1992年全国高中数学联赛试题及解析 苏教版

用心 爱心 专心1 19921992 年全国高中数学联赛试卷年全国高中数学联赛试卷 第一试 一 选择题 每小题 5 分 共 30 分 1 对于每个自然数n 抛物线y n2 n x2 2n 1 x 1 与x轴交于An Bn两点 以 AnBn 表示该两点 的距离 则 A1B1 A2B2 A1992B1992 的值是 A B C D 1991 1992 1992 1993 1991 1993 1993 1992 2 已知如图的曲线是以原点为圆心 1 为半径的圆的一部分 则这一曲线的方 程是 A x y 0 B x y 0 1 y21 x21 y21 x2 C x y 0 D x y 0 1 y21 x21 y21 x2 3 设四面体四个面的面积分别为S1 S2 S3 S4 它们的最大值为S 记 Si S 则 一定满足 4 i 1 A 2 4 B 3 4 C 2 5 4 5 D 3 5 5 5 4 在 ABC中 角A B C的对边分别记为a b c b 1 且 都是方程 C A sinB sinA logx logb 4x 4 的根 则 ABC b A 是等腰三角形 但不是直角三角形 B 是直角三角形 但不是等腰三角形 C 是等腰直角三角形 D 不是等腰三角形 也不是直角三角形 5 设复数z1 z2在复平面上对应的点分别为A B 且 z1 4 4z12 2z1z2 z22 0 O为坐标原点 则 OAB的面积为 A 8 B 4 C 6 D 12 3333 6 设f x 是定义在实数集 R R 上的函数 且满足下列关系f 10 x f 10 x f 20 x f 20 x 则f x 是 A 偶函数 又是周期函数 B 偶函数 但不是周期函数 C 奇函数 又是周期函数 D 奇函数 但不是周期函数 二 填空题 每小题 5 分共 30 分 1 设x y z是实数 3x 4y 5z成等比数列 且 成等差数列 则 的值是 1 x 1 y 1 z x z z x 2 在区间 0 中 三角方程 cos7x cos5x的解的个数是 3 从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条 使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线 则k的最大值是 4 设z1 z2都是复数 且 z1 3 z2 5 z1 z2 7 则 arg 3的值是 z2 z1 5 设数列a1 a2 an 满足a1 a2 1 a3 2 且对任何自然数n 都有anan 1an 2 1 又 anan 1an 2an 3 an an 1 an 2 an 3 则a1 a2 a100的值是 6 函数f x 的最大值是 x4 3x2 6x 13x4 x2 1 三 20 分 求证 16 1 2 用数学归纳法证明 fn x yn C 1 n 1yn 2 1 iC i n i yn 2i 1 n 2 i 1 2 f n 2 n为偶数 yn C 1 n 1yn 2 1 iC i n i 1 n 1 2 C n 1 2 n 1 2 y i 1 2 f n 1 2 n为奇数 用心 爱心 专心3 第二试 一 35 分 设A1A2A3A4为 O的内接四边形 H1 H2 H3 H4依次为 A2A3A4 A3A4A1 A4A1A2 A1A2A3的垂心 求证 H1 H2 H3 H4四点在同一个圆上 并定出该圆的 圆心位置 二 35 分 设集合Sn 1 2 n 若X是Sn的子集 把X中所有数的和称为X的 容量 规定 空集的容量为 0 若X的容量为奇 偶 数 则称X为的奇 偶 子集 1 求证Sn的奇子集与偶子集个数相等 2 求证 当n 3 时 Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和 3 当n 3 时 求Sn的所有奇子集的容量之和 三 35 分 在平面直角坐标系中 横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点 任取 6 个格点Pi xi yi i 1 2 3 4 5 6 满足 1 xi 2 yi 2 i 1 2 3 4 5 6 2 任何三点不在同一条直线上 试证 在以Pi i 1 2 3 4 5 6 为顶点的所有三角形中 必有一个三角形 它的面积不大于 2 用心 爱心 专心4 1992 年全国高中数学联赛解答 第一试 一 选择题 每小题 5 分 共 30 分 1 对于每个自然数n 抛物线y n2 n x2 2n 1 x 1 与x轴交于An Bn两点 以 AnBn 表示该两点 的距离 则 A1B1 A2B2 A1992B1992 的值是 A B C D 1991 1992 1992 1993 1991 1993 1993 1992 解 y n 1 x 1 nx 1 AnBn 于是 A1B1 A2B2 A1992B1992 选B 1 n 1 n 1 1992 1993 2 已知如图的曲线是以原点为圆心 1 为半径的圆的一部分 则这一曲线的方 程是 A x y 0 B x y 0 1 y21 x21 y21 x2 C x y 0 D x y 0 1 y21 x21 y21 x2 解 x 0 表示y轴右边的半圆 y 0 表示x轴下方的半圆 1 y21 x2 故选D 3 设四面体四个面的面积分别为S1 S2 S3 S4 它们的最大值为S 记 Si S 则 一 4 i 1 定满足 A 2 4 B 3 4 C 2 5 4 5 D 3 5 5 5 解 Si 4S 故Si 4 又当与最大面相对的顶点向此面无限接近时 Si接近 2S 4 i 1 4 i 1 4 i 1 故选A 4 在 ABC中 角A B C的对边分别记为a b c b 1 且 都是方程 C A sinB sinA logx logb 4x 4 的根 则 ABC b A 是等腰三角形 但不是直角三角形 B 是直角三角形 但不是等腰三角形 C 是等腰直角三角形 D 不是等腰三角形 也不是直角三角形 解 x2 4x 4 根为x 2 C 2A B 180 3A sinB 2sinA sin3A 2sinA 3 4sin2A 2 A 30 C 60 B 90 选B 5 设复数z1 z2在复平面上对应的点分别为A B 且 z1 4 4z12 2z1z2 z22 0 O为坐标原点 则 OAB的面积为 A 8 B 4 C 6 D 12 3333 解 cos isin z2 8 z1 z2的夹角 60 S 4 8 8 选A 2z1 z2 3 3 1 2 3 23 6 设f x 是定义在实数集 R R 上的函数 且满足下列关系f 10 x f 10 x f 20 x f 20 x 则f x 是 A 偶函数 又是周期函数 B 偶函数 但不是周期函数 C 奇函数 又是周期函数 D 奇函数 但不是周期函数 解 f 20 x f 10 10 x f 10 10 x f x f 20 x f 40 x f 20 20 x f 20 x f x 是周期函数 f x f 40 x f 20 20 x f 20 20 x f x 是奇函数 选C 二 填空题 每小题 5 分共 30 分 1 1 O 1 1 x y 用心 爱心 专心5 1 设x y z是实数 3x 4y 5z成等比数列 且 成等差数列 则 的值是 1 x 1 y 1 z x z z x 解 16y2 15xz y 16 4x2z2 15xz x z 2 由xz 0 得 2xz x z x z 2 xz 64 15 x z z x 34 15 2 在区间 0 中 三角方程 cos7x cos5x的解的个数是 解 7x 5x 2k 或 7x 5x 2k k Z x k x k k Z 共有 7 1 6 解 3 从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条 使得其中任意两条线段所在的 直线都是异面直线 则k的最大值是 解 正方体共有 8 个顶点 若选出的k条线两两异面 则不能共顶点 即至多可选 出 4 条 又可以选出 4 条两两异面的线 如图 故所求k的最大值 4 4 设z1 z2都是复数 且 z1 3 z2 5 z1 z2 7 则 arg 3的值是 z2 z1 解 cos OZ1Z3 即 OZ1Z3 120 32 52 72 2 3 5 1 2 arg 或 z2 z1 3 5 3 arg 3 z2 z1 5 设数列a1 a2 an 满足a1 a2 1 a3 2 且对任何自然数n 都有 anan 1an 2 1 又anan 1an 2an 3 an an 1 an 2 an 3 则a1 a2 a100的值是 解 anan 1an 2an 3 an an 1 an 2 an 3 an 1an 2an 3an 4 an 1 an 2 an 3 an 4 相减 得anan 1an 2 a4 an an 4 an 由anan 1an 2 1 得an 4 an 又 anan 1an 2an 3 an an 1 an 2 an 3 a1 a2 1 a3 2 得a4 4 a1 a2 a100 25 1 1 2 4 200 6 函数f x 的最大值是 x4 3x2 6x 13x4 x2 1 解 f x 表示点 x x2 x2 2 2 x 3 2 x2 1 2 x2 与点A 3 2 的距离及B 0 1 距离差的最大值 由于此二点在抛物线两侧 故过此二点的直线必与抛物线交于两点 对于抛物线上任意一点 到此二点 距离之差大于 AB 即所求最小值为 1010 三 20 分 求证 16 17 4 i 1 1 k 证明 2 1 k 2 k 1 kk 1k 于是得 2 1 2 80 k 1 k 1k 80 k 1 1 k 80 k 1 kk 1 即 16 1 2 1 1 2 用数学归纳法证明 fn x yn C 1 n 1yn 2 1 iC i n i yn 2i 1 n 2 i 1 2 f n 2 n为偶数 yn C 1 n 1yn 2 1 iC i n i 1 n 1 2 C n 1 2 n 1 2 y i 1 2 f n 1 2 n为奇数 证明 由yfn x fn 1 x fn 1 x 故证 xn 2 x n 2 x x 1 f1 x x f2 x x2 1 x 2 x 2 1 y2 1 故命题对n 1 2 成立 1 x 1 x 设对于n m m 2 m为正整数 命题成立 现证命题对于n m 1 成立 1 若m为偶数 则m 1 为奇数 由归纳假设知 对于n m及n m 1 有 fm x ym Cym 2 C ym 4 1 iCym 2i 1 Cy 1 m 1 2 m 2 i m i m 2 m 2 m m 2 m 2 m 2 fm 1 x ym 1 Cym 3 1 i 1Cym 1 2i 1 Cy 1 m 1 i 1 m i m 2 2 m 2 2 m 2 yfm x fm 1 x ym 1 1 i C C ym 1 2i 1 C C y i m i i 1 m i m 2 m 2 m m 2 m 2 1 m m 2 ym 1 Cym 1 1 iCym 1 2i 1 Cy 1 m 1 1 i m i 1 m 2 m 2 m 2 1 即命题对n m 1 成立 2 若m为奇数 则m 1 为偶数 由归纳假设知 对于n m及n m 1 有 fm x ym 1 Cym 2 1 i Cym 2i 1 C y 1 m 2 i m i m 1 2 m 1 2 m 1 2 fm 1 x ym 1 Cym 3 1 i 1Cym 1 2i 1 C 1 m 2 i 1 m i m 1 2 m 1 2 m 1 2 用y乘 减去 同上合并 并注意最后一项常数项为 1 C 1 C 1 m 1 2 m 1 2 m 1 2 m 1 2 m 1 2 m 1 2 m 1 2 K P Q R l m l D E F A B C 用心 爱心 专心7 于是得到yfm x fm 1 x ym 1 Cm1ym 1 1 即仍有对于n m 1 命题成立 m 1 2 综上所述 知对于一切正整数n 命题成立 第二试 一 35 分 设A1A2A3A4为 O的内接四边形 H1 H2 H3 H4依次为 A2A3A4 A3A4A1 A4A1A2 A1A2A3的垂心 求证 H1 H2 H3 H4四点在同一个圆上 并定出该圆的 圆心位置 证明 连A2H1 A1H2 取A3A4的中点M 连OM 由上证知 A2H1 OM A2H1 2OM A1H2 OM A1H2 2OM 从而H1H2A1A2是平行四边形 故H1H2 A1A2 H1H2 A1A2 同理可知 H2H3 A2A3 H2H3 A2A3 H3H4 A3A4 H3H4 A3A4 H4H1 A4A1 H4H1 A4A1 故 四边形A1A2A3A4 四边形H1H2H3H4 由四边形A1A2A3A4有外接圆知 四边形H1H2H3H4也有外接圆 取 H3H4 的中点M1 作M1O1 H3H4 且M1O1 MO 则点O1即为四边形H1H2H3H4 的外接圆圆心 又证 又证 以O为坐标原点 O的半径为长度单位建立直角坐标系 设OA1 OA2 OA3 OA4与OX正方 向所成的角分别为 则点A1 A2 A3 A4的坐标依次是 cos sin cos sin cos sin cos sin 显然 A2A3A4 A3A4A1 A4A1A2 A1A2A3的外心都是点O 而它们的重心依次是 cos cos cos sin sin sin cos cos cos 1 3 1 3 1 3 sin sin sin 1 3 cos cos cos sin sin sin cos cos cos 1 3 1 3 1 3 sin sin sin 1 3 从而 A2A3A4 A3A4A1 A4A1A2 A1A2A3的垂心依次是 H1 cos cos cos sin sin sin H 2 cos cos cos sin sin sin H 3 cos cos cos sin sin sin H 4 cos cos cos sin sin sin 而H1 H2 H3 H4点与点O1 cos cos cos cos sin sin sin sin 的距离都等于 1 即H1 H2 H3 H4四点在以O1为圆心 1 为半径的圆上 证毕 二 35 分 设集合Sn 1 2 n 若X是Sn的子集 把X中所有数的和称为X的 容量 规定空 集的容量为 0 若X的容量为奇 偶 数 则称X为的奇 偶 子集 1 求证Sn的奇子集与偶子集个数相等 2 求证 当n 3 时 Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和 3 当n 3 时 求Sn的所有奇子集的容量之和 证明 对于Sn的每个奇子集A 当 1 A时 取B A 1 当 1 A时 取B A 1 则B为Sn的 偶子集 反之 若B为Sn的偶子集 当 1 B时 取A B 1 当 1 B时 取A B 1 于是在Sn的奇子 集与偶子集之间建立了一个一一对应 故Sn的奇子集与偶子集的个数相等 A A A A H H H H O M 1 2 3 4 1 2 3 4 M O 1 1 用心 爱心 专心8 对于任一i Sn i 1 含i的Sn的子集共有 2n 1个 其中必有一半是奇子集 一半是偶子集 从 而每个数i 在奇子集的和与偶子集的和中 i所占的个数是一样的 而对于元素 1 只要把Sn的所有子集按是否含有 3 配对 即在上证中把 1 换成 3 来证 于是也可知 1 的奇子集与偶子集中占