2010全国高中数学联合竞赛（四川初赛）（含解析）

2010 年高中数学联赛四川赛区初赛试题年高中数学联赛四川赛区初赛试题 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 说明 说明 1 评阅试卷时 请依据评分标准 评阅试卷时 请依据评分标准 选择题和填空题只设选择题和填空题只设 5 分和分和 0 分两档 其它各题的分两档 其它各题的 评阅 请严格按照评分标准规定的评分档次给分 不要再增加其它中间档次评阅 请严格按照评分标准规定的评分档次给分 不要再增加其它中间档次 2 如果考生的解答题方法和本解答不同 只要思路合理 步骤正确 在评阅时可参考 如果考生的解答题方法和本解答不同 只要思路合理 步骤正确 在评阅时可参考 本评分标准适当划分档次评分 本评分标准适当划分档次评分 5 分一个档次 不要再增加其它中间档次分一个档次 不要再增加其它中间档次 一 选择题 本大题共 8 个小题 每小题 5 分 共 40 分 1 已知条件p 3 4 2sin1 和条件 q 3 4 cossin 则p是q的 C A 充分但不必要条件 B 必要但不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解 因为 3 4 cossin cos sin2sin1 2 故p是q的充要条件 故选 C 2 在 5 件产品中有 4 件正品 1 件次品 从中任取 2 件 记其中含正品的个数个数为随机变 量 则 的数学期望 E是 C A 5 6 B 5 7 C 5 8 D 5 9 解 数学期望是 5 8 21 2 5 2 4 2 5 1 4 C C C C 故选 C 3 设正三棱锥ABCS 的底面边长为 3 侧棱长为 2 则侧棱SA与底面ABC所成的角的 大小是 A A 30 B 45 C 60 D 2arctan 解 设顶点S在底面ABC 的射影是H 则H为ABC 的外心 从而3 2 3 3 3 2 AH 于是可得 30 SAH 故选 A 4 已知函数 42 4 42 24 224 xx xkkx xf的最小值是 0 则非零实数k的值是 B A 4 B 2 C 2 D 4 解 42 62 1 24 2 2 xx x kkxf 因为 24 44xx 故 6 1 42 0 24 2 xx x 当062 2 kk时 1 min f 不合题意 当062 2 kk时 62 6 1 1 1 2 minmax kkff 由条件知0 62 6 1 1 2 kk 解得2 k或 0 舍去 故选 B 5 长方体 1111 DCBAABCD 的八个顶点都在球O的球面上 其中1 1 AA 22 AB 33 AD 则经过CB 两点的球面距离是 C A 3 2 B 3 4 C 2 D 4 解 球O的半径3 33 22 1 2 1 22 R 在OBC 中3 OCOB 33 ADBC 则 2 1 cos BOC 从而 3 2 BOC 所以 经过CB 两点的球面距离是 2 3 1 32 故选 C 6 对任意实数m 过函数1 2 mxxxf图象上的点 2 2 f的切线恒过一定点P 则点P的坐标为 B A 3 0 B 3 0 C 0 2 3 D 0 2 3 解 因为mxxf 2 故mf 4 2 于是过 2 2 f的切线方程是 2 4 25 xmmy 即3 4 xmy 因此切线方程恒过 3 0 故选 B 7 设 A1 A2为椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左右顶点 若在椭圆上存在异于 A1 A2的 点P 使得0 2 PAPO 其中 O 为坐标原点 则椭圆的离心率e的取值范围是 D A 2 1 0 B 2 2 0 C 1 2 1 D 1 2 2 解 由题设知 OPA2 90 设 P x y x 0 以 OA2为直径的圆方程为 4 2 2 22 a y a x 与椭圆方程联立得0 1 22 2 2 baxx a b 由题设知 要求此方程在 0 a 上有实根 由此得a a b a 1 2 0 2 2 化简得 2 1 2 e 所以 e 的取值范围为 1 2 2 故选 D 8 记 0 3 3 22 y y x yxyxF 则 yxF的最小值是 A 5 12 B 5 16 C 5 18 D 4 解 设动点 3 x xP 与 3 y yQ 则 2 PQyxF 点P的轨迹为直线 3 x y 点Q的 轨迹为双曲线 x y 3 双曲线上的任一点 3 0 0 x x到直线03 yx的距离 10 6 10 3 3 0 0 x x d 当3 0 x时等号成立 故 yxF的最小值为 5 18 故选 C 二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题 5 分 共 20 分 1 xf是定义在R上的奇函数 且 1 xfxf 则 2010 f 解 由条件知0 0 f 1 xfxfxf 于是 2 xfxf 即 xf是以 2 为周期的周期函数 所以 0 0 2010 ff 故填 0 2 实数yx 满足6 1 2 1 3 yx 则yx32 的最大值是 解 由6 1 2 1 3 yx确定的图形是以四边形ABCD及其内部 其中 4 1 A 1 1 B 2 1 C 1 3 D 由线性规划知识知 yx32 的最大值是 4 当2 1 yx时可取到 故填 4 3 在数列 n a中 1 1 a 当2 n时 2 1 nnn SSa成等比数列 则 n n an2lim 解 由条件知当2 n时 2 1 2 1 1 2 nnnnnn SSSSaS 从而2 11 1 nn SS 于是 12 1 2 11 1 nn SSn 所以 12 1 n Sn 于是 32 12 2 32 1 12 1 1 nnnn SSa nnn 所以 n n an2lim 2 1 3 2 1 2 2 lim 32 12 2 lim 2 nn nn n nn 故填 2 1 4 集合的容量是指集合中元素的和 则满足条件 7 6 5 4 3 2 1 A 且若Aa 时 必有Aa 8 的所有非空集合A的容量的总和是 用具体数字作答 解 先找出满足条件的单元素和二元素的集合有 4 1 A 7 1 2 A 6 2 3 A 5 3 4 A 将这四个集合中的元素任意组合起 来也满足要求 则所有符合条件的集合 A 中元素的总和是 2242 8884 3 故填 224 三 解答题 本大题共 4 个小题 每小题 20 分 共 80 分 13 已知函数 4 3 cos 32cos4 4 sin 2 4 sin xxxxxf I 试判断函数 xf的奇偶性 并给出证明 II 求 xf在 2 上的最小值与最大值 解 I sin cos 2 23 2cos4 cos sin2 cos sin 2 2 xxxxxxxxf xx2cos4cos22 5 分 2cos4cos22 2cos 4 cos 22 xfxxxxxf 所以 xf为偶函数 10 分 II 1cos2 4cos22 2 xxxf 4cos22cos8 2 xx 4 17 8 2 cos8 2 x 15 分 因为 2 x 故01 x 所以 当0cos x时 xf有最小值4 当 8 2 cos x时 xf有最大值 4 17 20 分 14 已知F为抛物线xy4 2 的焦点 M 点的坐标为 4 0 过点 F 作斜率为 1 k的直线与抛 物线交于 A B 两点 延长 AM BM 交抛物线于 C D 两点 设直线CD的斜率为 2 k I 求 2 1 k k 的值 II 求直线 AB 与直线 CD 夹角 的取值范围 解 I 由条件知 0 1 F 设 11 yxA 22 yxB 33 yxC 44 yxD 不妨设 0 1 y 直线AB的方程为 1 1 xky 与xy4 2 联立得 04 4 1 2 y k y 所以4 21 yy 1 21 xx 5 分 当4 1 x时 则 4 4 A 故1 4 1 2 y y 4 1 2 x 即 1 4 1 B 直线AM的方程为4 x 从而 4 4 C 直线BM的方程为 4 15 4 xy 与xy4 2 联立得01615 2 yy 得16 4 y 64 4 x 即 16 64 D 于是 3 4 1 k 3 1 464 4 16 2 k 所以 4 2 1 k k 10 分 当4 1 x时 直线 AM 方程为 4 4 1 1 x x y y 与抛物线方程xy4 2 联立得 2 1 22 1 4 4 4 xxxy 又由 1 2 1 4xy 化简上述方程得016 16 1 2 1 2 1 xxxxx 此方程有一根为 x1 所以另一根 1 3 16 x x 1 3 16 y y 即 16 16 11 yx C 同理 16 16 22 yx D 所以 1 12 12 21 21 12 12 2 4 1 1616 1616 k xx yy yy xx xx yy k 即4 2 1 k k 15 分 由 可知4 2 1 k k II 4 3 4 3 1 tan 2 1 1 21 21 k k kk kk 故 4 3 arctan 所以 直线 AB 与直线 CD 夹角 的取值范围是 4 3 arctan 0 20 分 15 已知函数1 23 xmxxxf 其中m为实数 I 求函数 xf的单调区间 II 若对一切的实数x 有 4 7 xxf成立 其中 x f 为 xf的导函数 求实数 m的取值范围 解 I 因为123 2 mxxxf 0124 2 m 所以0 x f有两个不等实根 3 3 2 1 mm x 3 3 2 2 mm x 显然 21 xx 5 分 当 21 xxx 时 0 x f 即 xf单调递减 当 2 xx 或 1 xx 时 0 x f 即 xf单调递增 综上所述 有 xf的单调递减区间为 3 3 2 mm 3 3 2 mm 单调递增区间为 3 3 2 mm 3 3 2 mm 10 分 II 由条件有 4 7 123 2 xmxx 当0 x时 0 4 3 12 3 2 xmx 即12 4 3 3 m x x在0 x时恒成立 因为3 4 3 32 4 3 3 x x x x 当 2 1 x时等号成立 所以123 m 即1 m 15 分 当0 x时 0 4 3 12 3 2 xmx 即m x x21 4 3 3 在0 x时恒 成立 因为3 4 3 32 4 3 3 x x x x 当 2 1 x时等号成立 所以m213 即1 m 当0 x时 Rm 综上所述 实数m的取值范围是 1 1 20 分 16 已知 n S是数列 n a的前n项的和 对任意的正整数n 都有 n nn baSb4 1 成 立 其中0 b I 求数列 n a的通项公式 II 设 n n n a c 4 Nn 若2 n c 求实数b的取值范围 解 I 当1 n时 有4 1 11 baab 故4 1 a 当2 n时 n nn baSb4 1 及 1 11 4 1 n nn baSb 于是 1 1 43 1 n nnn aabab 即 1 1 43 n nn baa 若4 b 则 4 3 44 1 1 n n n n aa 于是 1 4 3 44 1 n aa n n 从而 1 4 13 n n na 2 n 所以 1 4 13 n n na 1 n 5 分 若4 b 则 4 4 3 4 4 3 1 1 n n n n b ab b a 于是 1 1 4 4 3 4 4 3 nnn n b b a b a 从而 nn n b b b a4 4 3 4 12 4 1 2 n 所以 nn n b b b a4 4 3 4 12 4 1 1 n 综上所述 4 4 4 3 4 12 4 4 4 13 1 1 b b b b bn a nn n n 10 分 II 若4 b时 4 13 n cn 显然不满足条件 故4 b 当4 b时 4 3 4 4 1 4 b b bb b c n n 若4 b时 0 4 1 4 bb b 故当 n时 n c 不符合条件 舍去 若1