2010高三数学高考第一轮复习向量复习教案：空间向量及其运算VIP

用心 爱心 专心 第十三章第十三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何 一 知识网络 一 知识网络 二 考纲要求 二 考纲要求 1 空间向量及其运算 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程 了解空间向量的概念 了解空间向量的基本定理及其意义 掌握空间向量的正交分 解及其坐标表示 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 掌握空间向量的数量积及其坐标表示 能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直 2 空间向量的应用 理解直线的方向向量与平面的法向量 能用向量语言表述线线 线面 面面的垂直 平行关系 能用向量方法证明有关线 面位置关系的一些定理 包括三垂线定理 能用向量方法解决线线 线面 面面的夹角的计算问题 体会向量方法在研究几何 问题中的作用 三 命题走向三 命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算 空间向量的应用 本章是立体几何的核心内 容 高考对本章的考查形式为 以客观题形式考查空间向量的概念和运算 结合主观题借助 空间向量求夹角和距离 预测 10 年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用 尤其是求夹角 求距离 教材 上淡化了利用空间关系找角 找距离这方面的讲解 加大了向量的应用 因此作为立体几何 解答题 用向量法处理角和距离将是主要方法 在复习时应加大这方面的训练力度 第一课时第一课时 空间向量及其运算空间向量及其运算 一 复习目标 一 复习目标 1 1 理解空间向量的概念 掌握空间向量的加法 减法和数乘 2 2 了解空 间向量的基本定理 3 3 掌握空间向量的数量积的定义及其性质 理解空间向量的夹角的概 念 掌握空间向量的数量积的概念 性质和运算律 了解空间向量的数量积的几何意义 能 用向量的数量积判断向量的共线与垂直 二 重难点 二 重难点 理解空间向量的概念 掌握空间向量的运算方法 三 教学方法 三 教学方法 探析类比归纳 讲练结合 四 教学过程四 教学过程 一 一 谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况 促使积极参与 谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况 促使积极参与 学生阅读复资 P128 页 教师点评 增强目标和参与意识 二 二 知识梳理 方法定位 知识梳理 方法定位 学生完成复资 P128 页填空题 教师准对问题讲评 1 空间向量的概念 向量 在空间 我们把具有大小和方向的量叫做向量 如位移 速度 力等 相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 表示方法 用有向线段表示 并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量 说明 由相等向量的概念可知 一个向量在空间平移到任何位置 仍与原来的向量相 等 用同向且等长的有向线段表示 平面向量仅限于研究同一平面内的平移 而空间向量 空间 向量 与立 体几 何 空 间 向 量 及 其 运 算 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 空间向量的加减运算 空间向量的数乘运算 空间向量的数量积运算 空间向量的坐标运算 共线向量定理 共面向量定理 空间向量基本定理 平行与垂直的条件 向量夹角与距离 直线的方向向量与平面的法向量 用空间向量证平行与垂直问题 求空间角 求空间距离 B C O A 用心 爱心 专心 研究的是空间的平移 2 向量运算和运算率 baABOAOB baOBOABA RaOP 加法交换率 abba 加法结合率 cbacba 数乘分配率 baba 说明 引导学生利用右图验证加法交换率 然后推广到首尾相接的若干向量之和 向量加法的平行四边形法则在空间仍成立 3 平行向量 共线向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 则这些向量叫做共线向量或平行向量 a 平行于b 记作a b 注意 当我们说a b 共线时 对应的有向线段所在直线可能是同一直线 也可能是平行 直线 当我们说a b 平行时 也具有同样的意义 共线向量定理 对空间任意两个向量a a 0 b a b 的充要条件是存在实数 使 b a 1 对于确定的 和a b a 表示空间与a 平行或共线 长度为 a 当 0 时与 a 同向 当 0 时与a 反向的所有向量 3 若直线l a lA P为l上任一点 O为空间任一点 下面根据上述定理来推导 OP的表达式 推论 如果 l为经过已知点A且平行于已知非零向量a 的直线 那么对任一点O 点P 在直线l上的充要条件是存在实数t 满足等式 OAOP a t 其中向量a 叫做直线l的方向向量 在l上取aAB 则 式可化为 1 OBtOAtOP 当 2 1 t 时 点P是线段AB的中点 则 2 1 OBOAOP 或 叫做空间直线的向量参数表示式 是线段AB的中点公式 注意 表示式 既是表示式 的基础 也是常用的直线参数方程的表 示形式 推论的用途 解决三点共线问题 结合三角形法则记忆方程 4 向量与平面平行 如果表示向量a 的有向线段所在直线与平面 平行或a 在 平面 内 我们就说向量a 平行于平面 记作a 注意 向量a 与直线a 的联系与 区别 共面向量 我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量 共面向量定理 如果两个向量a b 不共线 则向量p 与向量a b 共面的充要条件是 用心 爱心 专心 存在实数对x y 使 byaxp 注 与共线向量定理一样 此定理包含性质和判定两个方面 推论 空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x y 使 MByMAxMP 或对空间任一定点O 有 MByMAxOMOP 在平面MAB内 点P对应的实数对 x y 是唯一的 式叫做平面MAB的向量表示式 又 OMOAMA OMOBMB 代入 整理得 1 OByOAxOMyxOP 由于对于空间任意一点P 只要满足等式 之一 它们只是形式不同的同一等 式 点P就在平面MAB内 对于平面MAB内的任意一点P 都满足等式 所以等 式 都是由不共线的两个向量MA MB 或不共线三点 M A B 确定的空间平面 的向量参数方程 也是 M A B P 四点共面的充要条件 5 空间向量基本定理 如果三个向量a b c 不共面 那么对空间任一向量 存在一 个唯一的有序实数组x y z 使 czbyaxp 说明 由上述定理知 如果三个向量a b c 不共面 那么所有空间向量所组成的 集合就是 Rzyxczbyaxpp 这个集合可看作由向量a b c 生成的 所 以我们把 a b c 叫做空间的一个基底 a b c 都叫做基向量 空间任意三个不 共面向量都可以作为空间向量的一个基底 一个基底是指一个向量组 一个基向量是指基 底中的某一个向量 二者是相关联的不同的概念 由于0 可视为与任意非零向量共线 与 任意两个非零向量共面 所以 三个向量不共面就隐含着它们都不是0 推论 设O A B C是不共面的四点 则对空间任一点P 都存在唯一的有序实数组 zyx 使 OCzOByOAxOP 6 数量积 1 夹角 已知两个非零向量a b 在空间任取一点O 作aOA bOB 则角 AOB叫做向量a 与b 的夹角 记作 ba 说明 规定 0 ba 因而 ba ab 如果 ba 2 则称a 与b 互相垂直 记作 a b 在表示两个向量的夹角时 要使有向线段的起点重合 注意图 1 2 中的两个向量的夹角不同 图 1 中 AOB OBOA 图 2 中 AOB OBAO A a B a O a 2 A a B a O a 1 用心 爱心 专心 从而有 OBOA OBOA OBOA 2 向量的模 表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模 3 向量的数量积 baba cos叫做向量a b 的数量积 记作ba 即ba baba cos 向量AB方向上的正射影在e BAeaABea cos 4 性质与运算率 eaea cos aba b a b ba 0 ba b a 2 aa a abca ba c 三 三 典例解析 典例解析 题型 1 空间向量的概念及性质 例 1 有以下命题 如果向量 a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底 那么 a b 的 关系是不共线 O A B C为空间四点 且向量 OA OB OC 不构成空间的一个基底 那么 点 O A B C一定共面 已知向量 a b c 是空间的一个基底 则向量 ab ab c 也是 空间的一个基底 其中正确的命题是 A B C D 解析 对于 如果向量 a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底 那么 a b 的关 系一定共线 所以 错误 正确 题型 2 空间向量的基本运算 例 2 如图 在平行六面体 1111 DCBAABCD 中 M为 11C A与 11D B的交点 若ABa ADb 1 AAc 则下列向量中与BM相等的向量是 A 11 22 abc B 11 22 abc C 11 22 abc D cba 2 1 2 1 A B A B e l M C1 C B1 D1 A1 AB D 用心 爱心 专心 解析 显然 111 2 1 AAABADMBBBBM 11 22 abc 答案为 A 点评 类比平面向量表达平面位置关系过程 掌握好空间向量的用途 用向量的方法处 理立体几何问题 使复杂的线面空间关系代数化 本题考查的是基本的向量相等 与向量的 加法 考查学生的空间想象能力 例 3 已知 28 1 0423pynmxbpnma 且pnm 不共面 若a b 求yx 的值 解 a b 且 0aba 即 42328 1 pnmpynmx 又pnm 不共面 8 13 4 2 2 8 3 1 yx yx 点评 空间向量在运算时 注意到如何实施空间向量共线定理 例 4 底面为正三角形的斜棱柱 ABC A1B1C1中 D 为 AC 的中点 求证 AB1 平面 C1BD 证明 记 1 cAAbACaAB 则cbCCDCDCbaADABDBcaAB 2 1 2 1 111 11 ABcaDCDB 11 DCDBAB共面 B1 平面 C1BD AB1 平面 C1BD 四 强化巩固导练 四 强化巩固导练 1 已知正方体 ABCD A1B1C1D1中 点 F 是侧面 CDD1C1的中心 若 1 AAyABxADAF 求 x y 的值 解 易求得0 2 1 yxyx 2 在平行六面体 1111 DCBAABCD 中 M 为 AC 与 BD 的交点 若 11B A a 11D A b AA1 c 则下列向量中与 MB1 相等的向量是 A A 2 1 a 2 1 b c B 2 1 a 2 1 b c C 2 1 a 2 1 b cD 2 1 a 2 1 b c 3 2009 四川卷理 如图 已知正三棱柱 111 ABCABC 的各条棱长都相等 M是侧 棱 1 CC的中点 则异面直线 1 ABBM和所成的角的大是 解析 不妨设棱长为 2 选择基向量 1 BCBBBA 则 111 2 1 BBBCBMBABBAB 0 522 0220 522 2 1 cos 11 1 BBBCBABB BMAB 故填写 o 90 A B C D A 1 C1 B1 用心 爱心 专心 五 五 小结 小结 1 立体几何中有关垂直和平行的一些命题 可通过向量运算来证明 对于垂 直 一般是利用a b a b 0 进行证明 对于平行 一般是利用共线向量和共面向量定理 进行证明 2 运用向量求解距离问题 其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量 然后计算这个向量对应的模 而计算过程中只要运用好加法法则 就总能利用一个一个的向 量三角形 将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来 从而求得结果 3 利用向量求 夹角 线线夹角 线面夹角 面面夹角 有时也很方便 其一般方法是将所求的角转化为求两 个向量的夹角 而求两个向量的夹角则可以利用公式cos