2010年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（四川卷解析版）

1 20102010 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 四川卷 解析年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 四川卷 解析 版 版 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第 卷 1 至 2 页 第 卷 3 至 1 0 页 满分 150 分 考试时间 120 分钟 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第 卷 名师简评 2010 年四川高考数学 文 试题的设计总体呈现平稳 体现了数学学科的特 点 命题凸现了高中数学的主干知识 试卷起点较低 坡度适中 层次鲜明 结构基本稳定 试 题 稳中求新 没有使学生望而生畏的题目 既全面地考查了基础知识 又突出了对重点 内容的考查 既关注了考查数学的基本方法和技巧 又注重了对能力的考查和思维能力的 提升 1 试题几乎涵盖了高中数学的所有基础知识 并对高中数学的重点知识或主干知识进行了 重点考查 2 试卷以稳为主 稳中有新 贴近课本 接近生活 新题不难 难题不怪 如选择题 12 题 虽然有一定难度 但属常规考题 按照常规思想就能够顺利解决了 填空题 16 题是在集合 的基础上出新 并不难上手 解答题 19 题 推导两角和的正余弦公式 就源自课本 解答 题 17 题 以生活为背景 考生倍感亲切 3 注重思想和能力的考查 试题以考查数学思想方法为线索 以考查学生的数学能力立意 试题涵盖了高中数学的主要数学方法 如数行结合 递推思想等等 注意事项 1 答第 1 卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号 考试科目涂写在答题卡上 2 每小题选出答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡 皮擦干净后 再选涂其他答案标号 不能答在试卷上 3 本试卷共 1 2 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合题目要求的 参考公式 如果事件 A B 互斥 那么 球的表面积公式 P A B P A P B 2 4sR 如果事件 A B 相互独立 那么 其中 R 表示球的半径 P A B P A P B 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p 那么 2 4 3 vR 在 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 n 1 0 1 2 kkn k n P kC ppkn 2 一 选择题一 选择题 1 设集合 A 3 5 6 8 集合 B 4 5 7 8 则 A n B 等于 A 3 4 5 6 7 8 B 3 6 C 4 7 D 5 8 1 答案 D 命题意图 本题主要考查集合的交集运算 解析 5 8AB 故选 D 2 函数 Y l 2 的图象大致是 2 答案 C 命题意图 本题主要考查对数函数的图象 解析 该对数函数的图象过 1 0 且单调递增 故选 C 3 抛物线 2 8yx 的焦点到准线的距离是 A 1 B 2 C 4 D 8 3 答案 C 命题意图 本题主要考查抛物线的方程及性质 解析 焦点到准线的距离是p p 4 故选 C 4 一个单位有职工 800 人 期中具有高级职称的 160 人 具有中级职称的 320 人 具有 初级职称的 200 人 其余人员 120 人 为了解职工收入情况 决定采用分层抽样的方法 从中抽取容量为 40 的样本 则从上述各层中依次抽取的人数分别是 A 12 24 15 9 B 9 12 12 7 C 8 15 12 5 D 8 16 10 6 4 答案 D 命题意图 本题主要考查分层抽样知识 解析 160 320 200 1204 8 5 3 各层抽取的人数分别是 8 16 10 6 故 选 D 5 函数 2 1f xxmx 的图像关于直线1x 对称的充要条件是 A 2m B 2m C 1m D 1m 5 答案 A 命题意图 本题主要考查二次函数的对称性和充分必要条件 解析 该二次函数的对称轴是 2 m x 1 2 2 m m 故选 A 6 设点M是线段BC的中点 点A在直线BC外 2 16BC 10 3 ABACABAC 则AM A 8 B 4 C 2 D 1 6 答案 C 命题意图 本题主要考查平面向量的基本运算 解析 由ABACABAC 两边平方得 0AB AC ABAC ABC 为 直角三角形 BC 为斜边 1 2 AMBC 由已知得4BC 2AM 故选 C 7 将函数sinyx 的图像上所有的点向右平行移动 10 个单位长度 再把所得各点的横 坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 所得图像的函数解析式是 A sin 2 10 yx 4 15 R B y sin 2 5 x C y 1 sin 210 x D 1 sin 220 yx 7 答案 C 命题意图 本题主要考查三角函数图象的平移变换和伸缩变换 解析 将sinyx 图象向右平移 10 个单位得到函数sin 10 yx 再把横坐标伸长 为原来的 2 倍得到 1 sin 210 yx 故选 C 8 某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品 由乙车间加工出B产品 甲车间加工 一箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克A产品 每千克A产品获利 40 元 乙车间加 工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克B产品 每千克B产品获利 50 元 甲 乙两 车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工 每天甲 乙车间耗费工时总和不得超过 480 小时 甲 乙两车间每天获利最大的生产计划为 A 甲车间加工原料 10 箱 乙车间加工原料 60 箱 B 甲车间加工原料 15 箱 乙车间加工原料 55 箱 C 甲车间加工原料 18 箱 乙车间加工原料 50 箱 D 甲车间加工原料 40 箱 乙车间加工原料 30 箱 8 答案 B 命题意图 本题主要考查线性规划的实际问题 解析 设甲车间生产x箱 乙车间生产y箱 则所获利润280200zxy 由已知条 件 0 0 70 106480 xyx yZ xy xy 可行域为 0 0 0 70 70 0 15 55 OABC构成的四边形 过点 C 取得最大值 故选 B 4 9 由 1 2 3 4 5 组成没有重复数字且 1 2 都不与 5 相邻的五位数的个数是 A 36 B 32 C 28 D 24 9 答案 A 命题意图 本题主要考查排列组合知识和分类讨论的思想方法 解析 若 5 在个位或万位 有 122 232 24C A A 种方法 若 5 在中间三位 则有 122 322 12C A A 种方法 故有 36 种方法 故选 A 10 椭圆 22 22 10 xy a ab b 的右焦点为F 其右准线与x轴的交点为A 在椭圆上 存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F 则椭圆离心率的取值范围是 A 0 2 2 B 0 1 2 C 21 1 D 1 2 1 10 答案 D A 1 B 2 C 3 D 4 11 答案 D 命题意图 本题主要考查利用均值不等式及变形公式求最值 解析 原式 2 2 11 a abaab 22 22 22 2 2 aa aa abaabab aab 22 22 44 24aa aa 当且仅当 2 abaab 且 2 2 4 a a 即 44 1 4 4 2 ab 取等号 故选 D 12 半径为R的球O的直径AB垂直于平面a 垂足为B BCD 是平面a内边长为 R的正三角形 线段AC AD分别与球面交于点M N 那么M N两点间的球面 距离是 5 A B A 17 arccos 25 R B 18 arccos 25 R C 1 3 R D 4 15 R 12 A 命题意图 本题主要考查球面性质与距离问题 解析 连接 BM BN 连接 MN 则 BM AC BN BD 由已知直角 ABC 与直角 ABD 全等 在直角三角形中由等面积法 可得 2 5 BMBNR 4 5 AMANR 1 5 MCNDR MN CD 且 44 55 MMCDR 在三角形 MON 中 ON OM R 由余 弦定理 222 4 17 5 cos 225 RRR MOM R R 17 cos 25 MOMarc MN 两点的 球面距离为 17 cos 25 Rarc 故选 A 二 填空题 13 x 2 x 4的展开式中的常数项为 用数字作答 13 24 命题意图 本题主要考查二项展开式的通项公式和常数项的求法 解析 常数项是 22222 44 2 2 24C xC x 14 直线250 xy 与圆 22 8xy 相交于A B两点 则AB 14 2 3 命题意图 本题主要考查直线与圆的位置关系 解析 圆心到直线的距离d为5 又半径r为2 2 22 22 3ABrd 15 如图 二面角l 的大小是 60 线段AB Bl AB与l所成的角为 30 则AB与平面 所成的角的正弦值是 15 3 4 命题意图 本题主要考查线线角 线面角 二面角问题 考查空间推理计算能 6 力 解析 过 A 作 AO 垂直于 于 O AN l于 N 连接 ON OB 则ABO 为所求 ANO 为 二面角的平面角 0 60ANO 设 AN 的长为a 则 3 2 2 ABa AOa 3 sin 4 AO ABO AB 16 设 S 为实数集 R 的非空子集 若对任意x yS 都有xy xy xyS 则称 S 为封闭集 下列命题 集合 3Sab a b为整数 为封闭集 1 若 S 为封闭集 则一定有0S 2 封闭集一定是无限集 3 若 S 为封闭集 则满足STC 的任意集合T也是封闭集 4 其中真命题是 写出所有真命题的序号 则1xyT 所以 T 不是封闭集 故填 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 某种有奖销售的饮料 瓶盖内印有 奖励一瓶 或 谢谢购买 字样 购买一瓶若其瓶盖 内印有 奖励一瓶 字样即为中奖 中奖概率为 1 6 甲 乙 丙三位同学每人购买了一瓶该 饮料 求三位同学都没有中奖的概率 求三位同学中至少有两位没有中奖的概率 命题意图 本题主要考查相互独立事件 互斥事件等概率的计算 考查运用所学知识与 方法解决实际问题的能力 7 解 设甲 乙 丙中奖的事件分别为A B C 那么 1 6 P AP BP C 3 5125 6216 P A B CP A P B P C 答 三位同学都没有中奖的概率是 125 216 6 分 1P A B CA B CA B CA B C 23 15125 1 3 66627 或 25 27 P A B CA B CA B CA B C 答 三位同学中至少有两位没有中奖的概率为 25 27 12 分 18 本小题满分 12 分 在正方体ABCD A B C D 中 点M是棱AA 的中点 点O是对角线BD 的中点 求证 OM为异面直线AA 和BD 的公垂线 求二面角M BC B 的大小 命题意图 本题以正方体为载体 考查空间垂直关系的证明以及二面角的计算 考查基 本的空间推理与计算能力 考查利用向量解决立体几何的能力 解法一 连结AC 取AC的中点K 则K为BD的中点 连结OK 因为点M是棱 AA 的中点 点O是 BD 的中点 所以 1 2 AMDDOK 所以MOAK 由AAAK 得MO AA 因为AKBD AK BB 所以AK 平面BDD B 所以AK BD 所以MO BD D AB C D M O A B C 8 又因为OM与异面直线 AA 和 BD 都相交 故OM为异面直线 AA 和 BD 的公垂线 5 分 取 BB 的中点N 连结MN 则MN 平面BCC B 过点N作NH BC 于H 连 结MH 则由三垂线定理得 BCMH 从而 MHN 为二面角MBCB 的平面 角 设1AB 则1MN 122 sin45 224 NHBN A 在Rt MNH 中 1 tan2 2 2 4 MN MHN NH 故二面角MBCB 的大小为arctan2 2 12 分 解法二 以点D为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz 设1AB 则 1 0 0A 1 1 0B 0 1 0C 1 0 1 A 0 1 1 C 0 0 1 D 设平面BMC 的一个法向量为 1 nx y z 1 0 1 2 BM 1 0 1BC 1 1 0 0 n BM n BC A A 即 1 0 2 0 yz xz 取2z 则2x 1y 从 而 1 2 1 2n 9 取平面BC B 的一个法向量为 2 0 1 0n 12 12 12 11 cos 39 1 n n n n nn A AA 由图可知 二面角MBCB 的平面角为锐角 故二面角MBCB 的大小为 1 arccos 3 12 分 点评 空间的线线垂直的证明方法主要有 1 定义法 2 等腰三角形的性质 3 三垂线定理 4 线面垂直 5 向量法 几何法确定二面角的平面角的方法 1 直接法 2 三垂线法 3 棱的垂面法等 当然如果题目适合建立空间直角坐标 系 用向量法更简洁 但对于分步给分的立体几何解答题 传统法也有它的长处 19 本小题满分 12 分 证明两角和的余弦公式C cos coscossinsin 1 由C 推导两角和的正弦公式S sin sincoscossin 2 已知 431 cos tan cos 5232 求 cos 命题意图 本题主要考查两角和的正 余弦公式 诱导公式 同角三 角函数的关系等基础知识及运算能力 解 如图 在直角坐标系xOy内作单位圆O 并作出角 与 使角 的始边为Ox 交OA于点 1 P 终边交OA于点 2 P 角 的始边为 2 OP 终边交OA于点 3 P 角 的始边为 1 OP 终 边交OA于点 4 P 则 1 1 0P 2 cos sinP 3 cos sinP 4 cos sinP 由 1324 PPP P 及两点间的距离公式 得 222 2 cos1sincoscossinsin 展开并整理 得 22cos22 coscossinsin coscoscossinsin 4 分 10 由 易得 cossin 2 sincos 2 sincoscos 22 coscossinsin 22 sincoscossin sinsincoscossin 6 分 3 2 4 cos 5 3 sin 5 2 1 tan 3 3 10 cos 10 10 sin 10 coscoscossinsin 43 103103 10 55101010 12 分 20 本小题满分 12 分 已知等差数列 n a的前 3 项和为 6 前 8 项和为 4 求数列 n a的通项公式 设 1 4 0 n nn ba qqnN 求数列 n b的前 n 项和 n S 命题意图 本小题只要考查数列的基础知识和化归 分类整合等数学思想 以及推理论 证与分析问题 解决问题的能力 解 设 n a的公差为d 由已知得 11 1 1 336 8284 ad ad 解得 1 3a 1d 故 314 n ann 5 分 由 得解答可得 1n n bn q A 于是 0121 123 n n Sqqqn q AAA A 若1q 将上式两边同乘以q有 121 121 nn n qSqqnqn q AA AA 两式相减得到 121 11 nn n qSn qqqq A 1 1 n n q nq q 1 11 1 nn nqnq q 于是 1 2 11 1 nn n nqnq S q 若1q 则 1 123 2 n n n Sn 所以 1 2 1 1 2 11 1 1 nn n n n q S nqnq q q 12 分 21 本小题满分 12 分 已知定点A 1 0 F 2 0 定直线l x 1 2 不在x轴上的动点P与点F的距离是它 12 到直线l的距离的 2 倍 设点P的轨迹为E 过点F的直线交E于B C两点 直线AB AC 分别交l于点M N 求E的方程 试判断以线段MN为直径的圆是否过点F 并说明理由 命题意图 本题主要考查轨迹方程的求解 直线与双曲线的位置关系 考查解析几何的 思想方法及推理运算能力 解 设 P x y 则 22 1 2 2 2 xyx 化简得 2 2 1 0 3 y xy 4 分 当直线BC与x轴不垂直时 设BC的方程为 2 0 yk xk 与双曲线方程 2 2 1 3 y x 联立消去y得 2222 3 4 43 0kxk xk 由题意知 2 30k 且0 设 1122 B x yC xy 则 2 12 2 4 3 k xx k 2 12 2 43 3 k x x k 111 22 12222 2 2 2 4 y ykxxkx xxx 22 2 22 438 4 33 kk k kk 2 2 9 3 k k 因为 12 1x x 所以直线AB的方程为 1 1 1 1 y yx x 因此M点的坐标为 1 1 31 2 2 1 y x 1 1 33 2 2 1 y FM x 同理可得 2 2 33 2 21 y FN x 13 因此 12 12 933 22411 y y FM FN xx A 2 2 22 22 8 9 3 4434 41 33 k k kk kk 0 当直线BC与x轴垂直时 其方程2x 则 2 3B 2 3C AB的方程为1yx 因此M点的坐标 1 3 2 2 3 3 2 2 FM 同理可得 33 22 FN 因此 3333 0 2222 FM FN A 综上 FM FN A0 即FMFN 22 本小题满分 14 分 设 1 1 x x a f x a 0a 且1a g x 是f x 的反函数 求 g x 当 2 6 x 时 恒有 2 log 1 7 a t g x xx