2011届高三数学二轮复习 专题一第四讲转化与化归思想 北师大版

用心 爱心 专心1 第四讲第四讲 转化与化归思想转化与化归思想 思想方法解读 转化与化归思想方法 就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变 换使之转化 进而得到解决的一种方法 一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问 题 将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题 将未解决的问题通过变换转化为已解 决的问题 转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位 数学问题的解决 总离不开转化与化 归 如未知向已知的转化 新知识向旧知识的转化 复杂问题向简单问题的转化 不同数 学问题之间的互相转化 实际问题向数学问题转化等 各种变换 具体解题方法都是转化 的手段 转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中 1 转化与化归的原则 1 熟悉化原则 将陌生的问题转化为熟悉的问题 以利于我们运用熟知的知识 经验来解 决 2 简单化原则 将复杂问题化归为简单问题 通过对简单问题的解决 达到解决复杂问题 的目的 或获得某种解题的启示和依据 3 直观化原则 将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决 4 正难则反原则 当问题正面讨论遇到困难时 可考虑问题的反面 设法从问题的反面去 探讨 使问题获解 2 常见的转化与化归的方法 转化与化归思想方法用在研究 解决数学问题时 思维受阻或寻求简单方法或从一种状况 转化到另一种情形 也就是转化到另一种情境使问题得到解决 这种转化是解决问题的有 效策略 同时也是成功的思维方式 常见的转化方法有 1 直接转化法 把原问题直接转化为基本定理 基本公式或基本图形问题 2 换元法 运用 换元 把式子转化为有理式或使整式降幂等 把较复杂的函数 方程 不等式问题转化为易于解决的基本问题 3 数形结合法 研究原问题中数量关系 解析式 与空间形式 图形 关系 通过互相变换获得 转化途径 4 等价转化法 把原问题转化为一个易于解决的等价命题 达到化归的目的 5 特殊化方法 把原问题的形式向特殊化形式转化 并证明特殊化后的问题 结论适合原 问题 6 构造法 构造 一个合适的数学模型 把问题变为易于解决的问题 7 坐标法 以坐标系为工具 用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径 8 类比法 运用类比推理 猜测问题的结论 易于确定 9 参数法 引进参数 使原问题转化为熟悉的形式进行解决 10 补集法 如果正面解决原问题有困难 可把原问题的结果看做集合 A 而把包含该问题 的整体问题的结果类比为全集 U 通过解决全集 U 及补集 UA 获得原问题的解决 体现了 正难则反的原则 方法应用示例 考点一 一般与特殊的转化 一般与特殊的转化 特殊问题的解决往往是比较容易的 可以利用特殊中内含的本质联系 通过归纳思维 来引出一般问题的解决 如抽象函数 抽象数列等问题 可借助熟悉的特 用心 爱心 专心2 殊函数 数列等知识 探寻一般问题的规律 找到解决问题的突破口和方法 例 1 2010 临沂模拟 已知等差数列 an 的公差 d 0 且 a1 a3 a9成等比数列 则 的值是 139 2410 aaa aaa 独立解答 由题意知 只要满足 a1 a3 a9成等比数列的条件 an 取何种等差数列与 所求代数式的值是没有关系的 因此 可把抽象数列化归为具体数列 比如 可选取数列 an n n N 则 139 2410 13913 241016 aaa aaa 答案 13 16 变式训练 1 过抛物线 a 0 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P Q 两点 若线段 PF 与 FQ 的 2 yax 长分别是 p q 则等于 11 pq A 2a B 1 2a C 4a D 4 a 解析 取图形的特殊位置 如图 弦的特殊位置是抛物线的通径 抛物线 x2 的焦 1 y a 点为 F 1 0 4a 由 得 x2 2 1 1 4 xy a y a 2 1 4a x 1 2a 得特殊值 p q 1 2a 4a 11 pq 答案 C 考点二 正向思维与逆向思维的转化 逆向思维能力是指从正向思维序列到逆向思维序列的转换能力 如果经常注意对问题的逆 向思考 不仅可以加深对可逆知识的理解 而且可以提高思维的灵活性 一般地 我们在解题时 若正面情形较为复杂 就可以先考虑其反面 再利用其补集求得 其解 这就是 补集思想 例 2 已知集合 A y y2 a2 a 1 y a a2 1 0 B y y2 6y 8 0 若 A B 则实数 a 的取值范围为 独立解答 由题意得 A y y a2 1 或 y a B y 2 y 4 我们不妨先考虑当 用心 爱心 专心3 A B 时 a 的取值范围 如图 由得 2 2 14 a a 2 33 a aa 或 或3a 32 a 即时 的取值范围为或AB a3a 32 a 时 的取值范围显然是其补集 从而所求范围为或AB a 2a a 33 a 考点三 函数与方程 不等式之间的转化 函数与方程 不等式就像 一胞三兄弟 解决方程 不等式的问题需要函数帮助 解决函 数的问题需要方程 不等式的帮助 因此借助于函数与方程 不等式进行转化与化归可以 将问题化繁为简 一般可将不等关系转化为最值 值域 问题 从而求出参变量的范围 例 3 2010 开封模拟 已知函数 f x 2x aln x 若函数 f x 在区间 0 1 上为单调增 2 x 函数 求实数 a 的取值范围 解析 2x 2 f x 在 0 1 上单调递增 fx a x 0 在 0 1 上恒成立 fx 即 2x2 2x a 0 在 0 1 上恒成立 亦即 a 2x2 2x 在 0 1 上恒成立 又 2x2 2x 在 0 1 上单调递减 2 11 2 22 x 2x2 2x 0 当 a 0 时 f x 在 0 1 上为单调递增函数 2 若不等式 x2 ax 1 0 对于一切 x 成立 则 a 的最小值为 1 0 2 A 0 B 2 C D 3 5 2 解析 解法一 原不等式可转化为 ax x2 1 2 22 1433 332 32 3 aa aaa aa ABaa AB a 由得 或 或 即时的取值范围为a 3或 而时 a的取值范围显然是其补集 从而所求范围为 a a2或 3 用心 爱心 专心4 其中 x 则又可化为 a 1 0 2 1 x x 由函数的单调性可得 max 115 2 22 x x 因此 故选 C 5 2 a 解法二 设 f x x2 ax 1 则对称轴为 2 a x 若 即 a 1 时 2 a 1 2 可知 f x 在上是减函数 1 0 2 应有 0 a 1 1 2 f 5 2 若 0 2 a 即 a 0 时 可知 f x 在上是增函数 1 0 2 应有 f 0 1 0 恒成立 故 a 0 若 0 即 1 a 0 时 2 a 1 2 则应有恒成立 222 110 2424 aaaa f 故 1 a 0 综上 有 故选 C 5 2 a 答案 C 考点四 命题与等价命题的转化 有的命题若直接考虑 则显得无从下手 若把命题化归为它的等价命题 往往柳暗花 明 解题时要注意命题与等价命题的转化 尤其是原命题与逆否命题的转化 常见的有 1 在三角函数中 涉及到三角式的变形 一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已 知或易解的三角问题 以起到化暗为明的作用 主要的方法有公式的 三用 顺用 逆用 变形用 角度的转化 函数的转化等 2 换元法 是将一个复杂的或陌生的函数 方程 不等式转化为简单的或熟悉的函数 方 程 不等式的一种重要方法 3 在解决平面向量与三角函数 平面几何 解析几何等知识的交汇题目时 常将平面向量 语言与三角函数 平面几何 解析几何语言进行转化 4 在解决数列问题时 常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解 5 在利用导数研究函数问题时 常将函数的单调性 极值 最值 切线问题 转化为其导 函数构成的方程 不等式问题求解 fx 6 在解决解析几何 立体几何问题时 常常在数与形之间进行转化 7 实际问题与数学模型之间的转化 用心 爱心 专心5 例 4 12 分 已知 f x 为定义在实数集 R 上的奇函数 且 f x 在 0 上是增函 数 当 0 时 是否存在这样的实数 m 使 f f f 0 对 2 cos23 42cosmm 所有的均成立 若存在 求出所有适合条件的实数 m 若不存在 请说明理由 0 2 标准解答 由 f x 是 R 上的奇函数可得 f 0 0 又在 0 上是增函数 故 f x 在 R 上为增函数 2 分 由题设条件可得 f cos 2 3 f 4m 2mcos 0 又由 f x 为奇函数 可得 f cos 2 3 f 2mcos 4m 4 分 f x 是 R 上的增函数 cos 2 3 2mcos 4m 即 mcos 2m 2 0 6 分 2 cos 令 cos t 0 2 0 t 1 于是问题转化为对一切 0 t 1 不等式 mt 2m 2 0 恒成立 8 分 2 t 2 m t 2 即 m 恒成立 2 t 2 2 2 t t 又 t 2 4 4 10 分 2 2 2 t t 2 1t 2 2 m 4 11 分 2 2 存在实数 m 满足题设的条件 m 4 12 分 2 2 3 2010 德州模拟 设 g x px 2f x 其中 f x ln x 且 g e qe 2 e 为自然对 q x p e 数的底数 1 求 p 与 q 的关系 2 若 g x 在其定义域内为增函数 求 p 的取值范围 解析 1 由题意 g x px 2ln x q x g e pe 2 p e pe 2 qe 2 p e p e p q e p q 0 1 e p q 0 1 e e 而 0 p q