【教学设计】《分层抽样》（人教）

分分层层 抽抽样样 1 以探究具体问题为导向 引入分层抽样的概念 引导学生从现实生活或其他学科中提 出具有一定价值的统计问题 在解决统计问题的过程中 学会用分层抽样的方法从总体中 抽取样本 2 正确理解分层抽样的概念 掌握分层抽样的步骤 并能灵活应用相关知识从总体中抽取 样本 3 通过对现实生活中实际问题进行分层抽样 感知应用数学知识解决实际问题的方法 1 知识与技能 1 正确理解分层抽样的概念 2 掌握分层抽样的一般步骤 3 正确理解分层抽样与简单随机抽样的关系 2 过程与方法 通过对实际问题的探究 归纳应用数学知识解决实际问题的方法 理解分 类讨论的数学方法 3 情感态度与价值观 通过数学活动 感受数学对实际生活的需要 体会现实世界和数学 知识的联系 教学任务分析教学任务分析 教学目标教学目标 教学重点 分层抽样的概念 分层抽样的操作步骤 教学难点 对样本随机性的理解 一 知识回顾 前面我们学过系统抽样与简单随机抽样 这两者之间相比较而言 有什么区别 1 简单随机抽样适合总体数目较少时 而系统抽样适合总体数目较多时 2 系统抽样比简单随机抽样更容易实施 可节约抽样成本 3 系统抽样所得样本的代表性和具体的编号有关 而简单随机抽样所得样本的代表性与个 体的编号无关 如果编号的个体特征随编号的变化呈现一定的周期性 可能会使系统抽样 的代表性很差 例如学号按照男生单号女生双号的方法编排 那么 用系统抽样的方法抽 取的样本就可能会是全部男生或全部女生 4 系统抽样比简单随机抽样的应用范围更广 一般地 当总体容量较少或者总体容量较大 样本容量较少时 适宜用简单随机抽样 即抽签法和随机数法 当总体容量较大 样本容量也较大以及总体的个体差别不大或 不明显时 宜用系统抽样法抽取样本 另外 用系统抽样抽取样本时 还要分析样本的代 表性是否较好 否则 即使样本容量再大 也不宜用系统抽样法 二 新课导入 创设情景 假设某地区有高中生 2400 人 初中生 10900 人 小学生 11000 人 当地教育部门为了 了解本地区中小学生的近视情况及其形成原因 要从本地区的中小学生中抽取 1 的学生进 行调查 你认为应当怎样抽取样本 三 新课讲授 一 分层抽样的定义 教学重难点教学重难点 教学过程教学过程 一般地 在抽样时 将总体分成互不交叉的层 然后按照一定的比例 从各层独立地 抽取一定数量的个体 将各层取出的个体合在一起作为样本 这种抽样的方法叫分层抽样 说明 分层抽样又称类型抽样 应用分层抽样应遵循以下要求 1 分层 将相似的个体归入一类 即为一层 分层要求每层的各个个体互不交叉 即遵 循不重复 不遗漏的原则 2 分层抽样为保证每个个体等可能入样 需遵循在各层中进行简单随机抽样 每层样本 数量与每层个体数量的比与样本容量与总体容量的比相等 要点分析 1 当总体是由差异明显的几个部分组成时 往往选用分层抽样的方法 2 每个个体被抽中的可能性相同 3 每一层抽取的数 该层个体数 总体个体数 样本容量 讨论情景中问题 思考 1 为方便抽样 能否从小学生或初中生或高中生中抽取中小学生总数的 1 为什么 答 不能 因为不同年龄阶段的学生的近视情况可能存在明显差异 为了使样本具有 较好的代表性 应该分高中 初中 小学三个层次分别抽样 思考 2 在高中 初中和小学三部分学生中都按 1 的比例抽取 那么各抽取多少人 答 高中生中抽取 2 400 1 24 人 初中生中抽取 10 900 1 109 人 小学生 中抽取 11 000 1 110 人 思考 3 在三类学生中具体抽取样本时 可以用哪种抽样方法进行抽样 答 由于样本总体较大 可以用系统抽样 思考 4 上述抽样方法保证了抽样的公平性 并且样本具有较好的代表性 从而是一种科 学 合理的抽样方法 这种抽样方法称为分层抽样 你能归纳出分层抽样的概念吗 答 一般地 在抽样时 将总体分成互不交叉的层 然后按照一定的比例 从各层独 立地抽取一定数量的个体 将各层取出的个体合在一起作为样本 这种抽样的方法叫分 层抽样 思考 5 适合用分层抽样的方法抽取样本的问题有什么特点 答 总体由差异明显的几部分组成 这样的问题适合用分层抽样 四 例题探究 例 1 某商场有四类食品 其中粮食类 植物油类 动物性食品类及果蔬类分别有 40 种 10 种 30 种 20 种 现从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测 若采用分 层抽样的方法抽取样本 则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 A 4 B 5 C 6 D 7 答案 C 解析 抽样比为 则抽取的植物油类种数是 10 2 则抽取的 20 40 10 30 20 1 5 1 5 果蔬类食品种数是 20 4 所以抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 2 4 6 1 5 反思与感悟 如果 A B C 三层含有的个体数目分别是 x y z 在 A B C 三层应抽取 的个体数目分别是 m n p 那么有 x y z m n p 跟踪训练 1 某校有学生 2 000 人 其中高三学生 500 人 为了解学生的身体素质情 况 采用按年级分层抽样的方法 从该校学生中抽取一个 200 人的样本 则样本中高三学 生的人数为 答案 50 解析 抽样比为 样本中高三学生的人数为 500 50 200 2 000 1 10 1 10 跟踪训练 2 某单位有职工 500 人 其中 35 岁以下的有 125 人 35 岁 49 岁的有 280 人 50 岁以上的有 95 人 为了调查职工的身体状况 要从中抽取一个容量为 100 的样本 如何进行抽取 思考 该项调查应采用哪种抽样方法进行 不同年龄段的职工中 按什么比例抽取人数 三个年龄层次的职工分别抽取多少人 答 分层抽样 都按 5 1 即每 5 人中抽取一人 35 岁以下 125 25 人 35 岁 49 岁 280 56 人 50 岁以上 1 5 1 5 95 19 人 1 5 例题 2 某市的 3 个区共有高中学生 20 000 人 且 3 个区的高中学生人数之比为 2 3 5 现要从所有学生中抽取一个容量为 200 的样本 调查该市高中学生的视力情况 试写出抽样过程 解 1 由于该市高中学生的视力有差异 按 3 个区分成三层 用分层抽样来抽取样本 2 确定每层抽取个体的个数 在 3 个区分别抽取的学生人数之比也是 2 3 5 所以 抽取的学生人数分别是 200 40 200 60 200 100 2 2 3 5 3 2 3 5 5 2 3 5 3 在各层分别按系统抽样法抽取样本 4 综合每层抽样 组成容量为 200 的样本 思考 简单随机抽样 系统抽样和分层抽样既有其共性 又有其个性 根据下表 你 能对三种抽样方法作一个比较吗 方法类别共同特点抽样特征 相互联 系 适用范围 简单随机抽样 系统抽样 分层抽样 答 方法类别共同特点抽样特征相互联系适用范围 简单随机抽样 从总体中逐个 不放回抽取 简单随机抽样 是基础 总体中 的个体 数较少 系统抽样 将总体分成均 衡几部分 按 规则关联抽取 用简单随机抽 样抽取起始号 码 总体中 的个体 数较多 分层抽样 抽样过 程 中每 个个 体 被抽取 的概率 相等 将总体分成几 层 按比例分 层抽取 用简单随机抽 样或系统抽样 对各层抽样 总体由 差异明 显的几 部分 组 成 例 3 某高级中学有学生 270 人 其中一年级 108 人 二 三年级各 81 人 现要利用 抽样方法抽取 10 人参加某项调查 考虑选用简单随机抽样 分层抽样和系统抽样三种方案 使用简单随机抽样和分层抽样时 将学生按一 二 三年级依次统一编号为 1 2 270 使用系统抽样时 将学生统一随机编号 1 2 270 并将整个编号依次 分为 10 段 如果抽得号码有下列四种情况 7 34 61 88 115 142 169 196 223 250 5 9 100 107 111 121 180 195 200 265 11 38 65 92 119 146 173 200 227 254 30 57 84 111 138 165 192 219 246 270 关于上述样本的下列结论中 正确的是 A 都不能为系统抽样 B 都不能为分层抽样 C 都可能为系统抽样 D 都可能为分层抽样 答案 D 解析 如果按分层抽样时 在一年级抽取 108 4 人 在二 三年级各抽取 10 270 81 3 人 则在号码段 1 2 108 抽取 4 个号码 在号码段 109 110 189 10 270 抽取 3 个号码 在号码段 190 191 270 抽取 3 个号码 符合 所以 可能 是分层抽样 不符合 所以 不可能是分层抽样 如果按系统抽样时 抽取出的号码应 该是 等距 的 符合 不符合 所以 都可能为系统抽样 都不能为系 统抽样 反思与感悟 根据样本的号码判断抽样方法时 要紧扣三类抽样方法的特征 利用简 单随机抽样抽取的样本号码没有规律性 利用分层抽样抽取的样本号码有规律性 即在每 一层抽取的号码个数 m 等于该层所含个体数目与抽样比的积 并且应该恰有 m 个号码在该 层的号码段内 利用系统抽样取出的样本号码也有规律性 其号码按从小到大的顺序排列 则所抽取的号码是 l l k l 2k l n 1 k 其中 l 为第一个样本号码 l k n 为样本容量 n 1 2 3 l 是第一组中的号码 k 为分段间隔 总体容量 样本容量 跟踪训练 3 一个总体中的 80 个个体编号为 0 1 2 79 并依次将其分为 8 个组 组号为 0 1 7 要用下述抽样方法抽取一个容量为 8 的样本 即在第 0 组先随机抽取 一个号码 i 则第 k 组抽取的号码为 10k j 其中 j Error 若先在 0 组抽取的号码为 6 则所抽到的 8 个号码依次为 答案 6 17 28 39 40 51 62 73 解析 因为 i 6 第 1 组抽取号码为 10 1 6 1 17 第 2 组抽取号码为 10 2 6 2 28 第 3 组抽取号码为 10 3 6 3 39 第 4 组抽取号码为 10 4 6 4 10 40 第 5 组抽取号码为 10 5 6 5 10 51 第 6 组抽取号码为 10 6 6 6 10 62 第 7 组抽取号码为 10 7 6 7 10 73 五 课堂检测 1 为了解某地区中小学生的视力情况 拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调 查 事先已经了解到该地区小学 初中 高中三个学段学生的视力情况有较大差异 而男 女生视力情况差异不大 在下面的抽样方法中 最合理的抽样方法是 A 简单的随机抽样 B 按性别分层抽样 C 按学段分层抽样 D 系统抽样 答案 C 解析 结合三种抽样的特点及抽样要求求解 由于三个学段学生的视力情况差别较大 故需按学段分层抽样 2 某单位有职工 750 人 其中青年职工 350 人 中年职工 250 人 老年职工 150 人 为了了解该单位职工的健康情况 用分层抽样的方法从中抽取样本 若样本中的青年职工 为 7 人 则样本容量为 A 7 B 15 C 25 D 35 答案 B 解析 青年职工 中年职工 老年职工三层之比为 7 5 3 所以样本容量为 7 15 7 15 3 简单随机抽样 系统抽样 分层抽样三者的共同特点是 A 将总体分成几部分 按预先设定的规则在各部分抽取 B 抽样过程中每个个体被抽到的机会均等 C 将总体分成几层 然后分层按照比例抽取 D 没有共同点 答案 B 4 一支田径队有男运动员 48 人 女运动员 36 人 若用分层抽样的方法从该队的全体 运动员中抽取一个容量为 21 的样本 则抽取男运动员的人数为 答案 12 解析 设抽取男运动员人数为 n 则 解之得 n 12 n 48 21 48 36 六 课堂总结 1 分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法 进行分层抽样时应 注意以下几点 分层抽样中分多少层 如何分层要视具体情况而定 总的原则是 层内样本的差异 要小 各层之间的样本差异要大 且互不重叠 为了保证每个个体等可能入样 所有层应采用同一抽样比等可能抽样 在每层抽样时 应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样 2 分层抽样的优点是 使样本具有较强的代表性 并且抽样过程中可