四川省郭志安—92多边形的内角和与外角和教案

9 2 多边形的内角和与外角和 教学目的教学目的 1 使学生了解多边形及多边形的内角 外角等概念 2 使学生通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式 并会利用它们进行有关计 算 重点 难点重点 难点 1 重点 多边形的内角和与外角和定理 2 难点 多边形的内角和 外角和定理的推导 教学过程教学过程 一 复习提问 1 什么叫三角形 2 三角形的内角和是多少 3 什么叫三角形的外角 什么叫外角和 三角形的外角和是多少 二 新授 1 多边形的概念 三角形有三个内角 三条边 我们也可以把三角形称为三边形 但习惯称三角形 我们 知道 不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结组成的平面图形叫三角形 你能说出什么叫四边形 五边形吗 如图 1 它是由不在同一直线上的 4 条线段首尾顺次连结组成的平面图形 记为四边形 ABCD 按顺时针或逆时针方向书写 D D C A C E A B B 图 2 是由不在同一直线上的 5 条线段首尾顾次连结组成的平面图形 记为五边形 ABCDE 一般地 由 n 条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形 记为 n 边形 又称多边形 与三角形类似如图 A D C ABC 是四边形 ABCD 的四个内角 延长 AB CB 得 四边形 ABCD 的两个外角 CBE 和 ABF 这两 个外角是对顶角 一个 n 边形有 n 个内角 有 2n 个外角 如果多边形的各边 都相等 各内角也都相等 则称为正多边形 如正三角形 正四边 形 正方形 正五边形等等 连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线 如 图 1 线段 AC 是四边形 ABCD 的对角线 如图 2 线段 AD AC 是四边形 ABCDE 的对角线 如图 3 中线段 AC AD AE 是六边形 ABCDEF 的对角线 图 8 3 3 图 8 3 2 问 1 四边形有几条对角线 两条 AC BD 2 五边形有几条对角线 以 A 为端点的对角线有两条 AC AD 同样以月为端点的对角线也有 2 条 以 C 为端点 也有 2 条 但 AC 与 CA 是同一条线段 以 D 为端点的两条 DA DB 与 AD BD 都分别表示同 一条线段 所以只有 5 条 3 六边形有几条对角线 n 边形呢 六边形有 9 条对角线 从以上分析可知从 n 边形的一个顶点引对角线 可以引 n 3 条 除本身这个点以及 和这点相邻的两点外 那么 n 个顶点 就有 n n 3 条 但其中每一条都重复计算一次 如 AB 与 BA 所以 n 边形一共有条对角线 大家可以加以验证 当 n 3 时 没有对角线 当 n 4 时 有 2 条 当 n 5 时 有 5 条 当 n 6 时 有 9 条 2 多边形的内角和公式 三角形是边数最少的多边形 它的内角和等于 180 那么一般 n 边形是否也有内角 和公式呢 让我们先从四边形 正边形 六边形 开始 从上面对角线的研究可知 一条对角线把四边形分成 2 个三角形 这两个三角形的内 角和的和就是四边形的内角和 五边形的内角和就是图中 3 个三角表内角和的和 让学生填写教科书表 8 3 1 由此 你可以得到 边形的内角和公式吗 n 边形的内角和 n 2 180 知道一个多边形的内角和 根据公式也可以求边数 n 例 1 一个多边形的内角和等于 2340 求它的边数 问题 一个正多边形的一个内角为 150 你知道它是几边形 分析 正多边形的每个 内角都相等 多边形的内角和等于 n 2 180 还可以用以下的划分来说明 即在 n 边形内任取 一点 P 连结点 P 与多边形的 每个顶点 可得几个三角形 这几个三角形的各内角与这个多 边的各内角之间有什么关系 请你试一试 对有困难的学生教师可以加以引导 如图 教科书图 9 2 5 每一个三角形都有一条边就是多边形的边 因此 n 边形就可划 分成 n 个三角形 这 n 个三角形的内角和减去以 P 为顶点的周角所得的差就是 边形的内 角和 因此 n 边形的内角和为 n 180 360 n 180 2 180 n 2 180 问 还有其他方法吗 让学生自主探索 对不同方法给予鼓励 3 多边形的外角和 什么叫多边形的外角和 与三角形的外角和一样 与多边形的每个内角相邻的外角有两个 这两个角是对顶角 从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加 得到的和称为多边形的外角和 如教科书图 9 2 6 1 2 3 4 就是四边形的外角 和 多边形的外角和是否也可以用公式表示呢 下面我们也来探讨 因为 n 边形的一个内角与它的相邻的外角互为补角 所以可先求出多边形的内角与外 角的总和 再减去内角和 就可得到外角和 让学生填写填教科写表 9 2 2 n 边形的内角与外角的总和为 n 180 n 边形的内角和为 n 2 180 那么 n 边形的外角和为 n 180 n 2 180 n 180 n 180 360 360 这就是说多边形的 9L 角和与边数无关 都等于 360 例 2 一个正多边形的一个内角比相邻外角大 36 求这个正多边形的边数 分析 正多边形的各个内角都相等 那么各个外角也都相等 而多边形的外角和是 360 因此只要求出每个外角度数 就可知是几边形了 点拨 多边形的外角和等于 360 与边数无关 故常把多边形内角的问题转化为外 角和来处理 三 巩固练习 1 教科书第 70 页练习 1 2 第 2 题引导学生从外角考虑 多边形的内角是锐角 那么和这个内角相邻的外角是什么 样的角 钝角 多边形的外角和是 360 那么在这些外角中钝角的个数最多可以是几个 3 个可以吗 4 个呢 让学生动手算一算 由他们自己得出结论 从而得到最多可以有 3 个外角是钝角 即多边形的内角中最多可以有 3 个是锐角 四 小结 本节课我们通过把多边形划分成若干个三角形 用三角形内角和去求多边形的内