07-09年高中数学高考真题演练分类解析知识点分析：直线与圆锥曲线旧人教版

用心 爱心 专心 考点考点 26 直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线 1 2008 宁夏海南 20 12 分 在直解坐标系 xOy 中 椭圆 C1 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左 右焦点分别为 F1 F2 F2 也是抛物线 C2 y2 4x 的焦点 点 M 为 C1 与 C2 在第一象限的交点 且 M F2 3 5 求 C1 的方程 平面上的点 N 满足 21 MFMFMN 且 l MN 且与 C1 交于 A B 两点若 0 OBOA 求 直线 l 的方程 2 2008 天津文 22 14 分 已知中心在原点的双 曲线 C 的一个焦点是 0 3 1 F 一条渐近线的方程 是 0 25 yx 求双曲线 C 的方程 若以 0 kk 为斜率的直线l与双曲线 C 相交于两个不同的点 M N 且线段 MN 的垂直 平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 2 81 求 k的取值范围 3 2007 海南宁夏 19 本小题满分 12 分 在平面直角坐标系 xOy 中 经过点 0 2 且斜率 为 k 的直线 l 与椭圆 2 2 1 2 x y 有两个不同的交点 P 和 Q 求 k 的取值范围 设椭圆与 x 轴正半轴 y 轴正半轴的交点分 别为 A B 是否存在常数 k 使得向量 OPOQ 与AB 共线 如果存在 求 k 值 如果不 存在 请说明理由 4 2009 浙江 21 已知椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b x a y C 的右顶点为 A 1 0 过 C1 的焦点且垂直长轴的弦长为 1 求椭圆 C1 的方程 设点 P 在抛物线 2 2 RhhxyC 上 C2 在点 P 处的切线与 C1 交于点 M N 当线段 AP 的中点与 MN 的中点的横坐标相等时 求 h 的 最小值 5 2009 天津 21 以知椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的两个焦点分别为 0 0 0 21 ccFcF和 过点 0 2 c a E 的直 线与椭圆相交与 A B 两点 且 2 2121 BFAFBFAF I 求椭圆的离心率 求直线 AB 的斜率 III 设点 C 与点 A 关于坐标原点对称 直线 F2B 上有一点 0 mnmH 在 1 AFC 的外接 圆上 求 n m的值 6 2009 山东 22 设椭圆 用心 爱心 专心 0 1 2 2 2 2 ba b y a x E 过 M 2 2 N 6 1 两点 O 为坐标原点 求椭圆 E 的方程 是否存在圆心在原点的圆 使得该圆的 任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A B 且 OBAB 若存在 写出该圆的方程 并求 AB 的取值范围 若不存在 说明理由 7 2009 辽宁 20 已知 椭圆 C 经过点 0 1 0 1 2 3 1 两个焦点为A I 求椭圆 C 的方程 II E F 是椭圆 C 上的两个动点 如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数 证明直线 EF 的斜率为定值 并求出这个定值 8 2009 安徽 20 点 00 yxP 在椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 2 0 sin cos 00 byax 直线 l2 与直线 1 2 0 2 0 1 y b y x a x l 垂直 O 为坐标原点 直线 OP 的倾斜角为 直线 2 l 的倾斜角为 证明 点 P 是椭圆 1 2 2 2 2 b y a x 与直线 1 l 的唯一交点 证明 tan tan tan 构成等比数列 9 2009 上海文 22 已知双曲线 C 的中心是原点 右焦点为 F 3 0 一条渐近线 m x 2 0y 设过点 A 3 2 0 的直线 l 的方向向量 1 ek v 1 求双曲线 C 的方程 2 若过原点的直线 al 且 a 与 l 的距离 为 6 求 K 的值 3 证明 当 2 2 k 时 在双曲线 C 的右支 上不存在点 Q 使之到直线 l 的距离为 6 10 2009 安徽文 18 本小题满分 12 分 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的离心率为 3 3 以原点为圆心 椭圆短半轴为半径的圆与直线 2 xy 相切 求a与b 设该椭圆的左 右焦点分别为 F1 和 F2 直线 l1 过 F2 且与 x 轴垂直 动直线 l2 与 y 轴 垂直 l2 交 l1 于点 P 求线段 PF1 的垂直平分线 与 l2 的交点 M 的轨迹方程 并指明曲线类型 高考真题答案与解析 数 学 理 考点 26 直线与圆锥曲线 1 解 由 0 1 4 2 2 2 FxyC知 设 3 5 1 3 5 12211 xMFCMyxM所以因为上在 得 3 62 3 2 11 yx 于是的半焦距且椭圆上在 1 11 cCCM 并整理得消去 2 22 22 1 1 3 8 9 4 b ab ba 0379 24 aaa 解得 3 1 2舍去不合题意 aa 故椭圆 C1 的方程为 1 34 22 yx 由 MNMFMF 21 知四边形 MF1NF2 是平行四边形 其中心为坐标原点 O 因为 l MN 所以 l 与 OM 的斜率相同 故 l 的斜率 6 3 2 3 62 k 设 l 的方程为 6mxy 由 6 1243 22 mxy yx 消去 y 并化简得 0 48169 22 mmxx 设 2211 yxByxA 9 48 9 16 2 2121 m xx m xx 因为 OBOA 所以 0 2121 yyxx 6 21212121 mxmxxxyyxx 0 2814 9 1 6 9 16 6 9 48 7 6 67 2 2 2 2 2121 m m m m m mxxmxx 所以 2 m 此时 0 48 94 16 22 mm 故所求直线 l 的方程为 326 326 xyxy或 2 本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质 直线方程 两条直线垂直 线段的定比分 点等基础知识 考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法 考查推理 运算能力 满 分 14 分 解 设双曲线 C 的方程为 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 由题设得 2 5 9 22 a b ba 解得 5 4 2 2 b a 所以双曲线 C 的方程为 1 54 22 yx 解 设直线 l 方程为 0 kmkxy 点 M 11 yx N 22 yx 的坐标满足方程组 1 54 22 yx mkxy 将 式代入 式 得 1 5 4 22 mkxx 整理得 0 2048 45 222 mkmxxk 此方程有两个不等实根 于是 045 2 k 且 0 204 45 4 8 222 mkkm 整理得 045 22 km 由根与系数的关系可知线段 MN 的中点坐标 00 y x 满足 2 00 2 21 0 45 5 45 4 2k m mkxy k kmxx x 从而线段 MN 的垂直平分线的方程为 45 41 45 5 22 k km x kk m y 此直线与 x 轴 y 轴的交点坐标分别为 45 9 0 0 45 9 22 k m k km 由题设可得 2 81 45 9 45 9 2 1 22 k m k km 整理得 0 45 22 2 k k k m 将上式代入 式得 045 45 2 22 k k k 整理得 0 0 54 54 22 kkkk 解得 4 5 2 5 0 kk或 所以 k 的取值范围是 4 5 2 5 0 0 2 5 4 5 3 解析 由已知条件 直线 l 的方程为 2ykx 代入椭圆方程得 2 2 2 1 2 x kx 整理得 22 1 2 210 2 kxkx 3 分 直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 222 1 84 420 2 kkk 解得 2 2 k 或 2 2 k 即 k 的取值范围为 22 22 6 分 设 1122 P x yQ xy 则 1212 OPOQxxyy 由方程 12 2 4 2 12 k xx k 又 1212 2 2yyk xx 8 分 而 2 0 0 1 2 1 ABAB 所以OP OQ 与AB 共线等价于 1212 2 xxyy 将 代入上式 解得 2 2 k 11 分 由 知 2 2 k 或 2 2 k 故没有符合题意的常数 k 12 分 4 解析 I 解 由题意 得 1 2 1 2 a b b 从而 1 2 b a 因此 所求的椭圆方程为 1 4 2 2 x y 解 如图 设 2 2211 httPyxNyxM 则抛物线 C2 在点 P 处的切线斜率为 2 ty tx 直线 MN 的方程为 2 2 httxy 将上式代入椭圆 C1 的方程中 得 04 2 4 222 httxx 即 04 4 1 4 22222 htxhttxt 因为直线 MN 与椭圆 C1 有两个不同的交点 所以 式中的 0 4 2 2 16 224 htht t 设线段 MN 的中点的横坐标是 3 x 则 1 2 2 2 2 21 3 t httxx x 设线段 PA 的中点的横坐标是 4 x 则 2 1 4 t x 由题意 得 即 0 1 1 2 43 tht xx 由 式中的 04 1 2 2 h 得 3 1 kh或 当 3 h 时 04 02 2 hh 则不等式 不成立 所以 1 h 当 1 h 时 代入方程 得 1 t 将 1 1 th 代入不等式 检验成立 所以 h的最小值为 1 5 解析 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质 直线的方程 圆的方程等基础知识 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想 考查运算能力和推理能力 满分 14 分 I 解 由 BFAF 21 且 2 21 BFAF 得 2 1 1 2 1 2 AF BF EF EF 从而 2 1 2 2 c c a c c a 整理 得 22 3ca 故离心率 3 3 a c e 解 由 I 得 2 2222 ccab 所以椭圆的方程可写为 632 222 cyx 设直线 AB 的方程为 2 c a xky 即 3 cxky 由已知设 2211 yxByxA 则它们的坐标满足方程组 632 3 222 cyx cxky 消去 y 并整理 得 0 62718 32 222222 cckcxkxk 依题意 0 31 48 22 kc 得 3 3 3 3 k 而 32 18 2 2 21 k ck xx 2 222 21 32 627 k cck xx 由题设知 点 B 为线段 AE 的中点 所以 21 23xcx 联立 解得 32 29 32 29 2 2 2 2 2 1 k cck x k cck x 将 21 x x 代入 中 解得 3 2 k III 解法一 由 可知 2 3 0 21 c xx 当 3 2 k 时 得 2 0 cA 由已知得 2 0 cC 线段 AF1 的垂直平分线l的方程为 2 2 2 2 2c xcy 直线l与 x 轴的交点 0 2 c 是 CAF1 的外接圆的圆心 因此外接圆的方程为 222 2 2 c c y c x 直线 F2B 的方程为 2cxy 于是点 nmH 的坐标满足方程组 4 9 2 2 22 c n c m 由 3 22 3 5 0 cn cm m解得 故 5 22 m n 当 5 22 3 2 m n k同理可得时 解法二 由 可知 2 3 0 21 c xx 当 3 2 k 时 得 2 0 cA 由已知得 2 0 cC 由椭圆的对称性知 B F2 C 三点共线 因为点 nmH 在 CAF1 的外接圆上 且 21 BFAF 所以四边形 AF1CH 的等腰梯形 由直线 F2B 的方程为 2cxy 知点 H 的坐标为 22 cmm 因为 1 CFAH 所以 222 222 accmm 解得 cm 舍 或 3 5 cm 则 cn 3 22 所以 5 22 m n 当 3 2 k 时 同理可得 5 22 m n 6 解析 将 NM 的坐标代入椭圆 E 的方程得 1 16 1 24 22 22 ba ba 解得 4 8 22 ba 所以椭圆 E 的方程为 1 48 22 yx 证明 假设满足题意的圆存在 其方程为 222 Ryx 其中 2 0 R 设该圆的任意一条切线 AB 和椭圆 E 交于 A x1 y1 B x2 y2 两点 当直线 AB 的斜率存在时 令直线 AB 的方程为 mkxy 将其代入椭圆 E 的方程并整理得 0 824 12 222 mkmxxk 由韦达定理得 12 82 12 4 2 2 21 2 21 k m xx k km xx 因为 OBOA 所以 0 2121 yyxx 将 代入 并整理得 0 1 2 2121 2 mxxkmxxk 联立 得 1 3 8 22 km 因为直线 AB 和圆相切 因此 2 1 k m R 由 得 3 62 R 所以 存在圆 3 8 22 yx 满足题意 当切线 AB 的斜率不存在时 易得 3 8 2 2 2 1 xx 由椭圆方程得 3 8 2 2 2 1 yy 显然 OBOA 综上所述 存在圆 3 8 22 yx 满足题意 解法一 当切线 AB 的斜率存在时 由 得 2 2121 yyxxAB 2 21 2 1xxk 21 2 21 2 4 1xxxxk 12 82 4 12 4 1 2 2 2 2 2 k m k km k 12 1 3 2 1 12 1 24 2 2 2 2 k k k k 令 12 1 2 2 k k t 则 1 2 1 t 因此 12 4 3 3 64 3 2 1 32 22 tttAB 所以 12 3 32 2 AB 即 32 3 64 AB 当切线 AB 的斜率不存在时 易得 3 64 AB 所以 3 64 AB 32 综上所述 存在圆心在原点的圆 3 8 22 yx 满足题意 且 32 3 64 AB 解法二 过原点 O 作OD AB 垂足为 D 则 D 为切点 设 OAB 且 为锐角 且 tan3 62 AD tan 3 62 BD 所以 tan 1 tan 3 62 AB 因为 22 2 OA 所以 2tan 2 2 令 tan x 易证 当 1 2 2 x 时 1 3 62 x xAB 单调递减 当 2 1 x 时 1 3 62 x xAB 单调递增 所以 32 3 64 AB 7 解析 I 由题意 c 1 可设椭圆方程为 1 1 2 2 2 2 b y b x 因为 A 在椭圆上 所以 4 3 3 1 4 9 1 1 22 22 bb bb 解得 舍去 所以椭圆方程为 1 34 22 yx II 设直线 AE 方程为 1 34 2 3 1 22 yx xky代入 得 012 2 3 4 23 4 43 222 kxkkxk 设 FFEE yxFyxE 因为点 2 3 1 A 在椭圆上 所以 2 3 43 12 2 3 4 2 2 kkxy k k x EE E 又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数 在上式中以 kk代 可得 2 3 43 2 3 4 2 122 kkxy k k x FF F 所以直线 EF 的斜率 2 12 EF FE FE FE EF xx kxxk xx yy k 即直线 EF 的斜率为定值 其值为 2 1 8 解析 方法一 由 1 2 0 2 0 y b y x a x 得 0 2 0 2 2 xxa ya b y 代入椭圆方程 1 2 2 2 2 b y a x 得 0 1 2 1 2 0 2 2 0 2 0 2 2 2 0 4 2 0 2 2 y b x ya xb x ya xb a 将 sin cos 0 0 by ax 代入上式 得 0 coscos2 222 axax 从而 cos ax 因此 方程组 0 0 2 0 2 0 2 2 2 2 1 1 yy xx y b y x a x b y a x 有唯一解 即 l1 与椭圆有唯一交点 P 方法二 显然 P 是椭圆与 l1 的交点 若 sin cos 11 baQ 20 1 是椭圆与 l1 的交点 代入 l1 的方程 1 sincos y b x a 得 1sinsincoscos 11 即 1 cos 11 故 P 与 Q 重合 方法三 在第一象限内 由 2 2 2 2 b y y x 可得 2 0 2 0 22 xa a b yxa a b y 椭圆在点 P 处切线的斜率 0 2 0 2 2 0 2 0 0 ya xb xaa bx xyk 切线方程为 1 2 0 2 0 00 0 2 0 2 b yy a xx yxx ya xb y即 因此 l1 就是椭圆在点 P 处的切线 根据椭圆切线的性质 P 是椭圆与直线 l2 的唯一交点 1 0 0 tantanl a b x y 的斜率为 2 0 2 2 ay bx 2 l 的斜率为 tantan 2 0 2 0 b a bx ay 由此得 tan tan tan 0tantantan 2 ya 构成等比数列 9 解析 1 设双曲线 C 的方程为 0 2 22 yx 3 2 解得 2 双曲线 C 的方程为 1 2