2010年高考数学 压轴题跟踪演练系列一 旧人教版

用心 爱心 专心 1 备战备战 20102010 年高考数学年高考数学 压轴题跟踪演练系列一压轴题跟踪演练系列一 1 12 分 已知抛物线 椭圆和双曲线都经过点 它们在轴上有共同焦点 椭圆和双曲线 1 2Mx 的对称轴是坐标轴 抛物线的顶点为坐标原点 求这三条曲线的方程 已知动直线 过点 交抛物线于两点 是否存在垂直于轴的直线被以为直l 3 0P A Bx l AP 径的圆截得的弦长为定值 若存在 求出的方程 若不存在 说明理由 l 解 设抛物线方程为 将代入方程得 2 20ypx p 1 2M2p 1 分 2 4yx 抛物线方程为 由题意知椭圆 双曲线的焦点为 2 分 2 1 1 0 1 0 FF c 1 对于椭圆 22 2 12 21 121 1422 2aMFMF 4 分 2 2 222 22 12 1232 2 22 2 1 32 222 2 a a bac xy 椭圆方程为 对于双曲线 12 22 22aMFMF 6 分 2 222 22 21 32 2 2 22 1 32 22 22 a a bca xy 双曲线方程为 设的中点为 的方程为 以为直径的圆交于两点 中点为APC l xa AP l D EDEH 令 7 分 11 11 3 22 xy A x y C 2 2 11 1 1 11 3 22 31 23 22 DCAPxy x CHaxa 12 分 2 2222 2 111 2 1 2 11 323 44 23 2462 22 2 2 DHDCCHxyxa axaa aDH DEDH lx 当时 为定值 为定值 此时的方程为 用心 爱心 专心 2 2 14 分 已知正项数列中 点在抛物线上 数列中 点 n a 1 6a 1 nnn Aaa 2 1yx n b 在过点 以方向向量为的直线上 nn Bn b 0 1 1 2 求数列的通项公式 nn ab 若 问是否存在 使成立 若存在 求出 n n a f n b n为奇数 n为偶数 kN 274f kf k 值 若不存在 说明理由 k 对任意正整数 不等式成立 求正数的取值范围 n 1 12 0 2111 111 nn n n aa na bbb a 解 将点代入中得 1 nnn Aaa 2 1yx 4 分 11 1 11 1 15 21 21 nnnn n n aaaad aann l yxbn 直线 5 分 5 21 n f n n n为奇数 n为偶数 8 分 27274 2754 21 4 27 35 227145 2 4 kkf kf k kkk kk kkk k 当为偶数时 为奇数 当为奇数时 为偶数 舍去 综上 存在唯一的符合条件 由 1 12 0 2111 111 nn n n aa na bbb 用心 爱心 专心 3 12 12 121 1 1111 111 23 1111 111 23 11111 11111 25 1 23123 2424 1 232525 n n nn n a bbbn f n bbbn f n bbbbn f n nnnn f nbnnn 即 记 2 2 min 2523 41616 1 41615 1 144 5 1 3155 4 5 0 15 nn nn nn f nf nf n f nf a 即递增 14 分 3 本小题满分 12 分 将圆 O 上各点的纵坐标变为原来的一半 横坐标不变 4yx 22 得到曲线 C 1 求 C 的方程 2 设 O 为坐标原点 过点的直线 l 与 C 交于 A B 两点 N 为线段 AB 的中点 0 3 F 延长线段 ON 交 C 于点 E 求证 的充要条件是 ON2OE 3 AB 解 1 设点 点 M 的坐标为 由题意可知 2 分 y x P y x y 2y xx 又 4yx 22 1y 4 x 4y4x 2 2 22 所以 点 M 的轨迹 C 的方程为 4 分 1y 4 x 2 2 2 设点 点 N 的坐标为 y x A 11 y x B 22 y x 00 当直线 l 与 x 轴重合时 线段 AB 的中点 N 就是原点 O 不合题意 舍去 5 分 设直线 l 3myx 由消去 x 4y4x 3myx 22 用心 爱心 专心 4 得 01my32y 4m 22 6 分 4m m3 y 2 0 4m 34 4m 34m3 4m m3 3myx 22 2 2 2 00 点 N 的坐标为 8 分 4m m3 4m 34 22 若 坐标为 则点 E 的为 由点 E 在曲线 C 上 OEON2 4m m32 4m 38 22 得 即 舍去 1 4m m12 4m 48 22 2 22 032m4m 24 4m 8m 22 由方程 得 1 4m 1m4 4m 16m4m12 yy 2 2 2 22 21 又 yy m mymy xx 212121 10 分 3 yy 1m AB 21 2 若 由 得 3 AB 3 4m 1m 4 2 2 8m2 点 N 的坐标为 射线 ON 方程为 6 6 3 3 0 x x 2 2 y 由 解得 点 E 的坐标为 4y4x 0 x x 2 2 y 22 3 6 y 3 32 x 3 6 3 32 OEON2 综上 的充要条件是 12 分 OEON2 3 AB 4 本小题满分 14 分 已知函数 24 1 x f x Rx 1 试证函数的图象关于点对称 x f 4 1 2 1 2 若数列的通项公式为 求数列的前 m 项和 a n m 2 1n Nm m n fan a n Sm 用心 爱心 专心 5 3 设数列满足 设 b n 3 1 b1 n 2 n1n bbb 1b 1 1b 1 1b 1 T n21 n 若 2 中的满足对任意不小于 2 的正整数 n 恒成立 试求 m 的最大值 n S nn TS 解 1 设点是函数的图象上任意一点 其关于点的对称点为 y x P 000 x f 4 1 2 1 y x P 由 得 4 1 2 yy 2 1 2 xx 0 0 y 2 1 y x1x 0 0 所以 点 P 的坐标为 P 2 分 y 2 1 x1 00 由点在函数的图象上 得 y x P 000 x f 24 1 y 0 x 0 24 2 4 424 4 24 1 x1 f 0 0 0 0 0 x x x x x1 0 点 P在函数的图象上 24 1 2 1 y 2 1 0 x 0 24 2 4 0 0 x x y 2 1 x1 00 x f 函数的图象关于点对称 4 分 x f 4 1 2 1 2 由 1 可知 所以 2 1 x1 f x f 1mk1 2 1 m k 1 f m k f 即 6 分 2 1 aa 2 1 m km f m k f kmk 由 m1m321m aaaaaS 得 aaaaaS m13m2m1mm 由 得 6 1 2 m 6 1 2 2 1m a2 2 1 1m S2 mm 8 分 1m3 12 1 Sm 3 3 1 b1 1b bbbb nnn 2 n1n 对任意的 0b Nn n 由 得即 1b 1 b 1 1b b 1 b 1 nnnn1n 1nnn b 1 b 1 1b 1 10 分 1n1n11nn3221 n b 1 3 b 1 b 1 b 1 b 1 b 1 b 1 b 1 b 1 T 数列是单调递增数列 bb 0bbb n1n 2 nn1n b n 用心 爱心 专心 6 关于 n 递增 当 且时 n T2n Nn 2n TT 81 52 1 9 4 9 4 b 9 4 1 3 1 3 1 b 3 1 b 321 12 分 52 75 b 1 3TT 1 2n 即 m 的最大值为 6 14 分 52 75 Sm 52 75 1m3 12 1 39 4 6 39 238 m 5 12 分 是椭圆的左 右焦点 是椭圆的右准线 点 过点的直线交EF 22 24xy lPl E 椭圆于 两点 AB 1 当时 求的面积 AEAF AEF 2 当时 求的大小 3AB AFBF 3 求的最大值 EPF 解 1 22 4 1 2 82 AEF mn Smn mn 2 因 4 8 4 AEAF ABAFBF BEBF 则5 AFBF 1 设 2 2 0 Pt t tan EPFtanEPMFPM 221 3 223 222 22 23 1 663 t tttttt 当时 6t 3 30 3 tan EPFEPF 6 14 分 已知数列中 当时 其前项和满足 n a 1 1 3 a 2n n n S 2 2 21 n n n S a S 2 求的表达式及的值 n S 2 lim n n n a S 3 求数列的通项公式 n a 4 设 求证 当且时 33 11 21 21 n b nn nN 2n nn ab 解 1 2 111 1 211 22 2 21 n nnnnnnn nnn S aSSSSS Sn SSS M FE O y A B P x 用心 爱心 专心 7 所以是等差数列 则 1 n S 1 21 n S n 2 22 limlim2 212lim1 n nn nnn n a SSS 2 当时 2n 1 2 112 212141 nnn aSS nnn 综上 2 1 1 3 2 2 1 4 n n a n n 3 令 当时 有 1 11 2121 ab nn 2n 1 0 3 ba 法 1 等价于求证 33 1111 2121 2121 nn nn 当时 令2n 11 0 213n 23 1 0 3 f xxxx 2 3313 232 1 2 1 2 1 0 2223 fxxxxxxx 则在递增 f x 1 0 3 又 111 0 21213nn 所以即 33 11 2121 gg nn nn ab 法 2 2233 33 1111 2121 21 21 nn abbaba nn nn 2 22 ab ababab 3 22 22 abab abaabb 1 1 22 ba ab a ab b 因 所以 333 111110 22222 3 aba ba 1 1 0 22 ba a ab b 由 1 3 4 知 nn ab 法 3 令 则 22 g bababab 1 210 2 a g bbab 用心 爱心 专心 8 所以 22 0 32g bmax gg amax aaaa 因则 1 0 3 a 2 10aaa a 2 214 323 3 0 339 aaa aa 所以 5 22 0g bababab 由 1 2 5 知 nn ab 7 本小题满分 14 分 设双曲线 1 a 0 b 0 的右顶点 2 2 2 2 b y a x 为 A P 是双曲线上异于顶点的一个动点 从 A 引双曲 线的两条渐近线的平行线与直线 OP 分别交于 Q 和 R 两 点 1 证明 无论 P 点在什么位置 总有 2 OP O 为坐标原点 OQ OR 2 若以 OP 为边长的正方形面积等于双曲线实 虚轴围成的矩形面积 求双曲线离心率的取值范围 解 1 设 OP y k x 又条件可设 AR y x a a b 解得 同理可得 OR bak ab bak kab OQ bak ab bak kab 4 分 OQ OR bak ab bak ab bak kab bak kab bka k1 ba 222 222 设 m n 则由双曲线方