2010年高三数学高考易错专题点睛：概率与统计2

用心 爱心 专心 20102010 年高考数易错专题点睛七 概率与统计年高考数易错专题点睛七 概率与统计 原题 某批产品成箱包装 每箱 5 件 一用户在购进该批产品前先取出 3 箱 再从每箱中 任意抽取 2 件产品进行检验 设取出的第一 二 三箱中分别有 0 件 1 件 2 件二等品 其余为一等品 用 表示抽检的 6 件产品中二等品的件数 求 的分布列及 的数学期望 若抽检的 6 件产品中有 2 件或 2 件以上二等品 用户就拒绝购买这批产品 求这批产 品级用户拒绝的概率 错误分析错误分析 概率问题常常与排列组合问题相结合 答案 易错点点睛 本题以古典概率为背景 其关键是利用排列组合的方法求出 m n 主要考察 分布列的求法以及利用分布列求期望和概率 原题 甲 乙 丙 3 人投篮 投进的概率分别是 现 3 人各投篮 1 次 求 3 1 3 2 5 1 2 人都没有投进的概率 用 表示乙投篮 3 次的进球数 求随机变量 的概率分布及数学 期望 E 错误分析错误分析 判断事件的运算 即是至少有一个发生 还是同时发生 分别运用相加或相 乘事件 答案 1 5 6 5 用心 爱心 专心 解析 记 甲投篮 1 次投进 为事件A1 乙投篮 1 次投进 为事件A2 丙投篮 1 次投进 为事件A3 3 人都没有投进 为事件A 则P A1 P A2 P A3 1 3 2 5 1 2 P A P 1 A 2 A 3 A P 1 A P 2 A P 3 A 1 P A1 1 P A2 1 P A3 1 1 1 1 3 2 5 1 2 1 5 3 人都没有投进的概率为 1 5 解法一 随机变量 的可能值有 0 1 2 3 B 3 2 5 P k C3k k 3 k k 0 1 2 3 E np 3 2 5 3 5 2 5 6 5 解法二 的概率分布为 0123 P 27 125 54 125 36 125 8 125 E 0 1 2 3 27 125 54 125 36 125 8 125 6 5 易错点点睛 已知概率求概率 主要运用加法公式 互斥 和乘法公式 独立 以及 n 次 独立重复试验 二项分布 注意条件和适用的范围 另外利用二项分布期望和方差结论使 问题简洁明了 原题 如图所示 质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进 现在投掷一个质 地均匀 每个面上标有一个数字的正方体玩具 它的六个面上分别写有两个 1 两个 2 两 个 3 一共六个数字 质点P从A点出发 规则如下 当正方体上底面出现的数字是 1 质点P 前进一步 如由A到B 当正方体上底面出现的数字是 2 质点P前进两步 如由A到C 当正方体上底面出现的数字是 3 质点P前进三步 如由A到D 在质点P转一圈之前连续 投掷 若超过一圈 则投掷终止 求点P恰好返回到A点的概率 在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中 用随机变量 表示点P恰能返回到A 点的投掷次数 求 的数学期望 用心 爱心 专心 错误分析错误分析 在求较复杂事件的概率时往往转化为求某几个事件的 和事件 或 积事 件 如事件 点P恰好返回到A点 就分解为 投掷两次点P恰能返回到A点 投掷三 次点P恰能返回到A点 投掷四次点P恰能返回到A点 三个互斥事件的和 而这三个事 件又可以进一步分解 但要区分是不是互斥事件或独立事件 否则容易漏分和重复导致出错 易错点点睛 求某些稍复杂的事件的概率时 通常有两种方法 一是将所求事件的概率化 成一些彼此互斥的事件的概率的和 二是先去求此事件的对立事件的概率 原题 一种电脑屏幕保护画面 只有符号 和 随机地反复出现 每秒钟变化一 次 每次变化只出现 和 之一 其中出现 的概率为p 出现 的概率 为q 若第k次出现 则记ak 1 出现 则记ak 1 令 Sn a1 a2 an 当p q 时 记 S3 求 的分布列及数学期望 1 2 当p q 时 求 S8 2 且 Si 0 i 1 2 3 4 的概率 1 3 2 3 错误分析错误分析 求随机变量的分布列 重要的基础是概率的计算 如古典概率 互斥事件的 概率 相互独立事件同时发生的概率 n次独立重复试验有k次发生的概率等 1 1 和 3 两种情况互斥 2 有限制条件的概率计算要认清限制条件对事件的影响 在本题中 用心 爱心 专心 随机变量的确定 稍有不慎 就将产生失误 答案 3 2 80 2187 解析 S3 的取值为 1 3 又p q 1 2 P 1 C 2 2 P 3 3 3 5 分 1 2 1 2 3 4 1 2 1 2 1 4 的分布列为 E 1 3 7 分 3 4 1 4 3 2 当S8 2 时 即前八秒出现 5 次和 3 次 又已知 Si 0 i 1 2 3 4 若第一 三秒出现 则其余六秒可任意出现 3 次 若第一 二秒出现 第三秒出现 则后五秒可任出现 3 次 故此时的概率为 P C C 5 3 13 分 1 3 2 3 30 8 38 80 2187 易错点点睛 对于分布列要熟记一个基本型 和三个特殊型 ab 二项分布 几何分布 的定义和有关公式 此类问题解题思维的的流程是 要求期望 则必先求分布列 而求分布列的难点在于求概率 求概率的关键在于要真正弄清每一个随机变量 k 所 对应的具体随机试验的结果 原题 在某校举行的数学竞赛中 全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布 70 100 N 已知成绩在 90 分以上 含 90 分 的学生有 12 名 1 试问此次参赛学生总数约为多少人 2 若该校计划奖励竞赛成绩排在前 50 名的学生 试问设奖的分数线约为多少分 可供查阅的 部分 标准正态分布表 00 xP xx 0 x 0123456789 13 P 3 4 1 4 6 分 用心 爱心 专心 1 2 1 3 1 4 1 9 2 0 2 1 0 8849 0 9032 0 9192 0 9713 0 9772 0 9821 0 8869 0 9049 0 9207 0 9719 0 9778 0 9826 0 888 0 9066 0 9222 0 9726 0 9783 0 9830 0 8907 0 9082 0 9236 0 9732 0 9788 0 9834 0 8925 0 9099 0 9251 0 9738 0 9793 0 9838 0 8944 0 9115 0 9265 0 9744 0 9798 0 9842 0 8962 0 9131 0 9278 0 9750 0 9803 0 9846 0 8980 0 9147 0 9292 0 9756 0 9808 0 9850 0 8997 0 9162 0 9306 0 9762 0 9812 0 9854 0 9015 0 9177 0 9319 0 9767 0 9817 0 9857 错误分析错误分析 本题为表格信息题 要注意正确查阅表格中的数据 否则将前功尽弃 正态 分布问题在高考中很少涉及 但毕竟是一个考点 也应该引起我们的重视 答案 83 1 分 解析 1 设参赛学生的分数为 因为 N 70 100 由条件知 P 90 1 P 90 1 F 90 1 10 7090 1 2 1 0 9772 0 228 这说明成绩在 90 分以上 含 90 分 的学生人数约占全体参赛人数的 2 28 因此 参赛总人数约为 0228 0 12 526 人 2 假定设奖的分数线为x分 则 P x 1 P x 10 70 1 x 526 50 0 0951 即 10 70 x 0 9049 查表得 10 70 x 1 31 解得 x 83 1 故设奖得分数线约为 83 1 分 易错点点睛 一个随机变量若服从标准正态分布 可以借助于标准正态分布表 查出其值 但在标准正态分布表中只给出了0 0 x 即 00 xxxP 的情形 对于其它情形一般 用公式 x 1 x p a x b b a 及 1 00 xxPxxP 等来转化 从本题可知 在标准正态分布表中只要给出了0 0 x的概率 就可以利用上述三个公式求出 其它情形下的概率 原题 甲 乙两人各射击一次 击中目标的概率分别是 23 34 和 假设两人射击是否击中 目标 相互之间没有影响 每人各次射击是否击中目标 相互之间也没有影响 求 甲射击 4 次 至少 1 次未击中目标的概率 假设某人连续 2 次未击中目标 则停止射 用心 爱心 专心 击 问 乙恰好射击 5 次后 被中止射击的概率是多少 若甲连续射击 5 次 用 表 示甲击中目标的次数 求 的数学期望E 错误分析错误分析 概率题常常有如下几种类型 等可能性事件的概率 互斥事件的概率 独立事件同时发生的概率 独立重复试验事件的概率 弄清每种类型事件的特点 区分 使用概率求法 如本题的第一问是一个独立事件同时发生的问题 满足几何显著条件 每次 射中目标都是相互独立的 可以重复射击即事件重复发生 每次都只有发生或不发生两种情 形且发生的概率是相同的 第二问解答时要认清限制条件的意义 答案 1 65 81 2 45 1024 3 10 3 解析 1 记 甲连续射击 4 次 至少 1 次未击中目标 为事件A1 由题意 射击 4 次 相当于 4 次独立重复试验 故P A1 4 1 265 1 1 381 P A 答 甲射击 4 次 至少 1 次未击中目标的概率为 65 81 2 记 乙恰好射击 5 次后 被中止射击 为事件A3 乙第i次射击未击中 为事件 Di i 1 2 3 4 5 则 3 35421 1 4 i AD D DD DP D 且 由于各事件相互独立 故3 35421 P AP D P D P DP D D 1131145 1 444441024 答 乙恰好射击 5 次后 被中止射击的概率是 45 1024 3 根据题意 服从二项分布 E 5 210 33 易错点点睛 本小题主要考查概率的计算 离散型随机变量的分布列 数学期望的概念及 其计算 考查分析问题及解决实际问题的能力 读题 想题 审题的能力 求随机变量的概 率在某种程度上就是正确求出相应事件的概率 因此必须弄清每个取值的含义 本概率题跟 排列组合知识联系紧密 其实高中概率题往往以排列组合知识为前提 原题 一袋中装有分别标记着 1 2 3 4 数字的 4 个球 从这只袋中每次取出 1 个球 取出后放回 连续取三次 设三次取出的球中数字最大的数为 1 求 3 时的概率 2 求 的概率分布列及数学期望 错误分析错误分析 概率 分布列 期望和方差的计算 突破此难点的关键在于 首先要运用两 个基本原理认真审题 弄清楚问题属于四种类型事件中的哪一种 然后准确地运用相应的公 式进行计算 其中要注意排列 组合知识的应用 答案 1 19 64 2 55 16 用心 爱心 专心 解析 1 3 表示取出的三个球中数字最大者为 3 三次取球均出现最大数字为 3 的概率 P1 3 1 4 三取取球中有 2 次出现最大数字 3 的概率 22 23 126 C 4464 P 三次取球中仅有 1 次出现最大数字 3 的概率 12 33 1212 4464 PC 三次取出的球中数字最大的数为 3 的概率 123 19 3 64 PPPP