2011届高考数学权威预测 19向量与圆锥曲线（2） 新人教A版

用心 爱心 专心 1 第十九讲第十九讲 向量与圆锥曲线 二 向量与圆锥曲线 二 例例 5 5 设 F1 F2分别是椭圆1 4 2 2 y x 的左 右焦点 若 P 是该椭圆上的一个动点 求 12 PF PF 的最大值和最小值 设过定点 M 0 2 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A B 且 AOB 为锐角 其中 O 为坐 标原点 求直线 l 的斜率 k 的取值范围 解 解法一 易知2 1 3abc 所以 12 3 0 3 0FF 设 P x y 则 22 12 3 3 3PF PFxyxyxy 2 22 1 1338 44 x xx 因为 2 2x 故当 x 0 即点 P 为椭圆短轴端点时 12 PF PF 有最小值 2 当 x 2 即点 P 为椭圆长轴端点时 12 PF PF 有最大值 1 解法二 易知2 1 3abc 所以 12 3 0 3 0FF 设 P x y 则 222 1212 12121212 12 cos 2 PFPFFF PF PFPFPFFPFPFPF PFPF 22 2222 1 33123 2 xyxyxy 以下同解法一 显然直线0 x 不满足题设条件 可设直线 1222 2 l ykxA x yB xy 联立 2 2 2 1 4 ykx x y 消去y 整理得 22 1 430 4 kxkx 1212 22 43 11 44 k xxxx kk 由 2 2 1 443430 4 kkk 得 3 2 k 或 3 2 k 又 00 0090cos000A BA BOA OB 1212 0OA OBx xy y 用心 爱心 专心 2 又 2 12121212 2224y ykxkxk x xk xx 22 22 38 4 11 44 kk kk 2 2 1 1 4 k k 2 22 31 0 11 44 k kk 即 2 4k 22k 故由 得 3 2 2 k 或 3 2 2 k 例例 6 6 已知椭圆 22 1 32 xy 的左 右焦点分别为 1 F 2 F 过 1 F的直线交椭圆于B D 两点 过 2 F的直线交椭圆于A C两点 且ACBD 垂足为 P 设P点的坐标为 00 xy 证明 22 00 1 32 xy 求四边形ABCD的面积的 最小值 证明 椭圆的半焦距321c 由ACBD 知点P在以线段 12 FF为直径的圆上 故 22 00 1xy 所以 2222 0000 1 1 32222 xyxy 当BD的斜率k存在且0k 时 BD的方程为 1 yk x 代入椭圆方程 22 1 32 xy 并化简得 2222 32 6360kxk xk 设 11 B xy 22 D xy 则 2 12 2 6 32 k xx k 2 12 2 36 32 k x x k 2 222 122212 2 4 3 1 1 1 4 32 k BDkxxkxxx x k 因为 AC 与 BC 相交于点 P 且 AC 的斜率为 1 k 所以 2 2 2 2 1 4 31 4 3 1 1 23 32 kk AC k k B 1 FO 2 F P D A y x C 用心 爱心 专心 3 四边形 ABCD 的面积 2222 222 22 124 1 1 96 2 32 23 25 32 23 2 kk SBDAC kk kk 当 k2 1 时 上式取等号 当 BD 的斜率 k 0 或斜率不存在时 四边形 ABCD 的面积 S 4 综上 四边形 ABCD 的面积的最小值为 96 25 例例 7 7 已知两定点 12 2 0 2 0FF 满足条件 21 2PFPF 的点P的轨迹是 曲线E 直线y kx 1 与曲线E交于A B两点 如果6 3AB 且曲线E上存在点C 使 OAOBmOC 求m的值和 ABC的面积S 由双曲线的定义可知 曲线E是以 12 2 0 2 0FF 为焦点的双曲线的左支 且2 1ca 易知1b 故曲线E的方程为 22 10 xyx 设 1122 A x yB xy 由方程组 22 1 1 ykx xy 消去y 得 22 1220kxkx 又已知直线与双曲线左支交于两点 A B 有 2 2 2 12 2 12 2 10 28 10 2 0 1 2 0 1 k kk k xx k x x k 解得21k 又 2 12 1ABkxx 2 2 1212 14kxxx x 2 2 22 22 14 11 k k kk 22 2 2 12 2 1 kk k 依题意得 22 2 2 12 26 3 1 kk k 整理后得 42 2855250kk 2 5 7 k 或 2 5 4 k 但21k 5 2 k 故直线AB的方程为 5 10 2 xy 设 cc C xy 由已知OAOBmOC 得 1122 cc x yxymx my 1212 cc xxyy xy mm 0m 又 12 2 2 4 5 1 k xx k 2 1212 22 22 228 11 k yyk xx kk 用心 爱心 专心 4 点 4 5 8 C mm 将点C的坐标代入曲线E的方程 得 22 8064 1 mm 得4m 但当4m 时 所得的点在双曲线的右支上 不合题意 4m C点的坐标为 5 2 C到AB的距离为 2 2 5 52 1 2 1 3 5 1 2 ABC 的面积 11 6 33 23 S 例例 8 8 已知函数ykx 与 2 2 0 yxx 的图象相交于 11 A xy 22 B xy 1 l 2 l分别是 2 2 0 yxx 的图象在AB 两点的切线 MN 分别是 1 l 2 l与x轴的交 点 I 求k的取值范围 II 设t为点M的横坐标 当 12 xx 时 写出t以 1 x为自变量的函数式 并求其定义域和 值域 III 试比较OM与ON的大小 并说明理由 O是坐标原点 解 I 由方程 2 2 ykx yx 消y得 2 20 xkx 依题意 该方程有两个正实根 故 2 12 80 0 k xxk 解得2 2k II 由 2fxx 求得切线 1 l的方程为 111 2 yx xxy 由 2 11 2yx 并令0y 得 1 1 1 2 x t x 1 x 2 x是方程 的两实根 且 12 xx 故 2 1 2 84 2 8 kk x kk 2 2k 1 x是关于k的减函数 所以 1 x的取值范围是 02 t是关于 1 x的增函数 定义域为 02 所以值域为 0 III 当 12 xx 时 由 II 可知 1 1 1 2 x OMt x 用心 爱心 专心 5 类似可得 2 2 1 2 x ON x 1212 12 2 xxxx OMON x x 由 可知 12 2x x 从而0OMON 当 21 xx 时 有相同的结果0OMON 所以OMON 自我提升自我提升 1 平面直角坐标系中 O为坐标原点 已知 A 3 1 B 1 3 若点C满足 OBOAOC 其中 R 且 1 则点C的轨迹方程为 D A 3x 2y 11 0 B x 1 2 y 2 2 5 C 2x y 0 D x 2y 5 0 2 已知ji 是x y轴正方向的单位向量 设a j yix 2 b j yix 2 且满 足 a b 4 则点P x y 的轨迹是 C A 椭圆 B 双曲线 C 线段 D 射线 3 中心在原点 焦点在坐标为 0 52 的椭圆被直线 3x y 2 0 截得的弦的中点 的横坐标为 2 1 则椭圆方程为 C 22222222 2222 A 1 B 1C 1 D 1 2575752525757525 xyxyxyxy 4 直线y kx 1与椭圆1 5 22 m yx 恒有公共点 则m的取值范围是 A A m 1且m 5 B m 1 C m 5 D m 5 5 已知ji 是x y轴正方向的单位向量 设a j yix 3 b j yix 3 且满足 a b 2 则点P x y 的轨迹C的方程为 2 2 1 0 2 y xx 6 已知 A B 为抛物线x2 2py p 0 上两点 直线 AB 过焦点 F A B 在准线上的射影 分别为 C D 则 y 轴上恒存在一点 K 使得0 KFKA 0 DFCF 存在实数 使得 AOAD 若线段 AB 中点 P 在在准线上的射影为 T 有0 ABFT 中说法 正确的为 7 已知椭圆 2 2 1 2 x y 过 P 1 0 作直线 l 使得l与 该椭圆交于A B两点 l与y轴的交点为Q 且AQPB 求直线 l的方程 用心 爱心 专心 6 x y F1F2 0 A B C D 解 直线l过 P 1 0 故可设方程为y k x 1 因为AQPB 所以 AB的中点与 PQ的 中点重合 由 2 2 1 2 1 x y yk x 得 1 2k2 x2 4k2x 2 k2 1 0 所以 2 2 4 12 AB k xx k 又xP xQ 1 故 2 2 4 1 12 k k 得 2 2 k 所求的直线方程为 2 1 2 yx 8 8 已知椭圆 52 1 1 22 m m y m x 过其左焦点且斜率为 1 的直线与椭圆及准线从 左到右依次变于A B C D 设f m AB CD 1 求f m 2 求f m 的最值 解 解 1 椭圆1 1 22 m y m x 中 a2 m b2 m 1 c2 1 左焦点F1 1 0 则BC y x 1 代入椭圆方程即 m 1 x2 my2