高考复习之概率统计(理科)

1 年高考复习之概率统计 理科 年高考复习之概率统计 理科 热点一 分布列 数学期望和方差热点一 分布列 数学期望和方差 1 分布列 x1x2 xi PP1P2 Pi 2 分布列的两个性质 Pi 0 i 1 2 P1 P2 1 3 数学期望 一般地 若离散型随机变量 的概率分布为 x1x2 xn Pp1p2 pn 则称 为 的数学期望 简称期望 E 11p x 22p x nnp x 性质性质 baEbaE 4 方差 D 1 2 1 pEx 2 2 2 pEx nn pEx 2 称为随机变量 的均方差 简称为方差 式中的是随机变量 的期望 E 性质 性质 1 2 DabaD 2 22 EED 5 二项分布 B n p 并记 b k n p knkk n qpC 01 k n P n n qpC 00111 n n qpC knkk n qpC 0 qpC nn n E np np 1 p 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 D 例 1 袋中有 20 个大小相同的球 其中记上 0 号的有 10 个 记上号的有个nn 1 2 3 4 现从袋中任取一球 表示所取球的标号 n 求的分布列 期望和方差 若 试求 a b 的值 ab 1E 11D 小结 求期望和方差的步骤 S1 确定随机变量的允许值 S2 计算相应的概率 S3 写出分布 列 S4 代入期望和方差公式求解 练习 1 甲 乙 丙三人参加了一家公司的招聘面试 面试合格者可正式签约 甲表示只要面 试合格就签约 乙 丙则约定 两人面试都合格就一同签约 否则两人都不签约 设每人面试 合格的概率都是 且面试是否合格互不影响 求 1 2 至少有 1 人面试合格的概率 签约人数的分布列和数学期望 2 2 某射击测试规则为 每人最多射击 3 次 击中目标即终止射击 第 次击中目标得i1 i 分 3 次均未击中目标得 0 分 已知某射手每次击中目标的概率为 0 8 其各次 12 3 i 射击结果互不影响 求该射手恰好射击两次的概率 该射手的得分记为 求随机变量的分布列及数学期望 3 某批发市场对某种商品的周销售量 单位 吨 进行统计 最近 100 周的统计结果如 下表所示 周销售量234 频数205030 根据上面统计结果 求周销售量分别为 2 吨 3 吨和 4 吨的频率 已知每吨该商品的销售利润为 2 千元 表示该种商品两周销售利润的和 单位 千元 若以上述频率作为概率 且各周的销售量相互独立 求的分布列和数学期望 几种常见题型的解法几种常见题型的解法 一 从分类问题角度求概率 例 2 日本高考题 袋内有 9 个白球和 3 个红球 从袋中任意地顺次取出三个球 取 出的球不再放回 求第三次取出的球是白球的概率 二 从不等式大小比较的角度看概率 例 3 幸运 52 知识竞猜电视节目 为每位选手准备 5 道试题 每道题设 Yes 与 No 两个选项 其中只有一个是正确的 选手每答对一题 获得一个商标 假设甲 乙 两位选手仅凭猜测独立答题 是否有 99 的把握断定甲 乙两位选手中至少有一位获得 1 个或 1 个以上的商标 三 从 至多 至少 的角度看概率 例 4 有三种产品 合格率分别是 0 90 0 95 和 0 95 各取一件进行检验 I 求恰 有一件不合格的概率 II 求至少有两件不合格的概率 精确到 0 001 四 从 或 且 的角度看概率 例 5 甲乙两人独立解某一道数学题 已知该题被甲独立解出的概率为 0 6 被甲或被 乙解出的概率为 0 92 1 求该题被乙独立解出的概率 2 求解出该题的人数的数学期望和方差 3 相关练习相关练习 1 山东卷 7 在某地的奥运火炬传递活动中 有编号为 1 2 3 18 的 18 名火炬手 若 从中任选 3 人 则选出的火炬手的编号能组成 3 为公差的等差数列的概率为 A B C D 51 1 68 1 306 1 408 1 2 福建卷 5 某一批花生种子 如果每 1 粒发牙的概率为 那么播下 4 粒种子恰有 2 粒 4 5 发芽的概率是 A B C D 16 625 96 625 192 625 256 625 3 辽宁卷 7 4 张卡片上分别写有数字 1 2 3 4 从这 4 张卡片中随机抽取 2 张 则 取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为 A B C D 1 3 1 2 2 3 3 4 4 甲 乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球 命中率分别为与 且乙投球 2 2 1 p 次均未命中的概率为 16 1 求乙投球的命中率 p 求甲投球 2 次 至少命中 1 次的概率 若甲 乙两人各投球 2 次 求两人共命中 2 次的概率 5 某单位 6 个员工借助互联网开展工作 每个员工上网的概率都是 0 5 相互独立 1 求至少 3 人同时上网的概率 2 至少几人同时上网的概率小于 0 3 6 甲 乙二人参加普法知识竞答 共有 10 个不同的题目 其中选择题 6 个 判断题 4 个 甲 乙二人依次各抽一题 I 甲抽到选择题 乙抽到判断题的概率是多少 II 甲 乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少 关于统计问题关于统计问题 1 天津卷 11 一个单位共有职工 200 人 其中不超过 45 岁的有 120 人 超过 45 岁的有 80 人 为了调查职工的健康状况 用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为 25 的 样本 应抽取超过 45 岁的职工 人 2 某公司生产三种型号的轿车 产量分别为 1200 辆 6000 辆和 2000 辆 为检验该公 司的产品质量 现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验 这三种型号的轿车依次应抽 取 辆 3 甲 乙两种冬小麦试验品种连续 5 年的平均单位面积产量如下 单位 t hm2 4 0 0005 3000 3500 0 0003 0 0004 20001500 0 0002 0 0001 400025001000 元 元 元 元元 元 元 元 元 元 其中产量比较稳定的小麦品种是 4 一个工厂在若干个车间 今采用分层抽样方法从全厂某天的 2048 件产品中抽取一个容量 为 128 的样本进行质量检查 若一车间这一天生产 256 件产品 则从该车间抽取的产品件 数为 5 江苏卷 江苏卷 某人 5 次上班途中所花的时间 单位 分钟 分别为 x y 10 11 9 已知 这组数据的平均数为 10 方差为 2 则 x y 的值为 A 1 B 2 C 3 D 4 6 四川卷 四川卷 甲校有名学生 乙校有名学生 丙校有名学生 为统计三360054001800 校学生某方面的情况 计划采用分层抽样法 抽取一个容量为人的样本 应在这三校90 分别抽取学生 A 人 人 人 B 人 人 人 303030304515 C 人 人 人 D 人 人 人 203010305010 7 重庆卷重庆卷 为了了解某地区高三学生的身体发育情况 抽查了该地区 100 名年龄为 17 5 岁 岁的男生体重 kg 得到频率分布直方图如下 根据上图可得这 100 名学生中体重在 56 5 64 5 的学生人数是 A 20 B 30 C 40 D 50 8 重庆卷重庆卷 某地区有 300 家商店 其中大型商店有 30 家 中型商店有 75 家 小型商店 有 195 家 为了掌握各商店的营业情况 要从中抽取一个容量为 20 的样本 若采用分层抽 样的方法 抽取的中型商店数是 A 2 B 3 C 5 D 13 9 全国 全国 II 一个社会调查机构就某地居民 的月收入调查了 10 000 人 并根据所得数据画了 样本的频率分布直方图 如右图 为了分析居 民的收入与年龄 学历 职业等方面的关系 要 从这 10 000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作 进一步调查 则在 2500 3000 元 月收入 段应抽出 人 1010 山东卷 山东卷 某学校共有师生 2400 人 现用分层抽样的方法 从所有师生中抽取一个容 量为 160 的样本 已知从学生中抽取的人数为 150 那么该学校的教师人数是 5 0909 年高考复习之概率统计 答案 年高考复习之概率统计 答案 热点一 分布列 数学期望和方差热点一 分布列 数学期望和方差 1 分布列 x1x2 xi PP1P2 Pi 2 分布列的两个性质 Pi 0 i 1 2 P1 P2 1 3 数学期望 一般地 若离散型随机变量 的概率分布为 x1x2 xn Pp1p2 pn 则称 为 的数学期望 简称期望 E 11p x 22p x nnp x 性质性质 baEbaE 4 方差 D 1 2 1 pEx 2 2 2 pEx nn pEx 2 称为随机变量 的均方差 简称为方差 式中的是随机变量 的期望 E 性质 性质 1 2 DabaD 2 22 EED 5 二项分布 B n p 并记 b k n p knkk n qpC 01 k n P n n qpC 00111 n n qpC knkk n qpC 0 qpC nn n E np np 1 p 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 D 例 1 袋中有 20 个大小相同的球 其中记上 0 号的有 10 个 记上号的有个nn 1 2 3 4 现从袋中任取一球 表示所取球的标号 n 求的分布列 期望和方差 若 试求 a b 的值 ab 1E 11D 解 本小题主要考查概率 随机变量的分布列 期望和方差等概念 以及基本的运算能力 满分 12 分 解 的分布列为 01234 P 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 6 11131 012341 5 22010205 E 22222 11131 0 1 5 1 1 5 2 1 5 3 1 5 4 1 5 2 75 22010205 由 得 a2 2 75 11 即又所以Da D 2 2 a EaEb 当 a 2 时 由 1 2 1 5 b 得 b 2 当 a 2 时 由 1 2 1 5 b 得 b 4 或即为所求 2 2 a b 2 4 a b 小结 求期望和方差的步骤 S1 确定随机变量的允许值 S2 计算相应的概率 S3 写出分布 列 S4 代入期望和方差公式求解 练习 1 甲 乙 丙三人参加了一家公司的招聘面试 面试合格者可正式签约 甲表示只要面 试合格就签约 乙 丙则约定 两人面试都合格就一同签约 否则两人都不签约 设每人面试 合格的概率都是 且面试是否合格互不影响 求 1 2 至少有 1 人面试合格的概率 签约人数的分布列和数学期望 解 用 A B C 分别表示事件甲 乙 丙面试合格 由题意知 A B C 相互独立 且 P A P B P C 1 2 至少有 1 人面试合格的概率是 3 17 1 1 1 28 P ABCP A P B P C 的可能取值为 0 1 2 3 0 PP ABCP ABCP ABC P A P B P CP A P B P CP A P B P C 323 1113 2228 1 PP ABCP ABCP ABC P A P B P CP A P B P CP A P B P C 7 333 1113 2228 1 2 8 PP ABCP A P B P C 1 3 8 PP ABCP A P B P C 所以 的分布列是 0123 P 3 8 3 8 1 8 1 8 的期望 3311 01231 8888 E 2 某射击测试规则为 每人最多射击 3 次 击中目标即终止射击 第 次击中目标得i1 i 分 3 次均未击中目标得 0 分 已知某射手每次击中目标的概率为 0 8 其各次 12 3 i 射击结果互不影响 求该射手恰好射击两次的概率 该射手的得分记为 求随机变量的分布列及数学期望 解 设该射手第 次击中目标的事件为 则 i 12 3 i A i 0 8 0 2 ii P AP A 0 2 0 80 16 iiii P A AP A P A 可能取的值为 0 1 2 3 的分布列为 0 0 008 1 0 0322 0 163 0 82 752E 3 某批发市场对某种商品的周销售量 单位 吨 进行统计 最近 100 周的统计结果如 下表所示 周销售量234 频数205030 根据上面统计结果 求周销售量分别为 2 吨 3 吨和 4 吨的频率 0123 P0 0080 0320 160 8 8 已知每吨该商品的销售利润为 2 千元 表示该种商品两周销售利润的和 单位 千元 若以上述频率作为概率 且各周的销售量相互独立 求的分布列和数学期望 解 周销售量为 2 吨 3 吨和 4 吨的频率分别为 0 2 0 5 和 0 3 的可能值为 8 10 12 14 16 且 P 8 0 22 0 04 P 10 2 0 2 0 5 0 2 P 12 0 52 2 0 2 0 3 0 37 P 14 2 0 5 0 3 0 3 P 16 0 32 0 09 的分布列为 810121416 P0 040 20 370 30 09 8 0 04 10 0 2 12 0 37 14 0 3 16 0 09 12 4 千元 E 几种常见题型的解法几种常见题型的解法 一 从分类问题角度求概率 例 2 日本高考题 袋内有 9 个白球和 3 个红球 从袋中任意地顺次取出三个球 取 出的球不再放回 求第三次取出的球是白球的概率 解 设 A1 三次都是白球 则 P A1 789 3 12 A A2 一 三次白球 第二次红球 则 P A2 839 3 12 A A3 第一次红球 二 三次为白球 则 P A3 3 12 893 A A4 一 二次红球 第三次白球 则 9 P A4 923 3 12 A 而 A1 A2 A3 A4互斥 又记 A 第三次取出的球是白球 则 P A P A1 P A2 P A3 P A4 4 3 说明 本题中关键是学会分解事件 A 再由互斥事件和的概率 得出结论 主要以 号连接 另外本题也可由 P 得出 请读者琢磨 4 3 101112 9 1011 二 从不等式大小比较的角度看概率 例 3 幸运 52 知识竞猜电视节目 为每位选手准备 5 道试题 每道题设 Yes 与 No 两个选项 其中只有一个是正确的 选手每答对一题 获得一个商标 假设甲 乙 两位选手仅凭猜测独立答题 是否有 99 的把握断定甲 乙两位选手中至少有一位获得 1 个或 1 个以上的商标 解 设甲没有获得商标的事件为 A 乙没有获得商标的事件为 B 则 P A 2 1 50 5 C P B 50 5 2 1 C 甲 乙没有获得商标的事件为 C 则 P C P A B P A P B 又设甲 乙两选手中至少有一位获得 1 个或 1 个以上的商标的事件为 D P D 1 P C 1 99 0 1000 999 1023 1022 1024 1023 1024 1 1 2 1 2 1 50 5 50 5 CC 故有 99 的把握作出如此断定 说明 本题中关键要熟悉事件 D 对立事件是 C 则 P D 1 P C 主要以 号 连接 本题也可由 1 进行比较 100 1 1 1024 1 三 从 至多 至少 的角度看概率 例 4 有三种产品 合格率分别是 0 90 0 95 和 0 95 各取一件进行检验 I 求恰 有一件不合格的概率 II 求至少有两件不合格的概率 精确到 0 001 解 设三种产品各抽取一件是合格产品的事件分别为 A B C I P A 0 90 P B P C 0 95 05 0 10 0 CPBPAP 因为 A B C 相互独立 恰有一件不合格的概率为 10 176 0 CPBPAPCPBPAPCPBPAPBCAPCBAPCABP II 至少有两件不合格的概率 012 0 CBAPCBAPCBAPCBAP 答 略 说明 本题重点考查相互独立事件积的概率 主要以 连接 P A P B P C 以及 P P P 另外 II 也可由 P 1 P A B C 0 176 1 A B C P A P B P C 0 176 得出 四 从 或 且 的角度看概率 例 5 甲乙两人独立解某一道数学题 已知该题被甲独立解出的概率为 0 6 被甲或被 乙解出的概率为 0 92 1 求该题被乙独立解出的概率 2 求解出该题的人数的数学期望和方差 解 1 记甲 乙分别解出此题的事件记为 A B 设甲独立解出此题的概率为 P1 乙为 P2 则 P A P1 0 6 P B P2 P A B 1 P BA 92 0 1 1 1 212121 PPPPPP 0 6 P2 0 6P2 0 92 则 0 4P2 0 32 即 P2 0 8 5 分 2 08 0 2 04 0 0 BPAPP 44 0 8 04 02 06 0 1 BPAPBPAPP 48 0 8 06 0 2 BPAPP 的概率分布列 012 P0 080 440 48 E 0 0 08 1 0 44 2 0 48 1 4 D 0 1 4 2 0 08 1 1 4 2 0 44 2 1 4 2 0 48 0 4 或利用 D E 2 E 2 2 36 1 96 0 4 另外如将此题中的 或 改为 且 处理方法怎样 请同学思考 相关练习相关练习 1 山东卷 7 在某地的奥运火炬传递活动中 有编号为 1 2 3 18 的 18 名火炬手 若 从中任选 3 人 则选出的火炬手的编号能组成 3 为公差的等差数列的概率为 B 11 A B C D 51 1 68 1 306 1 408 1 2 福建卷 5 某一批花生种子 如果每 1 粒发牙的概率为 那么播下 4 粒种子恰有 2 粒 4 5 发芽的概率是 B A B C D 16 625 96 625 192 625 256 625 3 辽宁卷 7 4 张卡片上分别写有数字 1 2 3 4 从这 4 张卡片中随机抽取 2 张 则 取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为 C A B C D 1 3 1 2 2 3 3 4 4 甲 乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球 命中率分别为与 且乙投球 2 2 1 p 次均未命中的概率为 16 1 求乙投球的命中率 p 求甲投球 2 次 至少命中 1 次的概率 若甲 乙两人各投球 2 次 求两人共命中 2 次的概率 解 本小题主要考查随机事件 互斥事件 相互独立事件等概率的基础知识 考查运用概 率知识解决实际问题的能力 满分 12 分 解法一 设 甲投球一次命中 为事件 A 乙投球一次命中 为事件 B 由题意得 16 1 11 22 pBP 解得或 舍去 所以乙投球的命中率为 4 3 p 4 5 4 3 解法二 设设 甲投球一次命中 为事件 A 乙投球一次命中 为事件 B 由题意得 于是或 舍去 1 16 P B P B 1 4 P B 1 4 P B 故 3 1 4 pP B 所以乙投球的命中率为 3 4 解法一 由题设和 知 2 1 2 1 APAP 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 4 3 1 AAP 解法二 由题设和 知 2 1 2 1 APAP 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 4 3 1 2 APAPAPAPC 12 由题设和 知 4 1 4 3 2 1 2 1 BPBPAPAP 甲 乙两人各投球 2 次 共命中 2 次有三种情况 甲 乙两人各中一次 甲中两次 乙两 次均不中 甲两次均不中 乙中 2 次 概率分别为 16 3 1 2 1 2 BPBPCAPAPC 64 1 BBPAAP 64 9 BBPAAP 所以甲 乙两人各投两次 共命中 2 次的概率为 32 11 64 9 64 1 16 3 5 某单位 6 个员工借助互联网开展工作 每个员工上网的概率都是 0 5 相互独立 1 求至少 3 人同时上网的概率 2 至少几人同时上网的概率小于 0 3 解 1 至少 3 人同时上网的概率等于 1 减去至多 2 人同时上网的概率 即 2 至少 4 人同时上网的概率为 至少 5 人同时上网的概率为 因此 至少 5 人同时上网的概率小于 6 甲 乙二人参加普法知识竞答 共有 10 个不同的题目 其中选择题 6 个 判断题 4 个 甲 乙二人依次各抽一题 I 甲抽到选择题 乙抽到判断题的概率是多少 II 甲 乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少 解解 I 甲从选择题中抽到一题的可能结果有个 乙依次从判断题中抽到一题的可 1 6 C 能结果有个 故甲抽到选择题 乙依次抽到判断题的可能结果有个 又甲 乙依 1 4 C 1 6 C 1 4 C 次抽一题的可能结果有概率为个 所以甲抽到选择题 乙依次抽到判断题的概率为 1 10 C 1 9 C 所求概率为 15 4 1 9 1 10 1 4 1 6 CC CC 15 4 II 甲 乙二人依次都抽到判断题的概率为 故甲 乙二人中至少有一人抽到选 1 9 1 10 1 3 1 4 CC CC 择题的概率为 所求概率为 15 13 1 1 9 1 10 1 3 1 4 CC CC 15 13 13 或 所求概率为 1 9 1 10 1 5 1 6 CC CC 1 9 1 10 1 4 1 6 CC CC 1 9 1 10 1 6 1 4 CC CC 15 13 15 4 15 4 3 1 15 13 关于统计问题关于统计问题 1 天津卷 11 一个单位共有职工 200 人 其中不超过 45 岁的有 120 人 超过 45 岁的有 80 人 为了调查职工的健康状况 用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为 25 的 样本 应抽取超过 45 岁的职工 人 10 2 某公司生产三种型号的轿车 产量分别为 1200 辆 6000 辆和 2000 辆 为检验该公 司的产品质量 现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验 这三种型号的轿车依次应抽 取 6 30 10 辆 3 甲 乙两种冬小麦试验品种连续 5 年的平均单位面积产量如下 单位 t hm2 其中产量比较稳定的小麦品种是 甲种 4 一个工厂在若干个车间 今采用分层抽样方法从全厂某天的 2048 件产品中抽取一个容量 为 128 的样本进行质量检查 若一车间这一天生产 256 件产品 则从该车间抽取的产品件 数为 16 5 江苏卷 江苏卷 某人 5 次上班途中所花的时间 单位 分钟 分别为 x y 10 11 9 已知 这组数据的平均数为 10 方差为 2 则 x y 的值为 A 1 B 2 C 3 D 4 思路 本题考查统计的基本知识 样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法 正确解答 由题意可得 x y 20 x 10 2 y 10 2 8 解这个方程组需要用一些技巧 因 为不要直接求出 x y 只要求出 设 x 10 t y 10 t 选 Dyx 24xyt 6 四川卷 四川卷 甲校有名学生 乙校有名学生 丙校有名学生 为统计三360054001800 校学生某方面的情况 计划采用分