2011年高三数学一轮复习 第八章平面解析几何精品导学案

用心 爱心 专心1 20112011 年高三数学一轮复习精品导学案 第八章年高三数学一轮复习精品导学案 第八章 平面解析几何平面解析几何 知识特点知识特点 1 本章内容主要包括直线与方程 圆与方程 圆锥曲线 是 解析几何最基本 也是 很重要的内容 是高中数学的重点内容 也是高考重点考查的内容之一 2 本章内容集中体现了用坐标法研究曲线的思想与方法 概念 公式多 内容多 具 有较强的综合性 3 研究圆锥曲线的方法很类似 因此可利用类比的方法复习椭圆 双曲线 抛物线的 定义与几何性质 掌握解决解析几何问题的最基本的方法 重点关注重点关注 1 关于直线的方程 直线的斜率 倾斜角 几种距离公式 两直线的位置关系 圆锥 曲线的定义与性质等知识的试题 都属于基本题目 多以选择题 填空题形式出现 一般 涉及两个以上的知识点 这些将是今后高考考查的热点 2 关于直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系的题目出现次数较多 既有选择题 填空题 也有解答题 既考查基础知识的应用能力 又考查综合运用知识分析问题 解决 问题的能力 3 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题多以高档题出现 要求学生分析问题的能力 计算能力较高 4 注重数学思想方法的应用 解析法 数形结合思想 函数与方程的思想 转化与化归的思想 分类讨论思想及待 定系数法在各种题型中均有体现 应引起重视 地位和作用地位和作用 解析几何是 17 世纪数学发展的重大成果之一 其本质是用代数方法研究图形的几何 性质 体现了数形结合的重要数学思想 在本模块中 学生将在平面直角坐标系中建立直 线和圆的代数方程 运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系 并了解空间直 角坐标系 体会数形结合的思想 初步形成用代数方法解决几何问题的能力 在平面解析几何初步的教学中 教师应帮助学生经历如下的过程 首先将几何问题代 数化 用代数的语言描述几何要素及其关系 进而将几何问题转化为代数问题 处理代数 问题 分析代数结果的几何含义 最终解决几何问题 这种思想应贯穿平面解析几何教学 用心 爱心 专心2 的始终 帮助学生不断地体会 数形结合 的思想方法 从新课改近两年来的高考信息统计可以看出 命题呈现出以下特点 1 各种题型均有所体现 分值大约在 19 24 分之间 比重较高 以低档题 中档题 为主 2 主要考查直线及圆的方程 圆锥曲线的定义 性质及综合应用 符合考纲要求 这些知识属于本章的重点内容 是高考的必考内容 有时还注重在知识交汇点处命题 3 预计本章在今后的高考中仍将以直线及圆的方程 圆锥曲线的定义 性质及直线 与圆锥曲线的位置关系为主命题 且难度有所降低 更加注重与其他知识交汇 充分体现 以能力立意的命题方向 第一节第一节 直线与方程直线与方程 高考目标定位高考目标定位 一 直线的倾斜角与斜率一 直线的倾斜角与斜率 一 考纲点击 一 考纲点击 1 理解直线的倾斜角和斜率的概念 掌握过两点的直线斜率的计算公式 2 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直 二 热点提示 二 热点提示 1 直线的倾斜角和斜率 两直线的位置关系是高考热点 2 主要以选择 填空题的形式出现 属于中低档题目 二 直线的方程二 直线的方程 一 考纲点击 一 考纲点击 1 掌握确定直线位置的几何要素 2 掌握直线方程的几种形式 点斜式 两点及一般式 了解斜截式与一次函数的关 系 二 热点提示 二 热点提示 1 直线的方程是必考内容 是基础知识之一 2 在高考中多与其他曲线结合考查 三种题型可出现 属于中低档题 三 直线的交点坐标与距离公式三 直线的交点坐标与距离公式 一 考纲点击 一 考纲点击 1 能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标 用心 爱心 专心3 2 掌握两点间的距离公式 点到直线的距离公式 会求两条平行直线间的距离 二 热点提示 二 热点提示 1 本节重点体现一种思想 转化与化归的思想 这种思想是高考的热点之一 2 本部分在高考中主要以选择 填空为主 属于中低档题目 考纲知识梳理考纲知识梳理 一 直线的倾斜角与斜率一 直线的倾斜角与斜率 1 直线的倾斜角与斜率 直线的倾斜角与斜率 1 直线的倾斜角 直线的倾斜角 关于倾斜角的概念要抓住三点 与 x 轴相交 x 轴正向 直线向上方向 直线与 x 轴平行或重合时 规定它的倾斜角为 0 0 倾斜角 的范围 00 0180 2 直线的斜率 直线的斜率 直线的斜率就是直线倾斜角的正切值 而倾斜角为 0 90的直线斜率不存在 经过两点的直线的斜率公式是 每条直线都有倾斜角 但并不是每条直线都有斜率 2 两条直线平行与垂直的判定 两条直线平行与垂直的判定 1 两条直线平行 两条直线平行 对于两条不重合的直线 12 l l 其斜率分别为 12 k k 则有 1212 llkk 特别地 当直线 12 l l的斜率都不存在时 12 ll与的关系为平行 2 两条直线垂直 两条直线垂直 如果两条直线 12 l l斜率存在 设为 12 k k 则 1212 1llk k A 注 两条直线 12 l l垂直的充要条件是斜率之积为 1 这句话不正确 由两直线的斜率 用心 爱心 专心4 之积为 1 可以得出两直线垂直 反过来 两直线垂直 斜率之积不一定为 1 如果 12 l l中有一条直线的斜率不存在 另一条直线的斜率为 0 时 12 ll与互相垂直 二 直线的方程二 直线的方程 1 直线方程的几种形式 直线方程的几种形式 名称方程的形式已知条件局限性 点斜式 为直线上一定点 k 为 斜率 不包括垂直于 x 轴 的直线 斜截式k 为斜率 b 是直线在 y 轴上的截 距 不包括垂直于 x 轴 的直线 两点式 是直线上两 定点 不包括垂直于 x 轴 和 y 轴的直线 截距式a 是直线在 x 轴上的非零截距 b 是直线在 y 轴上的非零截距 不包括垂直于 x 轴 和 y 轴或过原点的 直线 一般式A B C 为系数无限制 可表示任 何位置的直线 注 过两点的直线是否一定可用两点式方程表示 不一定 1 若 直线垂直于 x 轴 方程为 2 若 直线垂直于 y 轴 方程为 3 若 直线方程可用两点式表示 2 线段的中点坐标公式 线段的中点坐标公式 若点的坐标分别为 且线段的中点 M 的坐标 为 x y 则此公式为线段的中点坐标公式 三 直线的交点坐标与距离公式三 直线的交点坐标与距离公式 用心 爱心 专心5 1 两条直线的交点两条直线的交点 设两条直线的方程是 两条直线的交点坐标就是方程组的解 若方程组有唯一解 则 这两条直线相交 此解就是交点的坐标 若方程组无解 则两条直线无公共点 此时两条 直线平行 反之 亦成立 2 几种距离几种距离 1 两点间的距离 两点间的距离 平面上的两点间的距离公式 特别地 原点 O 0 0 与任一点 P x y 的距离 2 点到直线的距离 点到直线的距离 点到直线的距离 3 两条平行线间的距离 两条平行线间的距离 两条平行线间的距离 注 1 求点到直线的距离时 直线方程要化为一般式 2 求两条平行线间的距离时 必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后 才 能套用公式计算 热点难点精析热点难点精析 一 直线的倾斜角与斜率一 直线的倾斜角与斜率 一 直线的倾斜角 一 直线的倾斜角 相关链接相关链接 用心 爱心 专心6 2 已知斜率 k 的范围 求倾斜角 的范围时 若 k 为正数 则 的范围为 0 2 的 子集 且 k tan 为增函数 若 k 为负数 则 的范围为 2 的子集 且 k tan 为增 函数 若 k 的范围有正有负 则可所范围按大于等于 0 或小于 0 分为两部分 针对每一部 分再根据斜率的增减性求倾斜角范围 例题解析例题解析 例例 已知直线的斜率 k cos R 求直线的倾斜角 的取值范围 思路解析 思路解析 cos 的范围 斜率 k 的范围 tan 的范围 倾斜角 的取值范围 解答 解答 1cos1 1cos1 11 1tan1 3 0 44 3 0 44 k 即 或 倾斜角的范围为 二 直线的斜率及应用 二 直线的斜率及应用 相关链接相关链接 1 斜率公式 21 21 yy k xx 与两点顺序无关 即两点的横纵坐标在公式中前后次序相 同 2 求斜率的一般方法 1 已知直线上两点 根据斜率公式 21 21 21 yy kxx xx 求斜率 2 已知直线的倾斜角 或 的某种三角函数根据tank 来求斜率 3 利用斜率证明三点共线的方法 利用斜率证明三点共线的方法 已知 112233 A x yB xyC xy若 123ABAC xxxkk 或 则有 A B C 三点 共线 用心 爱心 专心7 注 斜率变化分成两段 0 90是分界线 遇到斜率要谨记 存在与否需讨论 例题解析例题解析 例例 设 a b c是互不相等的三个实数 如果 333 A a aB b bC c c 在同一直 线上 求证 0abc 思路解析 思路解析 若三点共线 则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在 解答解答 三 两条直线的平行与垂直 三 两条直线的平行与垂直 例例 已知点 M 2 2 N 5 2 点 P 在 x 轴上 分别求满足下列条件的 P 点 坐标 1 MOP OPN O 是坐标原点 2 MPN 是直角 思路解析 思路解析 MOP OPN OM PN MPN 是直角 MP NP 故而可利用两 直线平行和垂直的条件求得 解答 解答 0 0 1 200 2 2 1 5 2055 2 1 7 7 0 5 2 90 1 2222 2 5 1 2525 16 1 0 6 0 OMNP OMNP MPNP MPNP P xMOPOPNOMNPkk kkx xx xP x MPNMPNPkk kxkx xxxx xx P A 设 又 即 又 解得或 即或 用心 爱心 专心8 注 注 1 充分掌握两直线平行的条件及垂直的条件是解决本题的关键 对于斜率都 存在且不重合的两条直线 1 l和 2 l 若 有一条直线的斜率不存在 那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意 2 注意转化与化归思想的应用 3 利用斜率的几何意义可以证明不等式 利用两斜率之间的关系可以判断两直线 的平行或垂直 数形结合的思想方法可帮助我们很直观地分析问题 抓住问题的实质 二 直线的方程二 直线的方程 一 直线方程的求法 一 直线方程的求法 相关链接相关链接 1 求直线方程应先选择适当的直线方程形式并注意各种形式的适用条件 基本方法 包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量 用待定系数法求直线方程的步骤 1 设所求直线方程的某种形式 2 由条件建立所求参数的方程 组 3 解这个方程 组 求参数 4 把所求的参数值代入所设直线方程 2 求直线方程时 首先分析具备什么样的条件 然后恰当地选用直线方程的形式准 确写出直线方程 要注意若不能断定直线具有斜率时 应对斜率存在与不存在加以讨论 在用截距式时 应先判断截距是否为 0 若不确定 则需分类讨论 例题解析例题解析 例例 求过点 P 2 1 在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 a b 且满足 a 3b 的直线方 程 思路解析 思路解析 对截距是否为 0 分类讨论 设出直线方程 代入已知条件求解 得直线 方程 解答 当 a 3 b 0 时 设所求直线方程为1 xy ab 即 1 2 1 3 xy P bb 又直线过点 用心 爱心 专心9 211 1 310 33 30 0 1 2 1 12 2 1 2 1 310 2 bxy bb abykx k Pk k yx xyyx 解得所求直线方程为 当时 则所求直线过原点 可设方程为 又直线过点则 所求直线方程为 综上所述 所求直线方程为或 二 用一般式方程判定直线的位置关系 二 用一般式方程判定直线的位置关系 相关链接相关链接 两条直线位置关系的判定两条直线位置关系的判定 已知直线 1111 0lA xB yC 2222 0lA xB yC 则 1 12122112211221 111 222 222 00 0 0 llABA BACA CBCB C ABC ABC ABC 且或 或记为 不为 2 121212 0 llA AB B 3 4 例题解析例题解析 例例 已知直线 1 260laxy 和直线 2 2 1 10lxaya 1 试判断 1 l与 2 l是否平行 2 1 l 2 l时 求a的值 思路解析 思路解析 可直接根据方程的一般式求解 也可根据斜率求解 所求直线的斜率可能 不存在 故应按 2 l的斜率是否存在为分类标准进行分类讨论 用心 爱心 专心10 解答 解答 1 方法一 2 12211221 2 12 2 2 122 0 1 1 20 0 1 1 60 1 1 2020 1 1 1 60 1 6 1 ABA Ba aACA Ca a a aaa lla a aa a allll 由得由得 故当时 否则与不平行 方法二 1212 1212 12 12 1212 1 260 0 0 3 10 10 1 3 1 21 1 1 21 3 1 1 alxylxll alylxyll aa a lyxlyxa a a llaa a allll 当时 不平行于 当时 不平行于 当且时 两直线可化为 解得 综上可知 时 否则与不平行 2 方法一 由 1212 2 02 1 0 3 A AB Baaa 得 方法二 1212 12 1 260 0 1 1 1 3 1 21 1 1 2 13 alxylxlla a alyxlyxa a aa a a A 当时 与不垂直 故不成立 当时 由 三 直线方程的应用 三 直线方程的应用 相关链接相关链接 利用直线方程解决问题 可灵活选用直线方程的形式 以便简化运算 一般地 已知 一点通常选择点斜式 已知斜率选择斜截式或点斜式 已知截距或两点选择截距式或两点 式 另外 从所求的结论来看 若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长 常选用截距 式或点斜式 注 1 点斜式与斜截式是两种常见的直线方程形式 要注意在这两种形式中所要 求直线的斜率存在 用心 爱心 专心11 2 截距 并非 距离 可以是正的 也可以是负的 还可以是 0 例题解析例题解析 例例 如图 过点 P 2 1 作直线l 分别为交 x y 轴正半轴于 A B 两点 1 当 AOB 的面积最小时 求直线l的方程 2 当 PA PB 取最小值时 求直线l的方程 思路解析 思路解析 求直线方程时 要善于根据已知条件 选取适当的形式 由于本题中给出 了一点 且直线与 x y 轴在正方向上分别相交 故有如下常见思路 点斜式 设l的方程为 分别求出 A B 的坐标 根据题目 要求建立目标函数 求出最小值并确立最值成立的条件 截距式 设l的方程为 将点 2 1 代入得出 a 与 b 的关系 建 立目标函数 求最小值及最值成立的条件 根据题意 设出一个角 建立目标函数 利用三角函数的有关知识解决 解答 解答 1 方法一 设l的方程为1 2 0 yk xk 则 1 2 0 12 AB ok k 11111 2 1 2 22 4 22 4 4 22 11 4 2 11 0 A 0 b P 1 x 0 a b 为定值 1 x为参数 a 1 x a AB 的方程是 bx ay ab 0 AC 的方程是 bx ay ab 0 4 分 由点到直线的距离公式 得 7 分 a 0 b 0 ab 0 ab0 b 1 x ab 0 10 分 12 分 注 注 解析法 坐标法 即通过建立平面直角坐标系 把几何问题转化成代数问题 用 处理代数问题的方法解决 这种方法是联系平面解析几何的纽带 求定值问题 应先表示 出要证明为定值的式子 最后出现定值 感悟高考真题感悟高考真题 1 1 20102010 安徽文数 安徽文数 4 过点 1 0 且与直线 x 2y 2 0 平行的直线方程是 A x 2y 1 0 B x 2y 1 0 C 2x y 2 0 D x 2y 1 0 4 A 解析 设直线方程为20 xyc 又经过 1 0 故1c 所求方程为 210 xy 方法技巧 因为所求直线与与直线 x 2y 2 0 平行 所以设平行直线系方程为 20 xyc 代入此直线所过的点的坐标 得参数值 进而得直线方程 也可以用验证 法 判断四个选项中方程哪一个过点 1 0 且与直线 x 2y 2 0 平行 2 20102010 上海文数 上海文数 7 圆 22 2440C xyxy 的圆心到直线3440 xy 的距 用心 爱心 专心17 离d 3 解析 考查点到直线距离公式 圆心 1 2 到直线3440 xy 距离为3 5 42413 3 20102010 山东理数 山东理数 16 已知圆 C 过点 1 0 且圆心在 x 轴上 直线 1l yx 补圆 C 所截得的弦长为 2 2 则过圆心有与直线l垂直的直线的方程为 解析 由题意 设所求的直线方程为x y m 0 设圆心坐标为 a 0 则由题意知 22 a 1 2 a 1 2 解得a 3或 1 又因为圆心在x轴的正半轴上 所以a 3 故圆心坐 标为 3 0 因为圆心 3 0 在所求的直线上 所以有3 0 m 0 即m 3 故所求 的直线方程为x y 3 0 命题意图 本题考查了直线的方程 点到直线的距离 直线与圆的关系 考查了同学们 解决直线与圆问题的能力 4 20082008 年年 全国二全国二 1111 等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20 xy 与 740 xy 原点在等腰三角形的底边上 则底边所在直线的斜率为 A A 3B 2C 1 3 D 1 2 考点精题精练考点精题精练 一 选择题一 选择题 1 倾斜角为 45 在 y 轴上的截距为 1 的直线方程是 B A 01 yx B 01 yx C 01 yx D 01 yx 2 倾斜角为 45 在 y 轴上的截距为 1 的直线方程是 D A 1yx B 1yx C 1yx D 1yx 3 过点 2 1M 的直线 l 与 x 轴 y 轴的正半轴分别交于 P Q 两点 且 2MQMP 则直线 l 的方程为 D 用心 爱心 专心18 A x 2y 4 0 B x 2y 0 C x y 1 0 D x y 3 0 4 点 P 2 3 到直线 ax a 1 y 3 0 的距离 d 为最大时 d 与 a 的值依次为 B A 3 3 B 5 1 C 5 2 D 7 1 5 在平面直角坐标系中 点 A 1 2 点 B 3 1 到直线 l 的距离分别为 1 和 2 则符合条 件的直线条数为 B A 3 B 2 C 4 D 1 6 已知点到直线的距离相等 则实数的值等于 C A B C D 7 已知过点 2 Am 和 4 B m的直线与直线012 yx平行 则m的值为 B A 0 B 8 C 2 D 10 解析 4 2 8 2 m km m 8 已知0 0abbc 则直线axbyc 通过 C A 第一 二 三象限B 第一 二 四象限 C 第一 三 四象限D 第二 三 四象限 解析 0 0 acac yxk bbbb 9 若方程014 32 22 mymmxmm表示一条直线 则实数m满足 C A 0 m B 2 3 m C 1 m D 1 m 2 3 m 0 m 解析 22 23 mmmm 不能同时为0 10 若点到直线的距离为 4 且点在不等式表示的 平面区域内 则实数的值为 D 用心 爱心 专心19 A 7 B 7 C 3 D 3 11 设分别是中所对边的边长 则直线 与的位置关系是 B A 平行 B 垂直 C 重合 D 相交但不垂直 12 过原点和在复平面内对应点的直线的倾斜角为 D A B C D 二 填空题二 填空题 13 2010 届 广东省梅州揭阳高三联考 理 13 函数 x ey 2 图像上的点到直线 042 yx 距离的最小值是 5 14 11 若直线 1 10lmxy 与 2 250lxy 垂直 则m的值是 2 15 16 已知 A B C 三点的坐标分别是 0 2 0 0 3 1 若点 M 满足 MCAM2 点 N 满足 NBAN3 点 P 满足 PNPM 则 P 点的轨迹方程是 x2 y2 2x y 0 16 直线为参数 上与点的距离等于的点的坐标是 3 4 或