数列专题总复习知识点整理与经典例题讲解-高三数学

1 9 数列专题数列专题 一 等差数列的有关概念一 等差数列的有关概念 1 1 等差数列的定义 等差数列的定义 定义法 2 2 等差数列的通项 等差数列的通项 或 如如 1 1 等差数列中 则通项 n a 10 30a 20 50a n a 2 2 首项为 24 的等差数列 从第 10 项起开始为正数 则公差的取值范围是 3 3 等差数列的前等差数列的前和 和 S Sn n 如 如 1 1 数列 中 前 n 项和 n a 1 1 2 2 nn aannN 3 2 n a 15 2 n S 则 1 an 4 4 等差中项 等差中项 若成等差数列 则 A 叫做与的 且 A a A bab 5 5 等差数列的性质 等差数列的性质 1 若公差 则为 递增或递减 等差数列 若公差 则为 0d 0d 递增或递减 等差数列 若公差 则为常数列 0d 2 当时 则有 特别地 当时 则有 mnpq 2mnp 如 如 1 1 等差数列中 则 n a 123 18 3 1 nnnn SaaaS n 3 若 是等差数列 则 是非零常数 n a n b n ka nn kapb kp 也成 p nq ap qN 232 nnnnn SSSSS 如如等差数列的前 n 项和为 25 前 2n 项和为 100 则它的前 3n 和为 4 在等差数列中 当项数为偶数时 S偶 S奇 项数为奇数 n a2n 时 S偶 S奇 21n 如 如 1 1 在等差数列中 S11 22 则 6 a 2 2 项数为奇数的等差数列中 奇数项和为 80 偶数项和为 75 求此数列的中 n a 间项与项数 二 等比数列的有关概念二 等比数列的有关概念 1 等比数列等比数列定义 如 如 1 1 一个等比数列 共有项 奇数项之积为 100 偶数项之积为 120 则 n a21n 为 2 2 数列中 4 1 且 1 若 1n a n a n S 1n a 2n 1 a nnn aab2 1 求证 数列 是等比数列 n b 2 9 2 2 等比数列的通项 等比数列的通项 或 如如等比数列中 前项和 126 求和 n a 1 66 n aa 21 128 n a a n n S nq 3 等比数列的前等比数列的前和 和 当时 当时 Sn n1q 1n Sna 1q 如 如 1 1 等比数列中 2 S99 77 求q 9963 aaa 4 4 等比中项 等比中项 若成等比数列 那么 A 叫做与的等比中项 即即 A A a A bab 5 5 等比数列的性质等比数列的性质 1 当时 则有 特别地 当时 则mnpq 2mnp 有 如 如 1 1 在等比数列中 公比 q 是整数 则 n a 3847 124 512aaa a 10 a 2 2 各项均为正数的等比数列中 若 则 n a 56 9aa 3132310 logloglogaaa 3 3 在等比数列中 为其前 n 项和 若 则 n a n S140 13 30101030 SSSS 的值为 20 S 三 数列通项公式的求法三 数列通项公式的求法 1 累加法 累加法 例例 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 211 nn aana n a 2 累乘法 累乘法 例例 已知数列满足 求数列 n a0 1 1 1 22 11 nnnn aanaana 的通项公式 n a 3 9 3 取倒数法 例 已知数列 n a 中 其中 1 1 a 且当 n 2 时 12 1 1 n n n a a a 求通 项公式 n a 4 构造法 例 已知数列中 32 1 11 nn aaa 求数列的通项公式 n a n a 四 数列求和的基本方法和技巧四 数列求和的基本方法和技巧 例 例 在数列 n a中 11 11 1 1 2 nn n n aaa n I 设 n n a b n 求数列 n b的通项公式 II 求数列 n a的前n项和 n S 4 9 例例求和 132 12 7531 n n xnxxxS 例例 求数列的前 n 项和 23 1 7 1 4 1 11 12 n aaa n 例例 在数列 an 中 又 求数列 bn 的 11 2 1 1 n n nn an 1 2 nn n aa b 前 n 项的和 例例 数列 an 求 S2002 nnn aaaaaa 12321 2 3 1 5 9 例 1 在等比数列中 n a 25 3 81aa 1 求 2 设 求数列的前 项和 n a 3 log nn ba n bn n S 例 2 已知等差数列 n a n S为其前 n 项的和 5 a 6 6 S 18 n N I 求数列 n a 通项公式 II 若 n b 3n a 求数列 n b 的前 n 项的和 n S 例 3 已知是等差数列 满足 数列满足 n a 1 3a 4 12a n b 1 4b 且是等比数列网 4 20b nn ba 1 求数列和的通项公式 2 求数列的前 项和 n a n b n bn 6 9 例 4 已知点 Pn an bn 都在直线 y 2x 2 上 P1为直线 与 x 轴的ll 交点 数列 an 成等差数列 公差为 1 n N 分别求数列 an bn 的 通项公式 例 5 数列满足 n a 11 1 1 1 nn ananan nnN 1 证明 数列是等差数列 2 设 求数列 n a n 3n nn ba 的前 项和 n bn n S 例 6 已知等差数列 n a 公差0 d 前 n 项和为 n S 6 3 S 且满 足 8213 2aaaa 成等比数列 1 求 n a 的通项公式 2 设 2 1 nn n aa b 求数列 n b的前n项和 n T的 7 9 值 例 7 已知数列 n a的前n项和 1 22 n nn aS 1 证明 数列 n n a 2 是等差数列 并求数列 n a的通项公式 2 若不等式 n ann 5 32 2 对任意 Nn 恒成立 求实数 的 取值范围 例 8 已知 1 1 3 x 2 1nnn xxxa nN a为常数 1 若 1 4 a 求证 数列 1 lg 2 n x 是等比数列 2 在 1 条件下 求证 51 62 n n xnN 8 9 练习 练习 1 若等差数列的前n项和为 且 n a n S48 7 s72 14 s 则 21 s 2 若等差数列的前n项和为 且 n a n S34 3 s 146 12 nnn aaa 则数列共有 项 390 n s n a 3 设为等差数列的前n项和 若 则 n S n a 9 5 3 5 a a 5 9 s s 4 等比数列的各项均为正数 且 则 n a 15 4a a 2122232425 logloglogloglogaaaaa 5 根据下列条件 求数列的通项公式 n a 1 已知数列的前 项和 求 n annnSn32 2 n a 2 已知数列中 求 n a1 1 a 1 2 nn aa n a 3 已知数列中 求 n a1 1 a 12 1 3 n nn aa n a 4 已知数列中 求 n a1 1 a 1 nn naa n a 5 已知数列中 求 n a1 1 a n nn aa22 1 n a 6 数列 a