2011年高考数学总复习 提能拔高限时训练：直线与圆锥曲线的位置关系（练习+详细解析）大纲人教版

用心 爱心 专心 提能拔高限时训练提能拔高限时训练 3737 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系 一 选择题 1 中心在原点 焦点坐标为 0 52 的椭圆被直线 3x y 2 0 截得的弦的中点的横坐标为 2 1 则 椭圆方程为 A 1 75 2 25 2 22 yx B 1 7525 22 yx C 1 25 2 75 2 22 yx D 1 2575 22 yx 解析解析 设椭圆方程为1 2 2 2 2 b x a y a b 0 则 c 52 a2 b2 c2 b2 50 由 1 50 023 2 2 2 2 b x b y yx 得 10b2 50 x2 12b2x b4 46b2 0 x1 x2 1 2 1 2 5010 12 2 2 b b 解得 b2 25 a2 75 答案答案 B 2 过抛物线 y2 2px p 0 的焦点 倾斜角为 45 的直线截得的线段长为 A p B 2p C 3p D 4p 解析解析 设直线方程为 y x m 抛物线 y2 2px p 0 的焦点 F 2 p 0 2 0m p 2 p m 直线方程为 2 p xy 由 2 2 2 pxy p xx 得 x2 3px 0 4 2 p 设两交点 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 3p AB x1 x2 p 4p 答案答案 D 3 已知对 k R R 直线 y kx 1 0 与椭圆1 5 22 m yx 恒有公共点 则实数 m 的取值范围是 A 0 1 B 0 5 用心 爱心 专心 C 1 5 5 D 1 5 解析解析 直线 y kx 1 0 恒过点 0 1 仅当点 0 1 在椭圆上或椭圆内时 此直线才恒与椭圆 有公共点 所以 m 1 1 且 m 0 得 m 1 故选 C 答案答案 C 4 双曲线 9x2 16y2 144 被点 P 8 3 平分的弦 AB 的直线方程是 A 3x 2y 18 0 B 3x 2y 18 0 C 2x 3y 18 0 D 2x 3y 18 0 解析解析 设 A x1 y1 B x2 y2 由 144169 144169 2 2 2 2 2 1 2 1 yx yx 两式相减得 9 x1 x2 x1 x2 16 y1 y2 y1 y2 0 又 P 8 3 为 AB 的中点 x1 x2 16 y1 y2 6 2 3 21 21 xx yy kAB 直线 AB 的方程为 8 2 3 3 xy 即 3x 2y 18 0 答案答案 A 5 设抛物线 y2 8x 的准线与 x 轴交于点 Q 若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点 则直线 l 的 斜率的取值范围是 A 2 1 2 1 B 2 2 C 1 1 D 4 4 解析解析 由已知可得 p 4 Q 2 0 设 l y k x 2 则由 2 8 2 xky xy 得 k2x2 4k2 8 x 4k2 0 当 k 0 时 x 0 y 0 即方程组有解 l 与抛物线有公共点 即抛物线顶点 当 k 0 时 4k2 8 2 16k4 0 解得 k2 1 1 k 1 且 k 0 综上 有 k 1 1 答案答案 C 6 已知双曲线1 2 2 2 2 b y a x 与直线 y 2x 有交点 则双曲线的离心率的取值范围是 A 1 5 B 1 5 5 C 5 D 5 用心 爱心 专心 解析解析 双曲线的渐近线方程为x a b y 若双曲线1 2 2 2 2 b y a x 与直线 y 2x 有交点 则2 a b 4 4 2 22 2 2 a ac a b 解得5 5 2 2 2 e a c e 答案答案 C 7 已知双曲线1 2 2 2 2 b y a x a 0 b 0 的右焦点为 F 若过点 F 且倾斜角为 60 的直线与双曲 线有且只有一个交点 则此双曲线的离心率等于 A 3 B 2 C 4 D 2 解析解析 直线的斜率 k tan60 3 由题意得直线与渐近线平行 2 433 2 2 22 ee a ac a b 答案答案 D 8 给定四条曲线 x2 y2 2 5 1 49 22 yx 1 4 2 2 y x 1 4 2 2 y x 其中与直线 x y 5 0 仅有一个交点的曲线是 A B C D 解析解析 经考查曲线 是圆 易知圆心 0 0 到直线 x y 5 0 的距离rd 2 5 故 符合 由 05 1 49 22 yx yx 消 y 得 1 4 5 9 22 xx 即 13x2 185x 9 0 185 2 4 13 9 0 曲线 与直线有两个交点 由排除法可知选 D 答案答案 D 9 已知直线 y x 1 和椭圆1 1 22 m y m x m 1 交于 A B 两点 若以 AB 为直径的圆过椭圆的 焦点 F 则实数 m 的值为 用心 爱心 专心 A 32 B 3 1 C 2 3 D 3 1 解析解析 如右图所示 设 A x1 x1 1 B x2 x2 1 由已知有 AF BF 且 F 1 0 AF 1 x1 1 x1 BF 1 x2 1 x2 BFAF 2 2x1x2 0 x1x2 1 将直线方程代入椭圆方程中 有 2m 1 x2 2mx 2m m2 0 x1x2 12 2 2 m mm 1 12 2 2 m mm 解得 m 2 3 答案答案 C 10 已知抛物线 y x2 3 上存在关于直线 x y 0 对称的相异两点 A B 则 AB 等于 A 3 B 4 C 23 D 24 解析解析 设直线 lAB y x b 则由 3 2 bxy xy 得 x2 x b 3 0 x1 x2 1 于是线段 AB 的中点 M 的坐标为 2 1 2 1 b 又 M 在直线 x y 0 上 0 2 1 2 1 b b 1 x2 x 2 0 由弦长公式可求出 AB 23 答案答案 C 二 填空题 用心 爱心 专心 11 过双曲线1 34 22 yx 的左焦点 F1的直线交曲线的左支于 M N 两点 F2为其右焦点 则 MF2 NF2 MN 解析解析 由双曲线定义知 4 4 12 12 NFNF MFMF 两式相加 得 MF2 NF2 MF1 NF1 8 即 MF2 NF2 MN 8 答案答案 8 12 与直线 2x y 4 0 平行的抛物线 y x2的切线方程为 解析解析 方法一 设抛物线的切线方程为 2x y m 0 由 02 2 myx xy 得 x2 2x m 0 4 4m 0 解得 m 1 故切线方程为 2x y 1 0 方法二 设切点为 x0 x02 该点处的切线斜率为 y x x0 2x0 2 解得 x0 1 即切点坐标为 1 1 故切线方程为 2x y 1 0 答案答案 2x y 1 0 13 已知抛物线 y2 2px p 0 过动点 M a 0 且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不同两点 A B AB 2p 则 a 的取值范围为 解析解析 设 A x1 y1 B x2 y2 由 2 2 axy pxy 得 x2 2 a p x a2 0 x1 x2 2 a p x1x2 a2 由 8ap 4p2 0 得 2 p a 又 AB ppapxxxx24824 11 2 21 2 21 2 得 4 p a 42 p a p 答案答案 4 2 pp 14 若曲线 y2 x 1 与直线 y kx b 没有公共点 则 k b 分别应满足的条件是 解析解析 由曲线方程 y2 x 1 知该曲线关于原点 x 轴 y 轴均对称 又知该曲线在第一象限的图形为抛物线 y2 x 1 画出图形分析可得 k 0 1 b 1 答案答案 k 0 1 b0 时 恒有 OBOA 解解 1 设 P x y 由椭圆定义可知 点 P 的轨迹 C 是以 0 3 0 3 为焦点 长半轴为 2 的椭圆 它的短半轴1 3 2 22 b 故曲线 C 的方程为1 4 2 2 y x 2 设 A x1 y1 B x2 y2 其坐标满足 1 1 4 2 2 kxy y x 消去 y 并整理 得 k2 4 x2 2kx 3 0 故 4 3 4 2 2 21 2 21 k xx k k xx 若OBOA 即 x1x2 y1y2 0 而 y1y2 k2x1x2 k x1 x2 1 于是01 4 2 4 3 4 3 2 2 2 2 2 2121 k k k k k yyxx 化简 得 4k2 1 0 所以 2 1 k 3 证明 22 OBOA x12 y12 x22 y22 x12 x22 4 1 x12 1 x22 3 x1 x2 x1 x2 4 6 2 21 k xxk d 因为 A 在第一象限 故 x1 0 由 4 3 2 21 k xx知 x20 又 k 0 故 0 22 OBOA 即在题设条件下 恒有 OBOA 文 设椭圆中心在坐标原点 A 2 0 B 0 1 是它的两个顶点 直线 y kx k 0 与 AB 相交于点 D 与椭圆相交于 E F 两点 1 若DFED6 求 k 的值 2 求四边形 AEBF 面积的最大值 解解 1 依题设得椭圆的方程为1 4 2 2 y x 直线 AB EF 的方程分别为 x 2y 2 y kx k 0 用心 爱心 专心 如图 设 D x0 kx0 E x1 kx1 F x2 kx2 其中 x10 y2 y1 0 故四边形 AEBF 的面积为 S S BEF S AEF 2 2222 2 2yxyx 22 2 2 2 2 44yxyx 22 4 2 2 2 2 2 yx 当 x2 2y2时 上式取等号 所以 S 的最大值为22 16 在面积为 9 的 ABC 中 tanA 3 4 且DBCD2 如图 1 建立适当的坐标系 求以 AB AC 所在直线为渐近线且过点 D 的双曲线的方程 2 过点 D 分别作 AB AC 所在直线的垂线 DE DF E F 为垂足 求DFDE 的值 解解 1 以点 A 为坐标原点 CAB 的角平分线所在的直线为 x 轴 建立平面直角坐标系 如图 设 CAx 2tan 3 4 tan1 tan2 tan 2 A 直线 AC 的方程为 y 2x 直线 AB 的方程为 y 2x 双曲线的方程可以设为 4x2 y2 0 设 B x1 2x1 C x2 2x2 由DBCD2 得 3 24 3 2 2121 xxxx D 3 24 3 2 4 2 2121 xxxx 用心 爱心 专心 即 21 9 32 xx 由 tanA 3 4 得 sinA 5 4 又 AB 5 x1 AC 5 x2 x1 x2 0 S ABC 2 1 AB AC sinA 2 1 5x1x2 5 4 9 即 x1x2 2 9 代入 式 得 16 双曲线的方程为1 164 22 yx 2 由题设可知 DFDE A cos DFDE cos A 5 3 设点 D x0 y0 则1 164 2 0 2 0 yx 于是 点 D 到 AB AC 所在直线的距离是 DE 5 2 00 yx DF 5 2 00 yx 故 DFDEDFDE cos DFDE 25 48 5 3 5 2 5 12 0000 yxyx 教学参考例题教学参考例题 志鸿优化系列丛书志鸿优化系列丛书 例 1 如图 过抛物线 y2 2px p 0 上一定点 P x0 y0 y0 0 作两条直线分别交抛物线于 A x1 y1 B x2 y2 1 求该抛物线上纵坐标为 2 p 的点到其焦点 F 的距离 2 当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时 求 0 21 y yy 的值 并证明直线 AB 的斜率是非零常 数 解解 1 当 2 p y 时 8 p x 又抛物线 y2 2px 的准线方程为 2 p x 由抛物线定义 得所求距 用心 爱心 专心 离为 8 5 2 8 ppp 2 设直线 PA 的斜率为 kPA 直线 PB 的斜率为 kPB 由 y12 2px1 y02 2px0相减 得 y1 y0 y1 y0 2p x1 x0 故 0101 01 2 yy p xx yy kPA x1 x0 同理可得 02 2 yy p kPB x2 x0 由 PA PB 的倾斜角互补知 PBPA kk 即 0201 22 yy p yy p 所以 y1 y2 2y0 故2 0 21 y yy 设直线 AB 的斜率为 kAB 由 y22 2px2 y12 2px1相减 得 y2 y1 y2 y1 2p x2 x1 所以 2112 12 2 yy p xx yy kAB x1 x2 将 y1 y2 2y0 y0 0 代入 得 021 2 y p yy p kAB 故 kAB是非零常数 例 2 直线 l y kx 1 与双曲线 C 2x2 y2 1 的右支交于不同的两点 A B 1 求实数 k 的取值范围 2 是否存在实数 k 使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F 若存在 求出 k 的值 若 不存在 说明理由 解解 1 将直线 l 的方程 y kx 1 代入双曲线 C 的方程 2x2 y2 1 后 整理得 k2 2 x2 2kx 2 0 依题意 直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点 故 用心 爱心 专心 0 2 2 0 2 2 0 2 8 2 02 2 2 22 2 k k k kk k 解得 k 的取值范围为 2 kb 0 的一条弦 M 2 1 是弦 AB 的中点 以 M 为焦点 以 椭圆的右准线为相应准线的双曲线与直线 AB 交于点 N 4 1 1 设椭圆和双曲线的离心率分别为 e1 e2 当 e1 e2 1 时 求椭圆的方程 2 求椭圆的长轴长的取值范围 解解 1 设 A x1 y1 B x2 y2