2012届高考数学第一轮复习强化训练 6.2《平面向量的基本定理及坐标运算》新人教版必修4

用心 爱心 专心 1 6 26 2 平面向量的基本定理及坐标运算平面向量的基本定理及坐标运算 考纲要求考纲要求 1 1 了解平面向量的基本定理及其意义 了解平面向量的基本定理及其意义 2 2 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 3 3 会用坐标表示平面向量的加法 减法与数乘运算 会用坐标表示平面向量的加法 减法与数乘运算 4 4 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 基础知识基础知识 1 1 平面向量基本定理 平面向量基本定理 如果如果是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任一向量 有且只是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任一向量 有且只 12 e e 有一对实数有一对实数 使得 使得 不共线的向量 不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量叫做表示这一平面内所有向量 12 1 122 aee 12 e e 的一组基底 的一组基底 2 2 平面向量的坐标表示 平面向量的坐标表示 在直角坐标系中 分别取与在直角坐标系中 分别取与轴 轴 轴方向相同的两个单位向量轴方向相同的两个单位向量作为基底 由平面作为基底 由平面xy i j 向量的基本定理知 该平面内的任意一个向量向量的基本定理知 该平面内的任意一个向量可表示成可表示成 由于 由于与数对与数对a axiy j a 是一一对应的 因此把是一一对应的 因此把叫做向量叫做向量的坐标 记作的坐标 记作 其中 其中叫作叫作在在 x y x ya ax y xa 轴上的坐标 轴上的坐标 叫作叫作在在轴上的坐标 规定 轴上的坐标 规定 xya y 1 1 相等的向量坐标相同 坐标相同的向量是相等的向量 相等的向量坐标相同 坐标相同的向量是相等的向量 2 2 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点 终点的具体位置无关 只与其相对 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点 终点的具体位置无关 只与其相对 位位 置有关系 置有关系 3 3 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 1 1 设设 则 则 a 11 x yb 22 xyab 1212 xxyy 2 2 设设 则 则 a 11 x yb 22 xyab 1212 xxyy 3 3 设设 则则 A 11 x yB 22 xy 2121 ABOBOAxx yy 4 4 设设 则 则 a x yR a xy 5 5 设设 则 则 斜乘相减等于零 斜乘相减等于零 a 11 x yb 22 xyab 1221 0 x yx y 6 6 设 设 则则a x y 22 axy 4 4 两个向量平行 共线 的充要条件 两个向量平行 共线 的充要条件 1 1 如果 如果 则 则的充要条件是有且只有一个实数的充要条件是有且只有一个实数 使得 使得 没有坐标背 没有坐标背0a a b A ba 景 景 2 2 如果 如果 则 则 的充要条件是的充要条件是 坐标背景坐标背景 a 11 x yb 22 xyab 1221 0 x yx y 5 5 三点共线的充要条件 三点共线的充要条件 1 1 三点共线的充要条件是三点共线的充要条件是 A B CABBC 2 2 设设不共线 点不共线 点三点共线的充要条件是三点共线的充要条件是 OA OB P A B 特别地 当特别地 当时 时 是是中点 中点 1 OPOAOBR 1 2 PAB 6 6 温馨提示 温馨提示 用心 爱心 专心 2 1 1 向量的坐标表示体现了数形结合的紧密关系 从而可用 向量的坐标表示体现了数形结合的紧密关系 从而可用 数数 来证明来证明 形形 的问题 的问题 因此解题过程中应注意使用数形结合的思想方法 因此解题过程中应注意使用数形结合的思想方法 2 2 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点 终点的具体位置无关 只与其相对 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点 终点的具体位置无关 只与其相对 位置有关 位置有关 例题精讲例题精讲 例例 1 1 如图所示 已知如图所示 已知 中中 M M N N是是ABAB CDCD的中点 的中点 D D是是 BCBC的中点 的中点 MNMN与与ADAD交于交于F F 求 求 解 解 又又 D D是是 的中点 的中点 又又 M M N N分别为分别为ABAB ACAC的中点 的中点 F F为为ADAD的中点 的中点 例例 2 2 已知已知 当 当k k为何值时 为何值时 与与 平行 平地时它们平行 平地时它们 是同向还是反向 是同向还是反向 解 解 与与 平行等价于平行等价于 解得 解得 故故 时 时 与与 平行平行 此时此时 所以 所以 与与 反向 反向 用心 爱心 专心 3 6 26 2 平面向量的基本定理及坐标运算平面向量的基本定理及坐标运算 基础精练基础精练 1 1 已知向量 已知向量 3 3 2 2 5 5 1 1 则向量 则向量的坐标是 的坐标是 O OA A O OB B 1 1 2 2A AB B A A 4 4 B B 4 4 1 1 2 2 1 1 2 2 C C 8 1 8 1 D D 8 1 8 1 2 2 已知 已知M M 3 3 2 2 N N 5 5 1 1 且且 则 则P P点的坐标为点的坐标为 M MP P 1 1 2 2M MN N A A 8 1 8 1 B B 1 1 3 3 2 2 C C 1 1 D D 8 8 1 1 3 3 2 2 3 3 已知四边形 已知四边形ABCDABCD的三个顶点的三个顶点A A 0 2 0 2 B B 1 1 2 2 C C 3 1 3 1 且 且 2 2 则顶点 则顶点D D B BC C A AD D 的坐标为的坐标为 A A 2 2 B B 2 2 7 7 2 2 1 1 2 2 C C 3 2 3 2 D D 1 3 1 3 4 4 已知向量 已知向量a a 1 1 sinsin 1 1 b b 1 1 sinsin 且 且a a b b 则锐角 则锐角 等于 等于 1 1 2 2 A A 30 30 B B 45 45 C C 60 60 D D 75 75 5 5 设 设 1 1 2 2 a a 1 1 b b 0 0 a a 0 0 b b 0 0 O O为坐标原点 若为坐标原点 若 O OA A O OB B O OC C A A B B C C三点共线 则三点共线 则 的最小值是的最小值是 1 1 a a 2 2 b b A A 2 2 B B 4 4 C C 6 6 D D 8 8 6 6 直角坐标系 直角坐标系xOyxOy中 中 2 1 2 1 3 3 k k 若三角形 若三角形ABCABC是直角三角形 则是直角三角形 则k k的的 A AB B A AC C 可能值个数是可能值个数是 A A 1 1 B B 2 2 C C 3 3 D D 4 4 7 7 l l1 1 l l2 2是不共线向量 且是不共线向量 且a a l l1 1 3 3l l2 2 b b 4 4l l1 1 2 2l l2 2 c c 3 3l l1 1 1212l l2 2 若 若b b c c为为 一组基底 则一组基底 则a a 8 8 已知向量 已知向量a a 3 1 3 1 b b 1 3 1 3 c c k k 7 7 若 若 a a c c b b 则 则k k 9 9 若向量 若向量a a 1 2 1 2 b b x x 1 1 u u a a 2 2b b v v 2 2a a b b且且u u v v 则 则x x 1010 已知向量 已知向量a a 1 1 1 1 b b 1 1 1 1 c c coscos sinsin R R 实数 实数m m n n满满 2 22 2 足足mama nbnb c c 则 则 m m 3 3 2 2 n n2 2的最大值为的最大值为 用心 爱心 专心 4 1111 15 15 分分 设设i i j j分别是平面直角坐标系分别是平面直角坐标系OxOx OyOy正方向上的单位向量 且正方向上的单位向量 且 2 2i i mjmj nini j j 5 5i i j j 若点 若点A A B B C C在同一条直线上 且在同一条直线上 且m m 2 2n n 求实数 求实数 O OA A O OB B O OC C m m n n的值 的值 1212 15 15 分分 已知向量已知向量 3 3 4 4 6 6 3 3 5 5 m m 3 3 m m O OA A O OB B O OC C 1 1 若点若点A A B B C C能够成三角形 求实数能够成三角形 求实数m m应满足的条件 应满足的条件 2 2 若点若点A A B B C C构成以构成以 A A为直角的直角三角形 求为直角的直角三角形 求m m的值 的值 拓展提高拓展提高 1 1 设向量 设向量a a 4cos 4cos sinsin b b sin sin 4cos4cos c c cos cos 4sin4sin 1 1 若若a a与与b b 2 2c c垂直 求垂直 求 tan tan 的值 的值 2 2 求求 b b c c 的最大值 的最大值 3 3 若若 tantan tantan 1616 求证 求证 a a b b 基础精练参考答案基础精练参考答案 3 A 3 A 解析解析 设设D D x x y y 4 3 4 3 x x y y 2 2 且 且 2 2 B BC C A AD D B BC C A AD D Error Error 解得解得Error Error 4 B 4 B 解析解析 由由a a b b可得可得 1 1 sinsin 1 1 sinsin 0 0 即 即 coscos 而 而 是锐角 是锐角 1 1 2 2 2 2 2 2 故故 45 45 用心 爱心 专心 5 5 D 5 D 解析解析 k kAB AB k kAC AC 1 1 2 2 a a 1 1 2 2 b b 1 1 A A B B C C三点共线 三点共线 k kAB AB k kAC AC 即 即 1 1 2 2 a a 1 1 2 2 b b 1 1 2 2a a b b 1 1 1 1 a a 2 2 b b 2 2a a b b a a 4 4a a 2 2b b b b 4 4 4 4 2 2 8 8 等号成立的条件为等号成立的条件为b b 2 2a a b b a a 4 4a a b b b b a a 4 4a a b b 的最小值是的最小值是 8 8 1 1 a a 2 2 b b 6 B 6 B 解析解析 若若 A A 90 90 则 则 6 6 k k 0 0 k k 6 6 A AB B A AC C 若若 B B 90 90 则 则 0 0 k k 1 1 A AB B B BC C A AB B A AC C A AB B 若若 C C 90 90 则 则 0 0 k k2 2 k k 3 3 0 0 无解 无解 A AC C C CB B A AC C A AB B A AC C 综上 综上 k k可能取 可能取 6 6 1 1 两个数 故选两个数 故选 B B 7 7 b b c c解析 设解析 设a a 1 1b b 2 2c c 即 即 l l1 1 3 3l l2 2 1 1 4 4l l1 1 2 2l l2 2 1 1 1 18 8 7 7 2 27 7 2 2 3 3l l1 1 1212l l2 2 即 即 l l1 1 3 3l l2 2 4 4 1 1 3 3 2 2 l l1 1 2 2 1 1 1212 2 2 l l2 2 Error 解之 得解之 得 1 1 2 2 1 1 1 18 8 7 7 2 27 7 8 5 8 5 解析解析 a a c c 3 3 k k 6 6 b b 1 3 1 3 a a c c b b k k 5 5 3 3 k k 1 1 6 6 3 3 9 9 解析解析 u u 1 2 1 2 2 2 x x 1 1 1 2 1 2 2 2x x 2 2 2 2x x 1 4 1 4 1 1 2 2 v v 2 1 2 2 1 2 x x 1 1 2 4 2 4 x x 1 1 2 2 x x 3 3 由由u u v v 一定存在 一定存在 R R 使 使u u v v 则有则有 2 2x x 1 4 1 4 2 2 x x 3 3 Error 2 2x x 1 1 2 2 x x 解得 解得x x 4 4 3 3 1 1 2 2 也可由下面的方法求得 也可由下面的方法求得 由由u u v v 得 得 2 2x x 1 31 3 4 24 2 x x 0 0 x x 1 1 2 2 10 16 10 16 解析解析 由由mama nbnb c c得得m m 1 1 1 1 n n 1 1 1 1 coscos sinsin Error m m sin sin coscos n n cos cos sinsin 2 22 2 2 2