高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数I2.2函数的单调性与最值课件理.ppt

2 2函数的单调性与最值 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 单调函数的定义 1 函数的单调性 知识梳理 f x1 f x2 f x1 f x2 上升的 下降的 2 单调区间的定义如果函数y f x 在区间D上是或 那么就说函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 叫做y f x 的单调区间 增函数 减函数 区间D 2 函数的最值 f x M f x0 M f x M f x0 M 函数单调性的常用结论 3 在区间D上 两个增函数的和仍是增函数 两个减函数的和仍是减函数 4 函数f g x 的单调性与函数y f u 和u g x 的单调性的关系是 同增异减 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 若定义在R上的函数f x 有f 1 f 3 则函数f x 在R上为增函数 2 函数y f x 在 1 上是增函数 则函数的单调递增区间是 1 3 函数y 的单调递减区间是 0 0 4 所有的单调函数都有最值 5 如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数 则这个函数在定义域上是增函数 6 闭区间上的单调函数 其最值一定在区间端点取到 1 2016 北京 下列函数中 在区间 1 1 上为减函数的是A y B y cosxC y ln x 1 D y 2 x 考点自测 答案 解析 y 与y ln x 1 在区间 1 1 上为增函数 y cosx在区间 1 1 上不是单调函数 y 2 x 在 1 1 上单调递减 2 若函数f x 2x a 的单调递增区间是 3 则a的值为A 2B 2C 6D 6 答案 解析 几何画板展示 3 2016 广州模拟 函数y x2 2x 3 x 0 的单调增区间为 答案 解析 函数的对称轴为x 1 又x 0 所以函数f x 的单调增区间为 0 0 4 教材改编 已知函数f x x2 2ax 3在区间 1 2 上是增函数 则实数a的取值范围为 答案 解析 1 函数f x x2 2ax 3的图象开口向上 对称轴为直线x a 画出草图如图所示 由图象可知函数f x 的单调递增区间是 a 由 1 2 a 可得a 1 几何画板展示 5 教材改编 已知函数f x x 2 6 则f x 的最大值为 最小值为 答案 解析 2 题型分类深度剖析 题型一确定函数的单调性 区间 命题点1给出具体解析式的函数的单调性 答案 解析 例1 1 函数的单调递增区间是A 0 B 0 C 2 D 2 因为t 0在定义域上是减函数 所以求原函数的单调递增区间 即求函数t x2 4的单调递减区间 结合函数的定义域 可知所求区间为 2 2 y x2 2 x 3的单调递增区间为 答案 解析 由题意知 当x 0时 y x2 2x 3 x 1 2 4 当x 0时 y x2 2x 3 x 1 2 4 二次函数的图象如图 由图象可知 函数y x2 2 x 3在 1 0 1 上是增函数 1 0 1 例2已知函数f x a 0 用定义法判断函数f x 在 1 1 上的单调性 命题点2解析式含参数的函数的单调性 解答 设 1 x1 x2 1 1 x1 x2 1 又 a 0 f x1 f x2 0 函数f x 在 1 1 上为减函数 几何画板展示 引申探究如何用导数法求解例2 解答 a 0 f x 0在 1 1 上恒成立 故函数f x 在 1 1 上为减函数 思维升华 确定函数单调性的方法 1 定义法和导数法 证明函数单调性只能用定义法和导数法 2 复合函数法 复合函数单调性的规律是 同增异减 3 图象法 图象不连续的单调区间不能用 连接 跟踪训练1 1 已知函数f x 则该函数的单调递增区间为A 1 B 3 C 1 D 1 答案 解析 设t x2 2x 3 则t 0 即x2 2x 3 0 解得x 1或x 3 所以函数的定义域为 1 3 因为函数t x2 2x 3的图象的对称轴为x 1 所以函数t在 1 上单调递减 在 3 上单调递增 所以函数f x 的单调递增区间为 3 2 已知函数f x lnx mx2 m R 求函数f x 的单调区间 解答 导数法 依题意知f x 的定义域为 0 当m 0时 f x 0 f x 在 0 上单调递增 题型二函数的最值 例3 1 函数f x 的最大值为 答案 解析 当x 1时 函数f x 为减函数 所以f x 在x 1处取得最大值 为f 1 1 当x 1时 易知函数f x x2 2在x 0处取得最大值 为f 0 2 故函数f x 的最大值为2 2 解答 即f x 在 1 上是增函数 几何画板展示 若对任意x 1 f x 0恒成立 试求实数a的取值范围 解答 当a 0时 f x 在 1 内为增函数 最小值为f 1 a 3 要使f x 0在x 1 上恒成立 只需a 3 0 所以 3 a 0 因为x 1 所以f x 0 即f x 在 1 上为增函数 所以f x min f 1 a 3 即a 3 0 a 3 所以0 a 1 综上所述 f x 在 1 上恒大于零时 a的取值范围是 3 1 思维升华 求函数最值的五种常用方法及其思路 1 单调性法 先确定函数的单调性 再由单调性求最值 2 图象法 先作出函数的图象 再观察其最高点 最低点 求出最值 3 基本不等式法 先对解析式变形 使之具备 一正二定三相等 的条件后用基本不等式求出最值 4 导数法 先求导 然后求出在给定区间上的极值 最后结合端点值 求出最值 5 换元法 对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数 再用相应的方法求最值 跟踪训练2 1 函数y x 的最小值为 答案 解析 易知函数y x 在 1 上为增函数 x 1时 ymin 1 本题也可用换元法求解 1 2 函数f x x 1 的最小值为 答案 解析 8 令f x 0 得x 4或x 2 舍去 当14时 f x 0 f x 在 4 上是递增的 所以f x 在x 4处取到极小值也是最小值 即f x min f 4 8 题型三函数单调性的应用 命题点1比较大小 例4已知函数f x 的图象向左平移1个单位后关于y轴对称 当x2 x1 1时 f x2 f x1 x2 x1 a bB c b aC a c bD b a c 答案 解析 根据已知可得函数f x 的图象关于直线x 1对称 且在 1 上是减函数 命题点2解函数不等式 例5 2017 珠海月考 定义在R上的奇函数y f x 在 0 上递增 且f 0 则满足的x的集合为 由得或 答案 解析 命题点3求参数范围 例6 1 如果函数f x ax2 2x 3在区间 4 上是单调递增的 则实数a的取值范围是 答案 解析 几何画板展示 当a 0时 f x 2x 3 在定义域R上是单调递增的 故在 4 上单调递增 当a 0时 二次函数f x 的对称轴为x 因为f x 在 4 上单调递增 答案 解析 由已知条件得f x 为增函数 几何画板展示 思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 1 比较大小 比较函数值的大小 应将自变量转化到同一个单调区间内 然后利用函数的单调性解决 2 解不等式 在求解与抽象函数有关的不等式时 往往是利用函数的单调性将 f 符号脱掉 使其转化为具体的不等式求解 此时应特别注意函数的定义域 3 利用单调性求参数 视参数为已知数 依据函数的图象或单调性定义 确定函数的单调区间 与已知单调区间比较求参数 需注意若函数在区间 a b 上是单调的 则该函数在此区间的任意子集上也是单调的 分段函数的单调性 除注意各段的单调性外 还要注意衔接点的取值 跟踪训练3 1 2016 太原模拟 已知函数f x x ex 若f x1 f x2 则 答案 解析 A x1 x2B x1 x2 0C x1 x2D f x x ex f x f x 在R上为偶函数 x 0时 f x 0 f x 在 0 上为增函数 由f x1 f x2 得f x1 f x2 x1 x2 2 2016 西安模拟 要使函数y 与y log3 x 2 在 3 上具有相同的单调性 则实数k的取值范围是 答案 解析 4 由于y log3 x 2 的定义域为 2 且为增函数 故函数y log3 x 2 在 3 上是增函数 因其在 3 上是增函数 故4 k 0 得k 4 典例 12分 函数f x 对任意的m n R 都有f m n f m f n 1 并且x 0时 恒有f x 1 1 求证 f x 在R上是增函数 2 若f 3 4 解不等式f a2 a 5 2 解抽象函数不等式 答题模板系列1 1 对于抽象函数的单调性的证明 只能用定义 应该构造出f x2 f x1 并与0比较大小 2 将函数不等式中的抽象函数符号 f 运用单调性 去掉 是本题的切入点 要构造出f M f N 的形式 思维点拨 规范解答 答题模板 1 证明设x1 x2 R且x10 当x 0时 f x 1 f x2 x1 1 2分 f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x1 1 4分 f x2 f x1 f x2 x1 1 0 f x1 f x2 f x 在R上为增函数 6分 2 解 m n R 不妨设m n 1 f 1 1 f 1 f 1 1 f 2 2f 1 1 8分 f 3 4 f 2 1 4 f 2 f 1 1 4 3f 1 2 4 f 1 2 f a2 a 5 2 f 1 10分 f x 在R上为增函数 a2 a 5 1 3 a 2 即a 3 2 12分 返回 解函数不等式问题的一般步骤 第一步 定性 确定函数f x 在给定区间上的单调性 第二步 转化 将函数不等式转化为f M f N 的形式 第三步 去f 运用函数的单调性 去掉 函数的抽象符号 f 转化成一般的不等式或不等式组 第四步 求解 解不等式或不等式组确定解集 第五步 反思 反思回顾 查看关键点 易错点及解题规范 返回 课时作业 1 2016 北京东城区模拟 下列函数中 在区间 1 上是增函数的是A y x 1B y C y x 1 2D y 31 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 A中 函数在 1 上为减函数 C中 函数在 1 上为减函数 D中 函数在 1 上为减函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 函数f x x 2 x的单调减区间是A 1 2 B 1 0 C 0 2 D 2 答案 解析 当x 2时 f x 为增函数 当x 2时 1 是函数f x 的增区间 1 2 是函数f x 的减区间 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 已知函数y log2 ax 1 在 1 2 上单调递增 则实数a的取值范围是A 0 1 B 1 2 C 1 D 2 答案 解析 要使y log2 ax 1 在 1 2 上单调递增 则a 0且a 1 0 即a 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 已知f x 是R上的单调递增函数 则实数a的取值范围是A 1 B 4 8 C 4 8 D 1 8 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 函数f x 的定义域为D 若对于任意x1 x2 D 当x1 x2时 都有f x1 f x2 则称函数f x 在D上为非减函数 设函数f x 在 0 1 上为非减函数 且满足以下三个条件 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由 令x 0 可得f 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 定义新运算 当a b时 a b a 当a b时 a b b2 则函数f x 1 x x 2 x x 2 2 的最大值等于A 1B 1C 6D 12 答案 解析 由已知得 当 2 x 1时 f x x 2 当1 x 2时 f x x3 2 f x x 2 f x x3 2在定义域内都为增函数 f x 的最大值为f 2 23 2 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 函数f x log2 x 2 在区间 1 1 上的最大值为 答案 解析 3 由于y 在R上递减 y log2 x 2 在 1 1 上递增 所以f x 在 1 1 上单调递减 故f x 在 1 1 上的最大值为f 1 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 设函数g x x2f x 1 则函数g x 的递减区间是 0 1 答案 解析 函数的图象如图所示 其递减区间为 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 若函数f x 2x a 的单调递增区间是 3 则a 答案 解析 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 2016 北京顺义区模拟 已知f x 不等式f x a f 2a x 在 a a 1 上恒成立 则实数a的取值范围是 答案 解析 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 二次函数y1 x2 4x 3的对称轴是x 2 该函数在 0 上单调递减 x2 4x 3 3 同样可知函数y2 x2 2x 3在 0 上单调递减 x2 2x 3f 2a x 得到x a 2a x 即2x a 2x a在 a a 1 上恒成立 2 a 1 a a 2 实数a的取值范围是 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 求证 f x 在 0 上