为 x 米 则 20 x x 80 x 2 x 8 米 正方形面积 8 8 64 平方米 6 某班有 40 名学生 考数学时有 2 人缺考 这 38 人平均分数是 89 这 2 名学生 补考后 两人的平均成绩比全班 40 人的平均成绩多 9 5 分 这两 人的平均成绩 是多少 解 一般从求平均数的共识考虑 用方程解 设这两人的平均成绩 为 x 则 x 89 38 2x 40 9 5 x 99 推理巧解 抓住平均就是移多补少的实质 这两人的平均分 数比全班平均分 数多 9 5 分 把 9 5 2 19 补给 38 名学生 每人增加 0 5 分 所以这两人平均 分 数为 89 0 5 9 5 99 五 注意一般解法的特殊形式 1 求平均数的一般方法 公式法 平均数 总数量 总份数 但当份数 相等时 巧解法 平均数 第一份数量 第二份数量 第 n 份数量 份数 如 某人晨练 第一个 5 分钟的速度是 100 米 分 第二个 5 分钟的速 度是 110 米 分 求他这 10 分钟内的平均速度 一般解法 平均数 100 5 110 5 5 5 105 米 分 因为 份数 相同 可巧解 平均数 100 110 2 105 米 分 2 甲 带着一条狗 乙两人同时从相距 100 千米的两地出发相向而行 甲速度为 6 千米 小时 乙速为 4 千米 小时 狗速为 10 千米 小时 狗碰到 乙时就掉头朝甲走来 碰到甲时又朝乙跑去 直到甲乙两人相遇 这狗走了多少米 解 若分段求出狗与甲 与乙 与甲 与乙 相遇时走的路 程 再加起来是很困难的 一般巧解方法是 从整体考虑 狗走的时间就是甲乙相遇用的时间 所以狗走的时间 100 4 6 10 小时 狗走的路程 10 10 100 千米 这还不算巧 更巧的方法是 从题意可知 甲乙速度和 狗速 并且走 的时间相同 所以 甲乙共走的路程就 狗走的路程 100 千米 总的来看 巧解 就是在一题多解情况下的最佳选择 三 总练习题 用简便方法计算 1 16 题 用多种方 法计算 17 30 题 并指出最巧方法 17 30 题只给出巧解答案 1 925 28 72 75 2 64 125 16 28 3 12 348 25 4 55 55 56 5 3 8 3 75 3 85 3 75 6 55555 55555 11 11 121 111 111 12321 1111 1111 7 18 5 7 5 4 7 8 999 222 333 334 9 4 8 7 5 8 1 2 4 2 7 4 10 8 3 64 1 7 65 11 12 5 36 7 2 3 6 12 43 11 8 860 0 91 13 9 2 7 7 2 9 5 7 5 9 14 1 2 1 6 1 12 1 20 1 30 15 1 1 2 1 3 1 1999 1 2 1 3 1 4 1 2000 1 1 2 1 3 1 2000 1 2 1 3 1 4 1 1999 15 4327 98 16 求 5 10 15 20 200 的和 17 比较 9 10 和 11 12 的大小 提示 有比较分子 比较分母 比较 与 1 的差 比较它们的倒数 变成整数比较 和用真分数特点比较等方法 但 最巧的比较方法是用 规律 比较 分子分母都相差 1 时 分母大的分数大 18 比较 和 的大小 提示 巧法是先比较他们与 1 的差 19 某厂工人植树 若每人植 5 棵 剩 50 棵 若每人植 6 棵 差 40 棵 这厂有多少工人 他们共植多少棵树 巧解 由题意可知 每人多种 1 棵 就多种 50 40 90 棵 所以这场 工人有 90 1 90 人 共植 5 90 50 500 棵 20 张老师用 216 元买钢笔奖励学生 若每支便宜 1 元 可多买 3 支 钢笔原价是多少 巧解 因为总价 单价 数量 所以把 216 分解成两个数相乘有 2 和 108 3 和 72 4 和 54 6 和 36 8 和 27 9 和 24 根据题意 从后两 组数可知每支笔原价是 9 元 21 王华和李明在银行都有存款 原来王比李少 1 6 每人捐出 20 元后 李比王多 25 两人原来存款各是多少 巧解 由王比李少 1 6 可知 李存款是他两存款差的 6 倍 由李比 王多 25 可知 捐出 20 元后李存歀是他两存款差的 5 倍 捐款前后 差 不变 李捐出 20 元后 自己的钱变成 差 的 5 倍 所以 差 是 20 元 李原有钱为 20 6 120 元 王原有钱 120 20 100 元 22 甲乙两消防队共有 338 人 从甲队调出 1 3 从乙队调出 1 7 的和是 78 人 甲乙两队各有多少人 巧解 假设甲乙调出的人数都扩大到 3 倍 则共调出 78 3 234 原 消防队只剩乙队的 4 7 所以原乙消防队有 338 234 4 7 182 人 原甲 队有 338 182 156 人 23 猴吃桃 第一天吃了全部的 1 9 第二天吃余下的 1 8 第三天吃又 余下的 1 7 第八天吃余下的 1 2 第九天吃了一个正好吃完 原 有桃多少个 巧解 从题意可知 每天都吃了总数的 1 9 第二天吃 8 9 1 8 1 9 第三天吃 7 9 1 7 1 9 所以桃子总数为 1 1 9 9 个 24 妈妈给上衣缝纽扣 若每天缝 15 件 比规定日期晚 2 天 每天缝 18 件 就可提前 3 天 这批上衣是多少件 巧解 按工程问题做 2 3 1 15 1 18 450 件 25 一架飞机的燃料最多可用 6 小时 飞机去时顺风 速度为 1500 千米 小时 返回时逆风 速度为 1200 千米 小时 飞机最多飞出多 远就要往 回飞 巧解 按工程问题 相遇问题 思路来解答 按题意转化为往返多 少千米用 6 小时 6 1 1500 1 1200 4000 千米 26 某人卖商品 第一天按 11 元 个的利润卖出 10 个 第二天是五 一 按 5 元 个的利润卖出 11 个 两天卖出的总价 营业总额 相同 求该商 品的进价 巧解 因为总价 利润 进价 个数 第一天利润为 11 10 110 元 第二天若卖 10 个 利润为 5 10 50 元 总额少 60 元 多卖 出一个 利润仅为 5 11 55 元 第二天少得利润 60 5 55 元 所以 一件商 品的进价为 55 元 27 一农民死前立遗嘱 要把 17 头牛分给三个儿子 大儿子得 1 2 二儿子得 1 3 三儿子得 1 9 不得杀或卖 三个儿子不会分 你 应如何分 巧解 17 不是 2 3 9 的倍数 不能安分率分配 应把三个分 率看成分牛时每人得的份数 1 2 1 3 1 9 9 6 2 所以 17 9 6 2 1 头 三个儿子分别应分 9 头 6 头 2 头 另一巧解方法是 三个分率的分母最小公倍数是 18 可以 18 头牛 为单位 1 进行分配 18 1 2 9 18 1 3 6 18 1 9 2 28 学校买进一批白色 彩色粉笔 白色是彩色的 3 倍 开学后平均每 周用 36 盒白色的 8 盒彩色的 几周后 白色的用完 彩色的还剩 36 盒 原 来购进白 彩粉笔各多少盒 巧解 因为白是彩的 3 倍 若每周按比例白 36 盒 彩 12 盒使用 則同时用完 现在每周少用彩笔 12 8 4 盒 可见用了 36 4 9 周 所以 白色 粉笔为 36 9 324 盒 彩色粉笔为 8 9 36 108 盒 29 前六 2 若甲 乙速度不变 狗速变为 15 千米 小时 甲乙两 人相遇时 狗跑了多少千米 巧解 因为狗与两人运动时间相同 所以 路程和时间成正比 x 100 15 10 x 150 千米 30 某蓄水池长 宽 深分别为 10 米 8 米 3 米 一进水管以 0 6 小时使水深达 0 3 米的速度往池内放水 多少时间可放满水池 巧解 思路 水深达到 3 米 就满池了 因为放水速度不变 所以水 深与时间成正比 3 0 3 x 0 6 x 6 小时 或 3 0 3 0 6 6 小时 同学们 快来看博客上的文章吧 它有助于你分析问题和解决问题能力 的提高 大大提高你学习新知识 复习旧知识的效率 老师们 快来看吧 看后会使你增加一些引导学生 复习知识 的方法 从而提高复习效率 文中不妥之处 诚请指正 谢谢 加法类似 交换律 a b b a 结合律 a b c a b c 分配率 a b xc ac bc a b c ac bc 4 除法运算性质 与减法类似 a b c a b c a b c a bxc a b c a c b a b c a c b c a b c a c b c 前边的运算定律 性质公式很多是由于去掉或加上括号而发生变化的 其 规律是同级运算中 加号或乘号后面加上或去掉括号 后面数值的运算符号 不变 例 1 283 52 117 148 283 117 52 48 400 200 600 运用加法交换 律和结合律 减号或除号后面加上或去掉括号 后面数值的运算符号要改 变 例 2 657 263 257 657 257 263 400 263 147 运用减法性质 相当加法交 换律 例 3 195 95 24 195 95 24 100 24 76 运用减法性质 例 4 150 100 42 150 100 42 50 42 92 同上 例 5 0 75 125 8 0 75 8 125 8 6 1000 1006 运用乘法分配律 例 6 125 0 25 8 125 8 0 25 8 1000 2 998 同上 例 7 1 125 0 75 0 25 1 125 0 25 0 75 0 25 4 5 3 1 5 运用 除法性质 例 8 450 81 9 450 9 81 9 50 9 59 同上 相当乘法分配律 例 9 375 125 0 5 375 125 0 5 3 0 5 1 5 运用除法性质 例 10 4 2 0 6 0 35 4 2 0 6 0 35 7 0 35 20 同上 例 11 12 125 0 25 8 125 8 12 0 25 1000 3 3000 运用乘法 交换律和结合律 例 12 175 45 55 27 75 175 75 45 55 27 100 100 27 227 运用加法 性质和结合律 例 13 48 25 3 8 48 8 25 3 6 25 3 450 运用除法性质 相 当加法性质 5 和 差 积 商不变的规律 1 和不变 如果 a b c 那么 a d b d c 2 差不变 如果 a b c 那么 a d b d c a d b d c 3 积不变 如果 a b c 那么 a d b d c 4 商不变 如果 a b c 那么 a d b d c a d b d c 例 14 3 48 0 98 3 48 0 02 0 98 0 02 3 46 1 4 46 和不变 例 15 3576 2997 3576 3 2997 3 3579 3000 579 差不变 例 16 74 6 6 4 7 46 36 7 46 64 7 46 36 7 46 64 36 7 46 100 746 积不变和分配律 例 17 12 25 0 25 12 25 4 0 25 4 49 1 49 商不变 二 拆数法 1 凑整法 19999 1999 198 6 19999 1 1999 1 198 2 2 22202 2 利用规律 7 5 2 3 1 9 2 5 2 5 0 4 7 5 0 4 1 9 1 9 2 5 2 5 0 4 7 5 0 4 7 5 1 9 1 9 2 5 2 5 0 4 0 4 7 5 2 5 1 9 7 5 2 5 2 19 21 2 1992 2005 1992 2005 10000 1 2005 1992 10000 1 0 三 利用基准数 2072 2052 2062 2042 2083 2062x5 10 10 20 21 10311 四 改变 顺序 重新组合 1 215 357 429 581 205 347 419 571 215 357 429 581 205 347 419 571 215 205 429 419 357 347 581 571 40 2 378 5 25 4 0 8 3 78 378 5 25 4 0 8 3 78 378 3 78 25 4 x 5 0 8 100 x100 x4 40000 五 1 求等差连续自然数的和 当加数个数为奇数时 有 和 中间数 x 个 数 当加数个数为偶数时 有 和 首 尾 x 个数的一半 1 3 6 9 12 15 9 5 45 2 1 2 3 4 10 1 10 10 2 55 2 求分数串的和 因为 1 n 1 n 1 1 n n 1 1 n 1 n 1 n n 1 n n 1 所以 1 1 42 1 56 1 72 1 90 1 110 1 6 1 7 1 7 1 8 1 8 1 9 1 9 1 10 1 10 1 11 1 6 1 11 5 66 2 5 6 7 12 9 20 11 30 13 42 15 56 41 400 43 460 1 2 1 3 1 3 1 4 1 4 1 5 1 5 1 6 1 6 1 7 1 7 1 8 1 20 1 21 1 21 1 22 1 2 1 22 5 11 3 变形约分法 求 1 2 2 3 3 4 4 5 12 23 34 45 的值 因为分 母各项是分子各项的 10 倍 所以有 原式 0 1 六 设数法 求 1 0 23 0 34 0 23 0 34 0 65 1 0 23 0 34 0 65 0 23 0 34 的值 设 a 0 23 0 34 b 0 23 0 34 0 65 原式 1 a b 1 b a b ab a ab b a 0 23 0 34 0 65 0 23 0 34 0 65 二 巧算的方法 除运用上面所说的简便方法外 最重要的是抓住题目 特别是应用题 中的数量关系 充分利用逻辑推理 变解法不明为解法明确 把一般问题转化为特殊问题 以小见大 以少见多 以简驭繁 从而达到巧算 的目的 一 利用数的整除特征和某些特殊规律 特殊问题来求解 重在一个 巧 1 一个三位数连续写两次得到的六位数一定能被 7 11 13 整除 为什 麽 解 六位数 abcabc abc 1000 abc abc 1001 1001 7 13 11 六位数 abcabc 必能被 7 11 13 整除 2 六位数 865abc 能被 3 4 5 整除 当这个数最小时 a b c 各是数 字几 解 因为该数能被 4 5 整除 b c 必都是零 要使该数能被 3 整除 它各 位数字和应能 被 3 整除 a 只能是 2 所以 a b c 分别是 2 0 0 3 化简 1 2 3 4 5 6 7 8 7 6 5 4 3 2 1 8 8 1 1 因为 11 11 121 111 111 12321 1111 1111 所以 二 估算法 求 a 1 1 1992 1 1993 1 1994 1 2003 的整数部分 解 用一般通分求他得值太繁琐 可巧用 放缩法 估算 假定除数部分各加数都是 1 1992 则 a 1 12 1992 166 若除数部分各加数都是 1 2003 则 a 1 12 2003 166 11 12 所以它的整数部分是 166 三 正难则反法 直接求解困难时 换个角度从反面求解 1 除了本身 合数的最大因数是多少 一般想法是将其分解质因数求 之 但 这个数很大 做起来很繁琐 巧解 先求它的最小因数 再通过 除 求它的最大因数 因为该数各位 数字和能被 3 整除 所以这个数的最小因数是 3 最大因数是 3 2 某厂人数在 90 110 之间 做工间操排队时 站 3 列正好 站 5 列少 2 人 站 7 列少 4 人 这厂有多少人 解 按所给数值正面求解很难 若换个角度从反面做 把它转化为 该厂工人站 3 列多 3 人 站 5 列多 3 人 站 7 列多 3 人求这厂人数的问题 即求 比 3 5 7 的 最小公倍数多 3 的数是多少 3 5 7 105 105 3 108 人 这厂 有 108 人 四 慎密的逻辑推理 1 幼儿园的小朋友分饼干 每人分 5 块 则差 27 块 每人分 4 块 正好分完 这个 幼儿园有多少小朋友 分了多少饼干 解 一般用方程法 设有 x 个小朋友 5x 4x 27 x 27 饼干为 27 4 108 块 巧解 每人分 4 块 正好分完 每人多分一块 5 块 差 27 块 说明小朋友 为 27 1 27 个 饼干为 27 4 108 块 2 某商店有两个柜台 甲台比乙台的磁带少 120 盒 各卖出 164 盒后 乙剩下的是甲 剩下的 3 倍 求原来两台各有多少盒磁带 一般用方程法 设甲剩 x 台 乙剩 3x 台 3x 164 x 164 120 x 60 3x 180 甲原有 60 164 224 盒 乙原有 180 164 344 盒 推理巧解 因为卖出的数量相等 所以卖出后甲仍比乙少 120 盒 乙 是甲的 3 倍 这就转化为差倍问题了 120 3 1 60 60 3 180 甲原有 60 164 224 盒 乙原有 180 164 344 盒 3 甲乙两人进行骑车比赛 当甲骑到全程的 7 8 时 乙骑到全案程 6 7 这时两人相 距 140 米 如果两人的速度不变 当甲骑到终点时 两人相距多少 解 一般方法 7 8 6 7 49 48 140 7 8 6 7 7840 7840 x 49 48 x 7680 7840 7680 160 米 推理巧解思路 直接求甲到终点时比乙多走多少米 甲走 7 8 时比乙多 走 140 米 甲走 1 8 时比乙多走 140 7 20 米 所以甲走 8 8 全 程 时 比乙多走 140 20 160 米 4 求分母为 40 以内所有自然数的真分数的和 1 2 1 3 2 3 1 4 2 4 3 4 1 5 2 5 3 5 4 5 39 40 解 用通分法求和很繁琐 通过分析数量关系可知 每个加数乘以 2 可 顺次得到 1 2 3 4 39 所以 20 39 2 390 即为所求 5 一正方形 当竖边减少 20 横边增加 2 米时 得到的长方形面积与 原正方形面积相等 求原正方形面积 解 一般思路 因为正方形面积 边长 边长 所以应先求边长 用方程解 设正方形边长为一个单位长度 则面积为一个单位面 积 长方形的 宽为 1 1 20 80 个单位长度 长为 一个单位面积 80 个 单位长度 1 25 个单位长度 与 2 米对应的单位长度为 1 25 1 0 25 个单位长 度 所以正方 形边长 一个单位长度 2 0 25 8 米 正方形面积 8x8 64 平方 米 很繁琐 巧解思路 因竖边减少 20 在原图形上减少的面积与后来因横边 增加 2 米 增 加的面积相等 所以设原正方形边长为 x 米 则 20 x x 80 x 2 x 8 米 正方形面积 8 8 64 平方米 6 某班有 40 名学生 考数学时有 2 人缺考 这 38 人平均分数是 89 这 2 名学生 补考后 两人的平均成绩比全班 40 人的平均成绩多 9 5 分 这两人的 平均成绩 是多少 解 一般从求平均数的共识考虑 用方程解 设这两人的平均成绩为 x 则 x 89 38 2x 40 9 5 x 99 推理巧解 抓住平均就是移多补少的实质 这两人的平均分数比全 班平均分 数多 9 5 分 把 9 5 2 19 补给 38 名学生 每人增加 0 5 分 所以这 两人平均 分 数为 89 0 5 9 5 99 五 注意一般解法的特殊形式 1 求平均数的一般方法 公式法 平均数 总数量 总份数 但当份数 相等时 巧解法 平均数 第一份数量 第二份数量 第 n 份数量 份数 如 某人晨练 第一个 5 分钟的速度是 100 米 分 第二个 5 分钟的速度是 110 米 分 求他这 10 分钟内的平均速度 一般解法 平均数 100 5 110 5 5 5 105 米 分 因为 份数 相同 可巧解 平均数 100 110 2 105 米 分 2 甲 带着一条狗 乙两人同时从相距 100 千米的两地出发相向而行 甲速度为 6 千米 小时 乙速为 4 千米 小时 狗速为 10 千米 小时 狗碰到乙 时就掉头朝甲走来 碰到甲时又朝乙跑去 直到甲乙两人相遇 这 狗走了多少米 解 若分段求出狗与甲 与乙 与甲 与乙 相遇时走的路程 再加起来是很困难的 一般巧解方法是 从整体考虑 狗走的时间就是甲乙相遇用的时间 所以 狗走的时间 100 4 6 10 小时 狗走的路程 10 10 100 千米 这还不算巧 更巧的方法是 从题意可知 甲乙速度和 狗速 并且走的时 间相同 所以 甲乙共走的路程就 狗走的路程 100 千米 总的来看 巧解 就是在一题多解情况下的最佳选择 三 总练习题 用简便方法计算 1 16 题 用多种方法计算 17 30 题 并指出最巧方法 17 30 题只给出巧解答案 1 925 28 72 75 2 64 125 16 28 3 12 348 25 4 55 55 56 5 3 8 3 75 3 85 3 75 6 55555 55555 11 11 121 111 111 12321 1111 1111 7 18 5 7 5 4 7 8 999 222 333 334 9 4 8 7 5 8 1 2 4 2 7 4 10 8 3 6 4 1 7 65 11 12 5 36 7 2 3 6 12 43 11 8 860 0 91 13 9 2 7 7 2 9 5 7 5 9 14 1 2 1 6 1 12 1 20 1 30 15 1 1 2 1 3 1 1999 1 2 1 3 1 4 1 2000 1 1 2 1 3 1 2000 1 2 1 3 1 4 1 1999 15 4327 98 16 求 5 10 15 20 200 的和 17 比较 9 10 和 11 12 的大小 提示 有比较分子 比较分母 比较与 1 的差 比较它们的倒数 变成整数比较 和用真分数特点比较等方法 但最巧 的比较方法是用 规律 比较 分子分母都相差 1 时 分母大的分数大 18 比较 和 的大小 提示 巧法是先比较他们与 1 的差 19 某厂工人植树 若每人植 5 棵 剩 50 棵 若每人植 6 棵 差 40 棵 这厂有多少工人 他们共植多少棵树 巧解 由题意可知 每人多种 1 棵 就多种 50 40 90 棵 所以这场工人有 90 1 90 人 共植 5 90 50 500 棵 20 张老师用 216 元买钢笔奖励学生 若每支便宜 1 元 可多买 3 支 钢 笔原价是多少 巧解 因为总价 单价 数量 所以把 216 分解成两个数相乘有 2 和 108 3 和 72 4 和 54 6 和 36 8 和 27 9 和 24 根据题意 从后两组数可 知每支笔原价是 9 元 21 王华和李明在银行都有存款 原来王比李少 1 6 每人捐出 20 元后 李比王多 25 两人原来存款各是多少 巧解 由王比李少 1 6 可知 李存款是他两存款差的 6 倍 由李比王多 25 可知 捐出 20 元后李存歀是他两存款差的 5 倍 捐款前后 差 不变 李 捐出 20 元后 自己的钱变成 差 的 5 倍 所