2011高考数学一轮复习精讲精练系列 空间向量教案（上册）

用心 爱心 专心 空间向量空间向量 1 1 理解空间向量的概念 掌握空间向量的加法 减法和数乘 2 2 了解空间向量的基本定理 理解空间向量坐标的概念 掌握空间向量的坐标运算 3 3 掌握空间向量的数量积的定义及其性质 掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式 掌握空间两点间的距离公式 理解空间向量的夹角的概念 掌握空间向量的数量积的概念 性质和运算律 了解空 间向量的数量积的几何意义 掌握空间向量的数量积的坐标形式 能用向量的数量积判断向 量的共线与垂直 第第 1 1 课时课时 空间向量及其运算空间向量及其运算 空间向量是平面向量的推广 在空间 任意两个向量都可以通过平移转化为平面向 量 因此 空间向量的加减 数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广 本节知识点是 1 1 空间向量的概念 空间向量的加法 减法 数乘运算和数量积 1 向量 具有 和 的量 2 向量相等 方向 且长度 3 向量加法法则 4 向量减法法则 5 数乘向量法则 基础过关基础过关 知识网络知识网络 考纲导读考纲导读 高考导航高考导航 空间向量 定义 加法 减法 数乘运算 数量积 坐标表示 夹角和距离公式 求距离 求空间角 证明平行与垂直 用心 爱心 专心 2 2 线性运算律 1 加法交换律 a b 2 加法结合律 a b c 3 数乘分配律 a b 3 3 共线向量 1 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 2 共线向量定理 对空间任意两个向量a b b 0 a b等价于存在实数 使 3 直线的向量参数方程 设直线l过定点 A 且平行于非零向量a 则对于空间中任意一点 O 点 P 在l上等价于存在 Rt 使 4 4 共面向量 1 共面向量 平行于 的向量 2 共面向量定理 两个向量a b不共线 则向量 P 与向量a b共面的充要条件是存在实 数对 yx 使 P 共面向量定理的推论 5 5 空间向量基本定理 1 空间向量的基底 的三个向量 2 空间向量基本定理 如果a b c三个向量不共面 那么对空间中任意一个向量 p 存 在一个唯一的有序实数组 zyx 使 空间向量基本定理的推论 设 O A B C 是不共面的的四点 则对空间中任意一点 P 都存 在唯一的有序实数组 zyx 使 6 6 空间向量的数量积 1 空间向量的夹角 2 空间向量的长度或模 3 空间向量的数量积 已知空间中任意两个向量a b 则a b 空间向量的数量积的常用结论 a cos a b b a 2 c a b 4 空间向量的数量积的运算律 a 交换律a b b 分配律a b c 典型例题典型例题 用心 爱心 专心 例例 1 1 已知正方体 ABCD A1B1C1D1中 点 F 是侧面 CDD1C1的中心 若 1 AAyABxADAF 求 x y的值 解 解 易求得0 2 1 yxyx 变式训练变式训练 1 1 在平行六面体 1111 DCBAABCD 中 M 为 AC 与 BD 的交点 若 11B A a 11D A b AA1 c 则下列向量中与 MB1 相等的向量是 A 2 1 a 2 1 b c B 2 1 a 2 1 b c C 2 1 a 2 1 b cD 2 1 a 2 1 b c 解 解 A 例例 2 2 底面为正三角形的斜棱柱 ABC A1B1C1中 D 为 AC 的中点 求证 AB1 平面 C1BD 证明 证明 记 1 cAAbACaAB 则cbCCDCDCbaADABDBcaAB 2 1 2 1 111 11 ABcaDCDB 11 DCDBAB共面 B1 平面 C1BD AB1 平面 C1BD 变式训练变式训练 2 2 正方体 ABCD EFGH 中 M N 分别是对角线 AC 和 BE 上的点 且 AM EN 1 求证 MN 平面 FC 2 求证 MN AB 3 当 MA 为何值时 MN 取最小值 最小值是多少 解 解 1 设 1 BFkBCkMNk AC MC EB NB 则 2 0 1 ABBFkABBCkABMN 3 设正方体的边长为a 2 1 122 22 kakkMN则则 也即则ACAM 2 1 aMN 2 2 min 例例 3 3 已知四面体 ABCD 中 AB CD AC BD G H 分别是 ABC 和 ACD 的重心 求证 1 AD BC 2 GH BD 证明 证明 1 AD BC 0 BCAD 因为 AB CD0 CDAB 0 BDACBDAC 而 0 DCBDBDABBCAD 所以 AD BC A B C D A 1 C1 B1 用心 爱心 专心 2 设 E F 各为 BC 和 CD 的中点 欲证 GH BD 只需证 GH EF AHGAGH 3 2 AFEA 3 2 EF 变式训练变式训练 3 3 已知平行六面体 1111 DCBAABCD E F G H 分别为棱 ABCCCDDA和 11111 的中 点 求证 E F G H 四点共面 解 解 CGHCHG 1 GCHC 1 FCGFHC GFFCFA 11 GFEF 2 所以EHEGEF 共面 即点 E F G H 共面 例例 4 4 如图 平行六面体 AC1中 AE 3EA1 AF FD AG GB 2 1 过 E F G 的平面与对角 线 AC1交于点 P 求 AP PC1的值 解 解 设 1 ACmAP AFAEAG ADAAABCBBBABAC 2 3 4 3 11111 AFmAEmAGmAP2 3 4 3 又 E F G P 四点共面 12 3 4 3 mmm 19 3 m AP PC1 3 16 变式训练变式训练 4 4 已知空间四边形 OABC 中 M 为 BC 的中点 N 为 AC 的中点 P 为 OA 的中点 Q 为 OB 的中点 若 AB OC 求证 QNPM 证明 证明 法一 2 1 OCOBOM 2 1 OCOAON 2 1 OCABOMPOPM D FA G B B1 C1 D1 A1 CE P 用心 爱心 专心 2 1 ABOCONQOQN 0 4 1 22 ABOCQNPM 故QNPM 法二 PM QN PQ QM QM MN 2 1 OCAB 2 1 BAOC 4 1 22 ABOC 0 1 立体几何中有关垂直和平行的一些命题 可通过向量运算来证明 对于垂直 一般是利 用a b a b 0 进行证明 对于平行 一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明 2 运用向量求解距离问题 其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量 然后计算这 个向量对应的模 而计算过程中只要运用好加法法则 就总能利用一个一个的向量三角形 将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来 从而求得结果 3 利用向量求夹角 线线夹角 线面夹角 面面夹角 有时也很方便 其一般方法是将所求 的角转化为求两个向量的夹角 而求两个向量的夹角则可以利用公式cos ba ba 4 异面直线间的距离的向量求法 已知异面直线l1 l2 AB 为其公垂线段 C D 分别为 l1 l2上的任意一点 n为与AB共线的向量 则 AB n nCD 5 设平面 的一个法向量为n 点 P 是平面 外一点 且 Po 则点 P 到平面 的距 离是d n nPPo 第第 2 2 课时课时 空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算 设a 321 aaa b 321 bbb 1 a b 2 a 3 a b 4 a b a b 小结归纳小结归纳 基础过关基础过关 用心 爱心 专心 5 设 222111 zyxBzyxA 则AB AB AB 的中点 M 的坐标为 例例 1 1 若a 1 5 1 b 2 3 5 1 若 ka b a 3b 求实数k的值 2 若 ka b a 3b 求实数k的值 3 若bak 取得最小值 求实数k的值 解 解 1 3 1 k 2 3 106 k 3 27 8 k 变式训练变式训练 1 1 已知O为原点 向量 3 0 1 1 1 2 OAOBOCOA BC OA 求 AC 解 解 设 1 1 2OCx y zBCxyz OCOA BC OA 0OC OA BCOAR 30 1 1 23 0 1 xz xyz 即 30 13 10 2 xz x y z 解此方程组 得 7211 1 101010 xyz 721 1 1010 OC 3711 1 1010 ACOCOA 例例 2 2 如图 直三棱柱 111 CBAABC 底面 ABC 中 CA CB 1 90 BCA 棱 2 1 AA M N 分别 A1B1 A1A 是的中点 1 求 BM 的长 2 求 11 cosCBBA 的值 典型例题典型例题 x y z B1 C1 A1 C B A M N 用心 爱心 专心 3 求证 NCBA 11 解 解 以 C 为原点建立空间直角坐标系xyzO 1 依题意得 B 0 1 0 M 1 0 1 3 01 10 01 222 BM 2 依题意得 A1 1 0 2 B 0 1 0 C 0 0 0 B1 0 1 2 5 6 3 2 1 0 2 1 1 11 1111 CBBA CBBACBBA 10 30 cos 11 11 11 CBBA CBBA CBBA 3 证明 依题意得 C1 0 0 2 N 0 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 11 NCBA NCBANCBA 1111 00 2 1 2 1 变式训练变式训练 2 2 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为矩形 侧棱 PA 底面 ABCD AB 3 BC 1 PA 2 E 为 PD 的中点 1 在侧面 PAB 内找一点 N 使 NE 面 PAC 并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离 2 求 1 中的点 N 到平面 PAC 的距离 解 解 1 建立空间直角坐标系 A BDP 则 A B C D P E 的坐标分别是 A 0 0 0 B 3 0 0 C 3 1 0 D 0 1 0 P 0 0 2 E 0 2 1 1 依题设 N x 0 z 则NE x 2 1 1 z 由于 NE 平面 PAC 0 0 ACNE APNE AB C P E D 用心 爱心 专心 即 0 2 1 3 01 0 0 1 3 1 2 1 0 2 0 0 1 2 1 x z zx zx 1 6 3 z x 即点 N 的坐标为 6 3 0 1 从而 N 到 AB AP 的距离分别为 1 6 3 2 设 N 到平面 PAC 的距离为d 则d NE NENA 12 3 3 12 1 0 2 1 6 3 0 2 1 6 3 1 0 6 3 例例 3 3 如图 在底面是棱形的四棱锥 ABCDP 中 60aACPAABC aPDPB2 点E 在PD上 且PE ED 2 1 1 证明 PA平面ABCD 2 求以 AC 为棱 EAC与DAC为面的二面角 的大小 3 在棱 PC 上是否存在一点 F 使BF 平面AEC 证明你的结论 解 解 1 证明略 2 易解得 30 3 解 以 A 为坐标原点 直线APAD 分别为y轴 z轴 过 A 点垂直于平面 PAD 的直线为 x轴 建立空间直角坐标系 如图 由题设条件 相关各点的坐标为 0 2 1 2 3 0 2 1 2 3 0 0 0 aaCaaBA 3 1 3 2 0 0 0 0 0 aaEaPaD 所以 AE 3 1 3 2 0 aa AC 0 2 1 2 3 aa AP 0 0 a PC 2 1 2 3 aaa BP 2 1 2 3 aaa 设点 F 是棱PC上的点 PCPF 2 1 2 3 aaa 其中10 则 1 1 2 1 1 2 3 aaaPFBPBF 令AEACBF 21 得 2 21 1 3 1 1 3 2 2 1 1 2 1 2 3 1 2 3 aa aaa aa 解得 2 3 2 1 2 1 21 即 2 1 时 AEACBF 2 3 2 1 亦即 F 是 PC 的中点时 C D B A P E 用心 爱心 专心 AEACBF 共面 又 BF平面AEC 所以当 F 是 PC 的中点时 BF 平面AEC 例例 4 4 如图 多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEFG 所截而得 其中 AB 4 BC 1 BE 3 CF 4 1 求EF和点 G 的坐标 2 求 GE 与平面 ABCD 所成的角 3 求点 C 到截面 AEFG 的距离 解 解 1 由图可知 A 1 0 0 B 1 4 0 E 1 4 3 F 0 4 4 1 0 1 EF 又 EFAG 设 G 0 0 z 则 1 0 z 1 0 1 z 1 G 0 0 1 2 平面 ABCD 的法向量 1 0 0 DG 2 4 1 GE 设 GE 与平面 ABCD 成角为 则 21 212 2 cos GEDG GEDG 21 212 arcsin 3 设 0 n 面 AEFG 0 n x0 y0 z0 0 n AG 0 n AE 而AG 1 0 1 AE 0 4 3 4 3 4 3 034 0 0000 00 00 00 00 zzzn zy zx zy zx 取z0 4 则 0 n 4 3 4 41 4116 4 0 0 0 0 n nCF dCF 即点 C 到截面 AEFG 的距离为 41 4116 变式训练变式训练 4 4 如图四棱锥P ABCD中 底面ABCD是平行四边形 PG 平面ABCD 垂足为 G G在AD上 且PG 4 GDAG 3 1 BG GC GB GC 2 E是BC的中点 1 求异面直线GE与PC所成的角的余弦值 2 求点D到平面PBG的距离 3 若F点是棱PC上一点 且DF GC 求 FC PF 的值 Z A D GE F C B x y P A G BC D F E 用心 爱心 专心 解 解 1 以G点为原点 GPGCGB 为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 则B 2 0 0 C 0 2 0 P 0 0 4 故E 1 1 0 GE 1 1 0 PC 0 2 4 10 10 202 2 cos PCGE PCGE PCGE GE与PC所成的余弦值为 10 10 2 平面PBG的单位法向量n 0 1 0 0 2 3 2 3 4 3 4 3 BCADGD 点D到平面PBG的距离为 GD n 2 3 3 设F 0 y z 则 2 3 2 3 0 2 3 2 3 0 zyzyDF GCDF 0 GCDF 即032 020 2 3 2 3 yzy 2 3 y 又PCPF 即 0 2 3 z 4 0 2 4 z 1 故F 0 2 3 1 1 2 1 0 3 2 3 0 FCPF 3 5 2 3 5 2 PF PC 对于以下几类立体几何问题 1 共线与共面问题 2 平行与垂直问题 3 夹角问 题 4 距离问题 5 探索性问题 运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势 用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用 某个合适的基底表示 本节主要是用单位正交基底表示 就是适当地建立起空间直角坐标系 把向量用坐标表示 然后进行向量与向量的坐标运算 最后通过向量在数量上的关系反映出 向量的空间位置关系 从而使问题得到解决 在寻求向量间的数量关系时 一个基本的思路 是列方程 解方程 小结归纳小结归纳 用心 爱心 专心 空间向量章节测试题空间向量章节测试题 1 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 若 AB 2 A A1 1 则点 A 到平面 A1BC 的距离为 A 4 3 B 2 3 C 4 33 D 3 2 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 若 AB BB1 则 AB1与 C1B 所成的角的大小为 2 A 60 B 90 C 105 D 75 3 正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别是 AA1与 CC1的中点 则直线 ED 与 D1F 所成角的大小 是 A 1 5 B 1 3 C 1 2 D 3 2 4 设E F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点 在正方体的 12 条面对角线中 与截面 A1ECF成 60 角的对角线的数目是 A 0 B 2 C 4 D 6 5 棱长都为 2 的直平行六面体 ABCD A1B1C1D1中 BAD 60 则对角线 A1C 与侧面 DCC1D1 所成角的正弦值为 A 2 2 B 2 1 C 4 3 D 8 3 6 在棱长为 2 的正方体 1111 DCBAABCD 中 O 是底面 ABCD 的中心 E F 分别是 1 CC AD 的中点 那么异面直线 OE 和 1 FD所成的角的余弦值等于 A 5 10 B 3 2 C 5 5 D 5 15 7 棱长为a的正四面体中 高为 H 斜高为h 相对棱间的距离为d 则a H h d的大 小关系正确的是 A a H h dB a d h H C a h d H D a h H d 8 将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起 使平面 ABD 平面 CBD E 是 CD 中点 则AED 的大 小为 A 45 B 30 C 60 D 90 9 三棱锥 A BCD 的高 AH 3a3 H 是底面 BCD 的重心 若 AB AC 二面角 A BC D 为 60 G 是 ABC 的重心 则 HG 的长为 A a5 B a6 C a7 D a10 10 PA PB PC 是从 P 引出的三条射线 每两条的夹角都是 60 则直线 PC 与平面 PAB 所 用心 爱心 专心 A B C D P 成的角的余弦值为 A 1 2 B 3 2 C 3 3 D 6 3 11 已知正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长都相等 D 是 A1C1的中点 则直线 AD 与平面 B1DC 所成角的正弦值为 12 如图 正方体的棱长为 1 C D 分别是两条棱的中点 A B M 是顶点 那么点 M 到截 面 ABCD 的距离是 13 正四棱锥P ABCD的所有棱长都相等 E为PC中点 则直线AC与截面BDE所成的角为 14 已知边长为4 2的正三角形 ABC 中 E F 分别为 BC 和 AC 的中点 PA 面 ABC 且 PA 2 设平面 过 PF 且与 AE 平行 则 AE 与平面 间的距离为 15 如右下图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 已知AB 4 AD 3 AA1 2 E F分别是线 段AB BC上的点 且EB FB 1 1 求二面角C DE C1的正切值 2 求直线EC1与FD1所成的余弦值 16 如图 三棱锥 P ABC 中 PC 平面 ABC PC AC 2 AB BC D 是 PB 上一点 且 CD 平面 PAB I 求证 AB 平面 PCB II 求异面直线 AP 与 BC 所成角的大小 III 求二面角 C PA B 的大小的余弦值 A B M D C AE D C B A1 F D1 C1 B1 用心 爱心 专心 17 如图所示 已知在矩形ABCD中 AB 1 BC a a 0 PA 平面AC 且PA 1 1 试建立适当的坐标系 并写出点P B D的坐标 2 问当实数a在什么范围时 BC边上能存在点Q 使得PQ QD 3 当BC边上有且仅有一个点Q使得PQ QD时 求二面角Q PD A的大小 Q P D C B A 用心 爱心 专心 空间向量章节测试题答案空间向量章节测试题答案 1 B 2 B 3 A 4 C 提示 以D为原点 DA为x轴 DC为y轴 DD1为z轴建立空间直角坐标系 并设 正方体的棱长为 1 则A1 1 0 0 E 1 1 2 0 C 0 1 0 设平面A1ECF的法向量为 n x y z 则由 1 AE An 0 及EC An 0 可得x z 1 2 y 于是可取n 1 1 2 1 11 0 1 1 ABDC 11 1 1 0 D BDB 而且可计算得到这四个向量与向量n所成的角为 30 于是这四个向量与平面A1ECF所成的角为 60 而其它的面对角线所在的向量均不满 足条件 5 D 6 C 7 C 8 A 9 D 10 D 11 4 5 12 2 3 13 设AC与BD相交于点O 则OE 与OC 所成的角即 EOC为所求 易得大小为 45 14 3 32 15 1 如图 以A为原点 1 AAADAB分别为x轴 y轴 z轴的正向建立空间直角坐 标系A xyz 则有D 0 3 0 D1 0 3 2 E 3 0 0 F 4 1 0 C1 4 3 2 于是 1 3 3 0 1 3 2 DEEC 1 4 2 2 FD 设向量 x y z n与平面C1DE垂直 则有 1 3301 3202 DExy xyz xyz EC n n 1 1 2 222 zzz z n其中z 0 取n0 1 1 2 则n0是一个与平面C1DE垂直的向量 用心 爱心 专心 A B C D P x y z 向量 1 AA 0 0 2 与平面CDE垂直 n0与 1 AA 所成的角 为二面角C DE C1的平面角 01 01 1 01 0226 cos 3 1 14004 AA AA A n n 2 tan 2 2 设EC1与FD1所成角为 则 11 222222 11 1 4 3 22221 cos 14 132 4 22 EC FD ECFD A 16 1 PC 平面 ABC AB平面 ABC PC AB CD 平面 PAB AB平面 PAB