第十一章-FIR滤波器的设计.ppt

数字信号处理 电器信息工程学院蔡超峰 引言 IIR数字滤波器设计利用模拟滤波器的设计成果 可以简便 有效地完成数字滤波器的设计 但是IIR系统幅频特性的改善一般是以相位的非线性为代价的 如果对系统有线性相位要求 IIR系统需要增加复杂的相位校正网络 一个离散时间系统H z B z A z 若分母多项式A z 的系数都等于零 那么该系统就变成FIR系统 即显然 系数记为该系统的单位抽样响应 并且当n N 1时 有h n 0 引言 FIR滤波器的优点之一 系统总是稳定的 FIR滤波器的系统函数可以表示为易知 H z 在Z平面上有N 1个零点 z 0是N 1阶极点 因此FIR系统总是稳定的 极点都在单位圆内 FIR滤波器的优点之二 容易实现线性相位 当FIR系统的单位冲激响应满足时 该系统具有线性相位 N为奇数 N为偶数 当FIR系统的单位抽样响应满足对称条件 即 则有令m N 1 n 代入上式则有 由上式可以看出 H z 的零点也是H z 1 的零点 反之亦然 令zk为H z 的一个零点 则 zk 1 zk和1 zk 也是H z 的零点 0 zk 引言 引言 FIR滤波器的优点之三 允许设置多通带 或多阻带 滤波器 FIR滤波器的优点之四 FIR滤波器可以采用FFT方法实现其功能 从而大大提高效率 FIR滤波器的缺点 由于FIR系统只有零点 因此这类系统不像FIR滤波器不像IIR滤波器那样容易取得比较好的通带与阻带衰减特性 要取得较好的衰减特性 一般要求H z 的阶次较高 综合起来看 FIR滤波器具有IIR滤波器没有的许多特点 得到了越来越广泛的应用 第十一章FIR滤波器设计 窗函数法频率抽样法 1 窗函数法 考虑下图所示的低通数字滤波器 假定其幅频响应 Hd j 1 相频特性 0 那么该滤波器的单位冲激响应为 1 1 窗函数法 很显然 这样的系统是非因果的 因此是物理不可实现的 我们可以将hd n 截短并移位得到h n 那么h n 是因果的 且为有限长 长度为M 1 令即可得所设计的滤波器的系统函数 M 2 M 2 移位 1 窗函数法 如果指定H j 相频特性 时 不是令其为0 而是令则有此时hd n 是以n M 2对称的 因此 M 2 M 习题 设计一个FIR低通滤波器 使得所希望的频率响应Hd j 在之间为1 在之间为0 分别取M 10 20 40 观察其幅频响应的特点 解答 给出Hd j 然后为了使得H 0 1 可对h n 归一化 即 1 窗函数法 归一化的单位冲激响应h n 1 窗函数法 M 10 M 20 M 40 相应的幅频响应 吉布斯现象的产生是由于对hd n 的截短所造成的 将无穷长的hd n 仅取长为M 1的一段 相当于在hd n 上施加了长为M 1的矩形窗w n 时域加窗导致频域Hd j 和矩形窗频谱的卷积 1 窗函数法 吉布斯 Gibbs 现象 时域相乘对应于频域卷积 因此幅频响应为 将无限长序列hd n 截短得到得h n 这一过程相当于hd n 和矩形窗wR n 相乘 即矩形窗函数及其频谱为 1 窗函数法 用截止频率为 c的理想低通滤波器为例来进行分析 则有上式中的积分等于 在 c到 c区间内函数WR 与 轴围出的面积 随着 的变化 不同正负 不同大小的旁瓣移入和移出积分区间 使得面积发送变化 即H 的大小产生波动 这就意味着卷积以后得到的幅频响应H 其实就是Hd 经过窗函数处理后轮廓被模糊的表现形式 1 窗函数法 2 N 考察几个特殊的频率点 1 窗函数法 0 c 当 0时 如果 c 2 N H 0 近似等于WR 的全部面积 当 c时 如果 c 2 N 1 窗函数法 c 2 N c 2 N 当 c 2 N时 如果 c 2 N 当 c 2 N时 如果 c 2 N 1 窗函数法 最终得到H j 由上图可知 加窗处理使得得滤波器的频率响应与理想滤波器的频率响应之间产生差异 表现为过渡带和波动的出现 我们希望所设计的滤波器尽量逼近理想滤波器 就要设法减少波动的幅度 同时使过渡带变窄 1 2 1 0895 0 895 1 1 窗函数法 过渡带 过渡带是正负尖峰之间的频带 过渡带的带宽等于所用窗函数频谱的主瓣宽度 对于矩形窗来说 过渡带的带宽为4 N 对于某一特定类型的窗函数 增大窗的宽度可使过渡带变窄 波动 波动是由窗函数频谱的旁瓣引起 波动的幅度及多少取决于旁瓣的相对幅度及数量 旁瓣的相对幅度越大 波动的幅度就越大 旁瓣越多 产生的波动也越多 波动的幅度只取决于窗函数的类型 而与窗的宽度无关 在设计FIR数字滤波器时 窗函数的频谱应该满足 主瓣宽度尽可能的窄 以使过渡带尽量陡峭 鱼 最大旁瓣相对于主瓣尽可能的小 使能量尽可能集中于主瓣内 这样能够使得波动减小 熊掌 在引入其它类型的窗函数之前 先定义如下指标 主瓣宽度 精确过渡带带宽 3dB带宽 最大旁瓣幅度 旁瓣衰减速度 1 窗函数法 阻带最小衰减 1 窗函数法 矩形窗 三角窗 1 窗函数法 汉宁 Hanning 窗 汉明 Hamming 窗 1 窗函数法 布莱克曼 Blackman 窗 1 窗函数法 5种窗函数 1 窗函数法 5种窗函数的幅频函数 1 窗函数法 5种窗函数的指标 矩形窗最简单 但其 21dB的阻带最小衰减在实际应用中远远不够 另外 矩形窗还会造成很强的吉布斯效应 三角窗的阻带衰减性能与矩形窗相比有所改善 但代价是过度带加宽 1 窗函数法 汉宁窗的幅频响应 汉宁窗幅度谱中三个部分的求和结果 使得旁瓣互相抵消 从而使能量更有效地集中于主瓣 但付出的代价则是主瓣宽度的增加为矩形窗的两倍 1 窗函数法 汉明窗与汉宁窗相比主瓣宽度保持不变 但最大旁瓣幅度减小为 41dB 阻带最小衰减降低为 53dB 布莱克曼窗的最大旁瓣幅度得到了进一步的抑制 57dB 最小阻带衰减达到 74dB 但主瓣宽度却比矩形窗的主瓣宽度大三倍 应用窗函数法设计FIR数字滤波器的步骤 根据所要设计的滤波器的性能指标 阻带最小衰减 过渡带宽 通过查表来选定窗函数的类型和宽度 一般情况下N取奇数 1 窗函数法 根据所期望的频率响应Hd j 经过傅里叶反变换得到冲激响应hd n 如果所期望的Hd j 不是理想滤波器 而是存在过渡带 则设计中所使用的截止频率 c不采用通带截止频率 p或阻带截止频率 s 而是使用它们的中点 即求出FIR滤波器的单位冲激响应 利用h n 计算FIR滤波器的频率响应H j 并检验各项指标 如果不符合要求 则重新修改N及w n 1 窗函数法 习题 设计一个FIR低通滤波器 使得所希望的频率响应Hd j 在之间为1 在之间为0 分别采用矩形窗和汉明窗 窗函数长度M 30 观察加窗后对滤波器幅频响应的影响 解答 给出Hd j 然后其中w n 为窗函数 1 窗函数法 求出的h n 1 窗函数法 幅频响应 1 窗函数法 习题 设计一个FIR低通滤波器 其技术指标为 通带截止频率fp 2kHz 阻带截止频率fs 3kHz 阻带最小衰减40dB 采样频率Fs 10kHz 解答 确定过渡带 和截止频率 c给出Hd j 求出单位冲激响应 1 窗函数法 阻带最小衰减为40dB 通过查表可知 汉宁窗即能满足要求 因此窗口长度为 则从而得到滤波器的单位冲激响应 1 窗函数法 滤波器的冲激响应及幅频特性 1 窗函数法 数字高通滤波器的设计 令高通滤波器的频率响应为则从上述结果可以看出 一个高通滤波器相当于用一个全通滤波器减去一个低通滤波器 1 窗函数法 数字带通滤波器的设计 令带通滤波器的频率响应为则从上述结果可以看出 一个带通滤波器相当于两个截止频率不同的低通滤波器相减 1 窗函数法 数字带阻滤波器的设计 令带阻滤波器的频率响应为则从上述结果可以看出 一个带阻滤波器相当于一个低通滤波器加上一个高通滤波器 1 窗函数法 习题 设计一个FIR带通滤波器 其技术指标为 通带边缘在3 5kHz和4 5kHz处 中心频率在4kHz处 过渡带为0 5kHz 阻带最小衰减50dB 采样频率Fs 22kHz 解答 确定过渡带 截止频率 l和 h给出Hd j 1 窗函数法 阻带最小衰减为40dB 通过查表可知 汉明窗满足要求 因此窗口长度为 希望N为奇数 因此取N 147 则有从而得到滤波器的单位冲激响应 1 窗函数法 滤波器的冲激响应即幅频特性 1 窗函数法 LSI系统可以在时域或频域中加以描述 因此 线性相位FIR数字滤波器也有两种相应的设计方法 窗函数法和频率响应法 窗函数法从时域出发 用窗函数对理想滤波器的单位冲激序列hd n 进行截短后得到序列h n 然后利用这个有限长序列h n 去逼近hd n 这样得到的频率响应逼近于理想的频率响应Hd j 频率采样法从频域出发进行逼近 设所要设计的FIR数字滤波器的频率响应为Hd j 它是以2 为周期的周期函数 现在对其抽样 使每个周期内有N个抽样值 即 2 频率抽样法 然后再对Hd k 做IDFT 可得到N点单位冲激序列 取h n 的DTFT 有 2 频率抽样法 逼近 2 频率抽样法 这样 我们由连续的Hd j 抽样得到Hd k 由Hd k 的反变换得到h n 再由h n 做DTFT又得连续谱H j 而H j 是对Hd j 的逼近 为了考察H j 对Hd j 的逼近效果 我们对H j 再抽样 令抽样点数l mN m为大于1的整数 得H l l 1 2 mN 1 则有 显然 如果l mk 那么 这就说明频率响应H j 在l mk的抽样点上严格的等于Hd j 而在l mk的抽样点上H j 是由内插函数的插值所决定的 2 频率抽样法 定义内插函数 则有 连续谱H j 是以N个离散值Hd k 作为权重和插值函数S k 线性组合的结果 显然 N越大H j 对的Hd j 逼近程度越好 这种滤波器的设计方法称为频率抽样法 2 频率抽样法 应用频率抽样法设计滤波器需要首先指定Hd k 指定的Hd k 应满足下述条件 通带内 Hd k 1 阻带内 Hd k 0 且在通带内赋给Hd k 一个相位函数 指定的Hd k 保证求出的h n 是实的 由h n 求出的H j 具有线性相位 首先考虑第2个条件 如果要求h n 是实的 则 2 频率抽样法 然后考虑第3个条件 如果为实数 则H j 具有线性相位考虑到 Hd k 1因此有把以上结果结合起来考虑 当N为偶数时 这与DFT的对称性质不符 此时不能再按照指定Hd k 2 频率抽样法 按照如下的原则指定Hd k 当N为偶数时 或者 当N为奇数时 2 频率抽样法 回忆FIR系统的线性相位特性 当系统的单位冲激响应满足时 该系统具有线性相位 类型 滤波器 且N为奇数 类型 滤波器 且N为偶数 2 频率抽样法 类型 滤波器 且N为奇数 类型 滤波器 且N为偶数 总结 类型 和类型 滤波器适合我们通常所说的低通 高通 带通和带阻滤波器 类型 滤波器不能应用于高通和带阻滤波器的设计 因此N一般都取为奇数 类型 和类型 滤波器只适用于一些特殊意义的滤波器 如差分器 希尔伯特变换器等 2 频率抽样法 习题 用频率抽样法设计一个FIR低通滤波器 其