2011年高考数学 第二章 第四节函数的单调性

1 同步检测训练同步检测训练 一 选择题 1 2008 北京海淀 下列函数中 在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 A y log2x x 0 B y x3 x x R C y 3x x R D y x R x 0 1 x 答案 B 解析 奇函数只有 y x3 x x R 和 y x R x 0 但前者在定义域内是增函数 1 x 后者不是 故选 B 2 2008 启东中学 若函数 f x loga 2x2 x a 0 a 1 在区间内恒有 f x 0 则 0 1 2 f x 的单调增区间是 A B 1 4 1 4 C D 0 1 2 答案 C 解析 当 x 时 2x2 x 0 1 则 0 a0 a 1 loga 0 1 2 则 f x 的单调递增区间是 故选 C 2 x 1 4 2 1 8 1 2 3 2008 广东六校联考 函数 y loga x 2 在 2 0 上是单调递增的 则此函数在 2 上是 A 单调递增 B 单调递减 C 先增后减 D 先减后增 答案 B 解析 函数 y loga x 2 的对称轴为 x 2 它在 2 0 上是单调递增的 则此函数在 2 上是单调递减的 故选 B 4 2008 天津六区联考 设 f x 是定义在 R 上的单调递减的奇函数 若 x1 x2 0 x2 x3 0 x3 x1 0 则 A f x1 f x2 f x3 0 B f x1 f x2 f x3 f x3 答案 B 解析 x1 x2 0 x2 x3 0 x3 x1 0 x1 x2 x2 x3 x3 x1 又 f x 是定义在 R 上的单调递减的奇函数 f x1 f x2 f x2 f x3 f x3 f x1 f x1 f x2 f x3 f x1 f x2 f x3 f x1 f x2 f x3 0 故选 B 5 若函数 y log2 x2 ax 3a 在 2 是增函数 则实数 a 的范围为 A 4 B 4 4 2 C 4 2 D 4 2 答案 B 解析 本题考查含参数变量的函数的讨论及其复合函数的应用 由题知 y log2x 为单 调增函数 y log2 x2 ax 3a 的单调增区间为 y x2 ax 3a 的增区间的一个子区间 由 y x2 ax 3a y 2x a 又在 2 是单调增区间 即在 x 2 2x a 0 恒 成立 即只需 2 2 a 0 即可 a 4 又 y x2 ax 3a 在 x 2 上恒大于 0 则 22 2a 3a 0 a 4 综上可得 4 a 4 当 a 4 时同样成立 故选 B 6 若函数 f x 是定义在 R 上的偶函数 在 0 上是减函数 且 f 2 0 则使得 f x 0 的 x 的取值范围是 A 2 B 2 C 2 2 D 2 2 答案 D 解析 f 2 0 且 f x 为偶函数 f 2 0 又 f x 在 0 上递减 f x 在 2 0 上递减 对于 x 2 0 必有 f x 0 由对称性得对于 x 0 2 必有 f x 0 使得 f x 0 的范围是 2 2 故选 D 7 2008 重庆一模 设 f x 是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数 已知 x 0 1 时 f x log 1 x 则函数 f x 在 1 2 上 1 2 A 是增函数 且 f x 0 C 是减函数 且 f x 0 答案 D 解析 f x 是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数 由 x 0 1 时 f x log 1 x 为增函数 1 2 且 f x 0 得函数 f x 在 2 3 上也为增函数且 f x 0 而直线 x 2 为函数的对称轴 则函数 f x 在 1 2 上是减函数 且 f x 0 故选 D 8 已知 f x Error Error 是 R 上的增函数 那么 a 的取值范围是 A 1 B 1 3 2 C 1 2 D 2 3 2 答案 D 解析 依题意得Error Error 解得 a 的取值范围是 a0 的单调递增区间是 3 由复合函数的单调性判断法则 函数 y log x2 3x 的单调递减区间是 3 1 3 10 若 f x x2 2ax 与 g x 在区间 1 2 上都是减函数 则 a 的取值范围是 a x 1 答案 0 1 3 解析 f x x a 2 a2 当 a 1 时 f x 在 1 2 上是减函数 g x 当 a 0 时 a x 1 g x 在 1 2 上是减函数 则 a 的取值范围是 0 a 1 11 2008 西北工大附中三模 函数 f x loga 1 a 3 ax 在 0 3 上单调递增 则 a 答案 1 3 2 解析 设 g x a 3 ax 则根据题意 得Error Error 1 a 故填 3 2 1 3 2 三 解答题 12 2008 北京市西城区抽样测试 已知函数 f x x x 2 1 写出 f x 的单调区间 2 解不等式 f x 0 求 f x 在 0 a 上的最大值 文 设 0 a 2 求 f x 在 0 a 上的最大值 解 1 f x x x 2 Error Error f x 的单调递增区间是 1 和 2 单调递减区间是 1 2 2 x x 2 3 Error Error 或Error Error 2 x 3 或 x 2 不等式 f x 3 的解集为 x x 3 3 理 当 0 a2 时 令 f a f 1 a a 2 1 a2 2a 1 0 解得 a 1 2 当 21 时 此时 f a f 1 f x 在 0 a 上的最大值是 f a a a 2 2 综上 当 0 a1 时 f x 在 0 a 上的最大值是 a a 2 2 文 当 0 a 1 时 f x 是 0 a 上的增函数 此时 f x 在 0 a 上的最大值是 f a a 2 a 当 1 a0 且 f x 在 1 内单调递减 求 a 的取值范围 1 证明 任设 x1 x20 x1 x2 0 f x1 f x2 f x 在 2 内单调递增 2 解 任设 1 x10 x2 x1 0 要使 f x1 f x2 0 只需 x1 a x2 a 0 恒成立 a 1 综上所述知 00 时 f x 0 f 1 2 3 1 判断并证明 f x 在 R 上的单调性 2 求 f x 在 3 3 上的最值 解 1 f x 在 R 上是单调递减函数 证明如下 令 x y 0 f 0 0 令 y x 可得 f x f x 在 R 上任取 x10 f x2 f x1 f x2 f x1 f x2 x1 又 x 0 时 f x 0 f x2 x1 0 即 f x2 f x1 由定义可知 f x 在 R 上为单调递减函数 2 f x 在 R 上是减函数 f x 在 3 3 上也是减函数 f 3 最大 f 3 最小 f 3 f 2 f 1 f 1 f 1 f 1 3 2 2 3 f 3 f 3 2 即 f x 在 3 3 上最大值为 2 最小值为 2 15 2008 北京丰台 已知 x 1 是函数 f x mx3 3 m 1 x2 nx 1 的一个极值点 其 中 m n R m 0 1 求 m 与 n 的关系式 2 求 f x 的单调区间 3 当 x 1 1 时 函数 y f x 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m 求 m 的取值 范围 解 1 f x 3mx2 6 m 1 x n x 1 是函数 f x mx3 3 m 1 x2 nx 1 的一个极值点 f 1 0 即 3m 6 m 1 n 0 n 3m 6 2 由 1 知 f x 3mx2 6