2011高考数学总复习 9.12 球夯实基础 大纲人教版

1 9 129 12 球球 巩固巩固 夯实基础夯实基础 一 自主梳理一 自主梳理 1 到定点的距离小于或等于定长的点的集合叫做球 到定点的距离等于定长的点的集合 叫做球面 过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长叫做两点的球面距离 2 平面截球所得的截面是圆 3 S球 4 R2 V球 3 4 R3 二 点击双基二 点击双基 1 下列四个命题中错误的个数是 经过球面上任意两点 可以作且只可以作一个球的大圆 球面积是大圆面积的四倍 球面上两点的球面距离 是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 错误 答案 C 2 江苏高考 一平面截一球得到直径为 6 cm 的圆面 球心到这个平面的距离是 4 cm 则该 球的体积是 A 3 100 cm3 B 3 208 cm3 C 3 500 cm3 D 3 13416 cm3 答案 C 3 若三球的半径之比是 1 2 3 那么半径最大的球体积是其余两球体积和的 倍 A 4 B 3 C 2 D 1 解析 三球体积之比为 1 8 27 答案 B 4 北京高考 理 某地球仪上北纬 30 纬线的长度为 12 cm 该地球仪的半径是 cm 表面积是 cm2 解析 如图所示 2 r 12 r 6 cm 设地球仪半径为 R 则 R r R 6 sin60 R 43 cm 表面积 S 4 R2 192 cm2 答案 43 192 2 5 长方体的一个顶点上三条棱长为 3 4 5 且它的八个顶点都在一个球面上 这个球的 表面积是 A 202 B 252 C 50 D 200 解析 设球的半径为 R 则 2R 2 32 42 52 50 R 2 25 S球 4 R2 50 答案 C 诱思诱思 实例点拨实例点拨 例 1 球面上有 3 个点 其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 6 1 经过这 3 个点的 小圆的周长为 4 那么这个球的半径为 A 43 B 2 3 C 2 D 3 解法一 过 O 作 OO 平面 ABC O 是垂足 则 O 是 ABC 的中心 则 O A r 2 又因为 AOC 3 OA OC 知 OA ACO A 所以 O A OA 2O A 因为 OA R 所以 2 R 4 因此 排除 A C D 得 B 解法二 在正三角形 ABC 中 应用正弦定理 得 AB 2rsin60 23 因为 AOB 3 所以侧面 AOB 是正三角形 得球半径 R OA AB 23 解法三 因为正三角形 ABC 的外径 r 2 故高 AD 2 3 r 3 D 是 BC 的中点 在 OBC 中 BO CO R BOC 3 所以 BC BO R BD 2 1 BC 2 1 R 在 Rt ABD 中 AB BC R 所以由 AB2 BD2 AD2 得 R2 4 1 R2 9 所以 R 23 答案 B 链接链接 提示提示 1 本题以球为载体考查了直线的关系 解三角形等知识 将空间图形的计算转化为平面 图形中求正三角形外接圆半径及勾股定理的使用 并运用方程的思想 2 正确区别球面上两点之间的直线距离与球面距离 计算 A B 两点间的球面距离关键 是搞清纬度 经度 经度差 纬度差等概念 具体步骤是 1 计算线段 AB 的长度 2 计算 A B 到球心 O 的张角 3 计算球大圆在 A B 两点间所夹的劣弧长 例 2 已知球的两个平行截面的面积分别为 49 400 且两个截面之间的距离为 9 求 球的表面积 剖析 先画出过球心且垂直于已知截面的球的大圆截面 再根据球的性质和已知条件列方程 求出球的半径 注意 由于球的对称性 应考虑两截面与球心的位置关系分别在球心的同侧或 3 异侧的情形 加以分类讨论 解 右图为球的一个大圆截面 O1A2 49 则 O1A 7 又 O2B2 400 O2B 20 1 当两截面在球心同侧时 OO1 OO2 9 22 7 R 22 20 R 解得 R2 625 S球 4 R2 2 500 2 当两截面在球心异侧时 OO1 OO2 9 22 7 R 22 20 R 无解 综上 所求球的表面积为 2 500 链接链接 提示提示 球的截面的性质是解决与球有关的问题的重要一环 特别是有关球的计算问题中 R2 d2 r2 R r d 分别表示球的半径 截面圆的半径 球心到截面的距离 起着重要的作用 例 3 把三个半径都是 R 的球两两相切地放在桌面上 第四个球放在三个球中间 也在桌 面上 且与三个球都相切 求第四个球的半径 解 如图所示 设 O1 O2 O3分别为半径为 R 的球的球心 则 O1O2 O2O3 O3O1 2R O 为第四个球 的球心 设其半径为 r 则 OO1 OO2 OO3 R r 因此 O O1O2O3为一个正三棱锥 O 点在底面 O1O2O3的射影 H 是正三角形的中心