2011高考数学一轮复习精讲精练系列 平面向量教案（下册）

用心 爱心 专心 平面向量平面向量 1 1 理解向量的概念 掌握向量的几何表示 了解共线向量的概念 2 2 掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律 3 3 掌握实数与向量的积的运算法则及运算律 理解两个向量共线的充要条件 4 4 了解平面向量基本定理 理解平面向量的坐标的概念 掌握平面向量的坐标运算 5 5 掌握平面向量的数量积及其几何意义 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度 角 度和垂直的问题 掌握向量垂直的条件 6 6 掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式 并且能熟练运用 掌 握平移公式 7 7 掌握正 余弦定理 并能初步运用它们解斜三角形 向 量 概念 向量的模相等的向量 单位向量 零向量 运算 向量的加法 向量的减法 实数与向量的乘积 向量的数量积 平面向量的坐标运算 平移公式 线段的定比分点 解三角形 余弦定理 正弦定理 任意三角形的面积公式 向量由于具有几何形式与代数形式的 双重身份 使它成为中学数学知识的一个交汇 点 成为多项内容的媒介 主要考查 1 1 平面向量的性质和运算法则 共线定理 基本定理 平行四边形法则及三角形法则 2 2 向量的坐标运算及应用 3 3 向量和其它数学知识的结合 如和三角函数 数列 曲线方程等及向量在物理中的应 用 4 4 正弦定理 余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力 以化简 求值或判断三角形 知识网络知识网络 考纲导读考纲导读 高考导航高考导航 用心 爱心 专心 的形状为主 解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明 第第 1 1 课时课时 向量的概念与几何运算向量的概念与几何运算 1 1 向量的有关概念 既有 又有 的量叫向量 的向量叫零向量 的向量 叫单位向量 叫平行向量 也叫共线向量 规定零向量与任一向量 且 的向量叫相等向量 2 2 向量的加法与减法 求两个向量的和的运算 叫向量的加法 向量加法按 法则或 法则进行 加法满足 律和 律 求两个向量差的运算 叫向量的减法 作法是将两向量的 重合 连结两向量 的 方向指向 3 3 实数与向量的积 实数 与向量a的积是一个向量 记作 a 它的长度与方向规定如下 a 当 0 时 a的方向与a的方向 当 0 时 a的方向与a的方向 当 0 时 a a a a b 共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数 使得 4 4 平面向量基本定理 如果 1 e 2 e是同一平面内的两个不共线的向量 那么对于这一平 面内的任一向量a 有且只有一对实数 1 2 使得 设 1 e 2 e是一组基底 a 2111 eyex b 2212 eyex 则a与b共线的充要条件是 例例 1 1 已知 ABC 中 D 为 BC 的中点 E 为 AD 的中点 设aAB bAC 求BE 典型例题典型例题 基础过关基础过关 用心 爱心 专心 解 BE AE AB 4 1 AB AC AB 4 3 a 4 1 b 变式训练变式训练 1 1 如图所示 D 是 ABC 边 AB 上的中点 则向量CD等于 A BC BA 2 1 B BC BA 2 1 C BC BA 2 1 D BC BA 2 1 解解 A 例例 2 2 已知向量 21 32eea 21 32eeb 21 92eec 其中 1 e 2 e不共线 求实数 使bac 解解 c a b 2 1 e 9 2 e 2 2 1 e 3 3 2 e 2 2 2 且 3 3 9 2 且 1 变式训练变式训练 2 2 已知平行四边形 ABCD 的对角线相交于 O 点 点 P 为平面上任意一点 求证 POPDPCPBPA4 证明 PA PC 2PO PB PD 2PO PA PB PC PD 4PO 例例 3 3 已知 ABCD 是一个梯形 AB CD 是梯形的两底边 且 AB 2CD M N 分别是 DC 和 AB 的中点 若aAB bAD 试用a b表示BC和MN 解 解 连 NC 则bADNC baCNABCNMCMN 4 1 4 1 abNBNCBC 2 1 变式训练变式训练 3 3 如图所示 OADB 是以向量OA a OB b为邻边的平行四边形 又BM 3 1 BC CN 3 1 CD 试用a b表示OM ON MN 解解 OM 6 1 a 6 5 b ON 3 2 a 3 2 b MN 2 1 a 6 1 b 例例 4 4 设a b是两个不共线向量 若a与b起点相同 t R t 为何值时 a tb 3 1 a b 三向量的终点在一条直线上 解 解 设 3 1 baabta R 化简整理得 0 3 1 1 3 2 bta A D BC B OA D C N M 用心 爱心 专心 不共线与ba 2 1 2 3 0 3 01 3 2 tt 故 2 1 t时 3 1 babta 三向量的向量的终点在一直线上 变式训练变式训练 4 4 已知 OAa OBb OCc ODd OEe 设tR 如果3 2 acbd et ab 那么t为何值时 C D E三点在一条直线上 解 解 由题设知 23 3 CDdcba CEectatb C D E三点在一条 直线上的充要条件是存在实数k 使得CEkCD 即 3 32tatbkakb 整理得 33 2 tk akt b 若 a b 共线 则t可为任意实数 若 a b 不共线 则有 330 20 tk tk 解之得 6 5 t 综上 a b 共线时 则t可为任意实数 a b 不共线时 6 5 t 1 认识向量的几何特性 对于向量问题一定要结合图形进行研究 向量方法可以解决几何 中的证明 2 注意O与 O 的区别 零向量与任一向量平行 3 注意平行向量与平行线段的区别 用向量方法证明 AB CD 需证AB CD 且 AB 与 CD 不共线 要证 A B C 三点共线 则证AB AC即可 4 向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则 特点 首尾相接首尾连 向量减法的三角形法则特点 首首相接连终点 第第 2 2 课时课时 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 1 1 平面向量的坐标表示 分别取与 x 轴 y 轴方向相同的两个单位向量i j作为基底 对于一个向量a 有且只有 一对实数 x y 使得a xi yj 我们把 x y 叫做向量a的直角坐标 记作 并且 a 2 2 向量的坐标表示与起点为 的向量是一一对应的关系 3 3 平面向量的坐标运算 小结归纳小结归纳 基础过关基础过关 用心 爱心 专心 若a x1 y1 b x2 y2 R 则 a b a b a 已知 A x1 y1 B x2 y2 则AB 4 4 两个向量a x1 y1 和b x2 y2 共线的充要条件是 例例 1 1 已知点 A 2 3 B 1 5 且AC 3 1 AB 求点 C 的坐标 解解AC 3 1 AB 1 3 2 OC ACOA 1 3 11 即 C 1 3 11 变式训练变式训练 1 1 若 2 8 OA 7 2 OB 则 3 1 AB 解解 3 2 提示 9 6 ABOBOA 例例 2 2 已知向量a cos 2 sin 2 b cos 2 sin 2 a b 5 52 求 cos 的值 解解 a b 5 52 22 5 52 cos 2 cos22 5 52 5 52 22 5 52 cos cos 2 5 3 cos 25 7 变式训练变式训练 2 2 已知a 2b 3 1 2a b 1 2 求a b 解解 a 1 1 b 1 0 a b 0 1 例例 3 3 已知向量a 1 2 b x 1 1 e a 2b 2 e 2a b 且 1 e 2 e 求 x 解解 1 e 1 2x 4 2 e 2 x 3 1 e 2 e 3 1 2x 4 2 x x 2 1 变式训练变式训练 3 3 设a ksin 1 b 2 cos 1 0 a b 求证 k 3 证明证明 k sin cos2 k 3 sin 3 cos 22 0 k 3 例例 4 4 在平行四边形 ABCD 中 A 1 1 AB 6 0 点 M 是线段 AB 的中点 线段 CM 与 BD 交于点 P 1 若AD 3 5 求点 C 的坐标 2 当 AB AD 时 求点 P 的轨迹 解 解 1 设点 C 的坐标为 x0 y0 5 1 5 9 0 6 5 3 00 yxDBADAC 典型例题典型例题 AMB C D P 用心 爱心 专心 得 x0 10 y0 6 即点 C 10 6 2 ADAB 点 D 的轨迹为 x 1 2 y 1 2 36 y 1 M 为 AB 的中点 P 分BD的比为 2 1 设 P x y 由 B 7 1 则 D 3x 14 3y 2 点 P 的轨迹方程为 1 4 1 5 22 yyx 变式训练变式训练 4 4 在直角坐标系 x y 中 已知点 A 0 1 和点 B 3 4 若点 C 在 AOB 的平分 线上 且 OC 2 求OC的坐标 解解 已知 A 0 1 B 3 4 设 C 0 5 D 3 9 则四边形 OBDC 为菱形 AOB 的角平分线是菱形 OBDC 的对角线 OD 2103 OCOD 5 103 5 10 103 2 ODOC 1 1 认识向量的代数特性 向量的坐标表示 实现了 形 与 数 的互相转化 以向量为 工具 几何问题可以代数化 代数问题可以几何化 2 2 由于向量有几何法和坐标法两种表示方法 所以我们应根据题目的特点去选择向量的表 示方法 由于坐标运算方便 可操作性强 因此应优先选用向量的坐标运算 第第 3 3 课时课时 平面向量的数量积平面向量的数量积 1 1 两个向量的夹角 已知两个非零向量a和b 过 O 点作OA a OB b 则 AOB 0 180 叫做向量a与b的 当 0 时 a与b 当 180 时 a与b 如果a与b的夹角是 90 我们说a与b垂直 记作 2 2 两个向量的数量积的定义 已知两个非零向量a与b 它们的夹角为 则数量 叫做a与b的数量积 或内积 记作a b 即a b 规定零向量与任一向量 的数量积为 0 若a x1 y1 b x2 y2 则a b 3 3 向量的数量积的几何意义 小结归纳小结归纳 基础过关基础过关 用心 爱心 专心 b cos 叫做向量b在a方向上的投影 是向量a与b的夹角 a b的几何意义是 数量a b等于 4 4 向量数量积的性质 设a b都是非零向量 e是单位向量 是a与b的夹角 e a a e a b 当a与b同向时 a b 当a与b反向时 a b cos a b 5 5 向量数量积的运算律 a b a b a b a b c 例例 1 1 已知 a 4 b 5 且a与b的夹角为 60 求 2a 3b 3a 2b 解解 2a 3b 3a 2b 4 变式训练变式训练 1 1 已知 a 3 b 4 a b 5 求 2a 3b 的值 解解 56 例例 2 2 已知向量a sin 1 b 1 cos 22 1 若 a b 求 2 求 a b 的最大值 解 解 1 若ba 则0cossin 即1tan 而 2 2 所以 4 2 4 sin 223 cos sin23 ba 当 4 时 ba 的最大值为12 典型例题典型例题 用心 爱心 专心 变式训练变式训练 2 2 已知 cos sin a cos sin b 其中0 1 求证 ab 与ab 互相垂直 2 若ka b与a k b的长度相等 求 的值 k为非零的常数 证明 证明 222222 cossin cossin 0ababab ab 与ab 互相垂直 2 k a coscos sinsin bkk a k coscos sinsin bkk 2 12 cos k a bkk 2 1 2 cos a kbkk 而 22 12 cos 12 cos kkkk cos 0 2 例例 3 3 已知 O 是 ABC 所在平面内一点 且满足 OB OC OB OC 2OA 0 判断 ABC 是哪类三角形 解解 设 BC 的中点为 D 则 OCOB OAOCOB2 0 2BC AD 0 BC AD ABC 是 等腰三角形 变式训练变式训练 3 3 若 1 2 2 3 2 5 ABC 则 ABC 的形状是 解解 直角三角形 提示 1 1 3 3 0 ABACAB ACABAC 例例 4 4 已知向量m cos sin 和n 2 sin cos 2 且 nm 5 28 求 cos 82 的值 解解 nm cos sin 2 cos sin 由已知 cos sin 2 2 cos sin 2 25 128 化简 cos 25 7 4 又 cos2 25 16 2 4 cos 1 82 2 cos 25 16 2 4 cos 1 82 0 用心 爱心 专心 cos 25 16 2 4 cos 1 82 5 4 变式训练变式训练 4 4 平面向量 13 3 1 22 ab 若存在不同时为0的实数k和t 使 2 3 xatb ykatb 且xy 试求函数关系式 kf t 解 解 由 13 3 1 22 ab 得0 2 1a bab 22 222 3 0 3 3 0atbkatbkata bk ta bt tb 333 11 430 3 3 44 kttkttf ttt 1 运用向量的数量积可以解决有关长度 角度等问题 因此充分挖掘题目所包含的几何意 义 往往能得出巧妙的解法 2 注意a b与 ab 的区别 a b 0 a 0 或b 0 3 应根据定义找两个向量的夹角 对于不共起点的两个向量 通过平移 使起点重合 第第 4 4 课时课时 线段的定比分点和平移线段的定比分点和平移 1 1 设 P1P2是直线 L 上的两点 点 P 是 L 上不同于 P1 P2的任意一点 则存在一个实数 使PP1 2 PP 叫做 2 2 设 P1 x1 y1 P2 x2 y2 点 P x y 分 21P P的比是 时 定比分点坐标公式为 中点坐标公式 3 3 平移公式 将点 P x y 按向量a h k 平移得到点 P x y 则 例例 1 1 已知点 A 1 4 B 5 2 线段 AB 上的三等分点依次为 P1 P2 求 P1 P2的坐 标及 A B 分 21P P所成的比 解解 P1 x 2 P2 3 0 2 2 1 2 变式训练变式训练 1 1 设 AB 5 点 p 在直线 AB 上 且 PA 1 则 p 分AB所成的比为 解解 6 1 4 1 或 小结归纳小结归纳 典型例题典型例题 基础过关基础过关 用心 爱心 专心 例例 2 2 将函数 y 2sin 2x 6 5 3 的图象 C 进行平移后得到图象 C 使 C 上面的一点 P 6 2 移至点 P 4 1 求图像 C 对应的函数解析式 解解 C y 2sin 2x 3 2 2 变式训练变式训练 2 2 若直线 2x y c 0 按向量a 1 1 平移后与圆 x2 y2 5 相切 则 c 的值 为 A 8 或 2 B 6 或 4 C 4 或 6 D 2 或 8 解解 A 例例 3 3 设a sinx 1 cosx 1 2 2 2 2 b f x ba 且函数 y f x 的图象是由 y sinx 的图象按向量c平移而得 求c 解解 c 2 2 4 k k z 变式训练变式训练 3 3 将 y sin2x 的图象向右按a作最小的平移 使得平移后的图象在 k 2 k k Z 上递减 则a 解解 4 0 例例 4 4 已知 ABC 的顶点 A 0 0 B 4 8 C 6 4 点 M 内分AB所成的比为 3 N 是 AC 边上的一点 且 AMN 的面积等于 ABC 的面积的一半 求 N 点的坐标 解解 由 ACAB ANAM S S ABC AMN 2 1 得 3 2 AC AN 2 NC AN N 4 3 8 变式训练变式训练 4 4 已知 ABC 的三个顶点为 A 1 2 B 4 1 C 3 4 1 求 AB 边上的中线 CM 的长及重心 G 的坐标 2 在 AB 上取一点 P 使过 P 且平行于 BC 的直线 PQ 把 ABC 的面积分成 4 5 两部分 三角 形面积 四边形面积 求点 P 的坐标 解解 3 4 3 3 7 3 8 2 26 pGCM 1 在运用线段定比分点公式时 首先要确定有向线段的起点 终点和分点 再结合图形确 定分比 小结归纳小结归纳 用心 爱心 专心 2 平移公式反映了平移前的点 P x y 和平移后的点 P x y 及向量a h k 三者之 间的关系 它的本质是 PP a 平移公式与图象变换法则 既有区别又有联系 应防止混 淆 用心 爱心 专心 平面向量章节测试题平面向量章节测试题 一 选择题一 选择题 1 若 A 2 1 B 1 3 则AB的坐标是 A 1 2 B 3 4 C 3 4 D 以上都不对 2 与 a 4 5 垂直的向量是 A 5k 4k B 10 2 C 54 kk D 5k 4k 3 ABC 中 BC a AC b 则AB等于 A a b B a b C a b D b a 4 化简 5 2 a b 3 1 2a 4b 15 2 2a 13b 的结果是 A 5 1 a 5 1 b B 0 C 5 1 a 5 1 b D 5 1 a 5 1 b 5 已知 p 22 q 3 p 与 q 的夹角为 4 则以 a 5p 2q b p 3q 为邻边的平行四边形的一 条对角线长为 A 15 B 15 C 16 D 14 6 已知 A 2 2 B 4 3 向量 p 的坐标为 2k 1 7 且 p AB 则 k 的值为 A 10 9 B 10 9 C 10 19 D 10 19 7 已知 ABC 的三个顶点 A B C 及平面内一点 P 满足PAPBPCAB 则点 P 与 ABC 的关系是 A P 在 ABC 的内部 B P 在 ABC 的外部 C P 是 AB 边上的一个三等分点 D P 是 AC 边上的一个三等分点 8 已知 ABC 的三个顶点 A 1 5 B 2 4 C 6 4 M 是 BC 边上一点 且 ABM 的面积 是 ABC 面积的 4 1 则线段 AM 的长度是 A 5 B 85 C 2 5 D 85 2 9 设 e1 e2是夹角为 450的两个单位向量 且 a e1 2e2 b 2e1 e2 则 a b 的值 A 23 B 9 C 2918 D 223 10 若 a 1 b 2 a b a 则 a 与 b 的夹角为 A 300 B 450 C 600 D 750 11 把一个函数的图象按向量 a 3 2 平移后 得到的图象对应的函数解析式为 y sin x 6 2 则原函数的解析式为 A y sinx B y cosx C y sinx 2 D y cos