2011高三数学 附加题速成教材1素材 理

用心 爱心 专心1 20112011 高三理科班数学附加题速成教材高三理科班数学附加题速成教材 1 1 一 基础知识 参数极坐标 1 1 极坐标定义极坐标定义 M 是平面上一点 表示 OMOM 的长度的长度 是 则有序实数实数对 叫极径 MOx 叫极角 一般地 0 2 0 2 2 常见的曲线的极坐标方程常见的曲线的极坐标方程 1 直线过点 M 倾斜角为常见的等量关系 00 正弦定理 sinsin OPOM OMPOPM 0 OMP OPM 2 圆心 P半径为 R 的极坐标方程的等量关系 勾股定理或余弦定理 00 3 圆锥曲线极坐标 当时 方程表示双曲线 当时 方程表示抛物线 当 1cos ep e 1e 1e 时 方程表示椭圆 提醒提醒 极点是焦点 一般不是直角坐标下的坐标原点 01e 极坐标方程表示的曲线是 双曲线 3 24cos 3 3 参数方程 参数方程 1 圆的参数方程 222 xaxbr cos sinxarxbr 2 椭圆的参数方程 22 22 1 xy ab cos sinxaxb 3 直线过点 M 倾斜角为倾斜角为的参数方程 即 00 xy 0 0 tan yy xx 00 cossin xxyy t 即注 据锐角三角函数定义 的几何意义是有向线段几何意义是有向线段的数的数 0 0 cos sin xxt yyt 0 cos xx t 0 sin yy t tMP 量量 如 如 将参数方程为参数 化为普通方程为 将代入即 2 2 2sin sin x y 2 23 yxx 2 siny 2 2sinx 可 但是 2 0sin1 如 如 直线为参数 被圆截得的弦长为 直线为 1 2 2 1 1 2 xt t yt 22 4xy 10 xy 12 22 d 22 214 2 22 弦长 14 用心 爱心 专心2 4 4 极坐标和直角坐标互化公式 极坐标和直角坐标互化公式 或 的象限由点 x y 所在象限确定 cos sin x y 222 tan 0 xy y x x 1 它们互化的条件则是 极点与原点重合 极轴与 x 轴正半轴重合 2 将点变成直角坐标 也可以根据几何意义和三角函数的定义获得 cos sin 5 极坐标的几个注意点 极坐标的几个注意点 1 极坐标和直角坐标转化的必要条件是具有共同的坐标原点 极点 如如 已知圆的参数方程为 为参数 若是圆与轴正半轴的交点 以圆心C 32cos 2sin x y PCy 为极点 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 求过点的圆的切线的极坐标方程 CxPC 5 cos 2 6 如如 已知抛物线 以焦点 F 为极点 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 求抛物线的极坐标方程 2 4yx x 即 2 1cos 2 对极坐标中的极径和参数方程中的参数的几何意义认识不足 如如 已知椭圆的长轴长为 6 焦距 过椭圆左焦点 F1作一直线 交椭圆于两点 M N 设 12 4 2FF 当 为何值时 MN 与椭圆短轴长相等 21 0 F FM 5 66 或 3 直角坐标和极坐标一般不要混合使用 如如 已知某曲线的极坐标方程为 1 将上述曲线方程化为普通方程 2 2 2 2 sin 20 4 若点是该曲线上任意点 求的取值范围 P x yxy 22 2 22 2 二 基本计算 二 基本计算 1 1 求点的极坐标求点的极坐标 有序实数实数对 叫极径 叫极角 如 点的直角坐标是 则点 M 1 3 的极坐标为 提示 都是点的极坐标 M 2 2 3 2 2 2 3 kkZ M 2 2 求曲线轨迹的方程步骤 求曲线轨迹的方程步骤 1 建立坐标系建立坐标系 2 在曲线上取一点在曲线上取一点 P P 3 写出等式写出等式 4 根据根据几何意义用几何意义用表示上述等式 并化简表示上述等式 并化简 注意 5 验证 如 如 长为的 xy 2a 线段 其端点在轴和轴正方向上滑动 从原点作这条线段的垂线 垂足为 求点的轨迹的OxOyMM 极坐标方程 轴为极轴 再化为直角坐标方程 Ox 解 设设点的极坐标为 则 且 M OBMAOM 2 sinOAa 点的轨迹的极坐标方程为 cos2 sincossin2OAaa M 由可得 其直sin2 0 2 a sin2a 32 2sincosa 3 22 2 2xyaxy 角坐标方程为 3 22 2 2 0 0 xyaxy xy 用心 爱心 专心3 3 3 求轨迹方程的常用方法 求轨迹方程的常用方法 直接法 直接通过建立 之间的关系 构成 是求轨迹最基本的方法 xy 0F x y 待定系数法 可先根据条件设所求曲线的方程 再由条件确定其待定系数 代回方程 代入法 相关点法或转移法 如 如 从极点作圆的弦 求各弦中点的轨迹方程 解 设所求曲线上的动点的极坐标为 圆2 cosa M 上的动点的极坐标为由题设可知 将其代入圆的方程得 2 cosa 11 1 1 2 cos 22 a 定义法 如果能够确定动点轨迹满足某已知曲线定义 则可由曲线定义直接写出方程 交轨法 参数法 当动点坐标之间的关系不易直接找到 也没有相关动点可用时 可考虑 P x y 将 均用一中间变量 参数 表示 得参数方程 再消去参数得普通方程 xy 4 4 参数和极径的几何意义的运用 参数和极径的几何意义的运用 表示 OMOM 的长度 几何意义是有向线段的长度 几何意义是有向线段的数量的数量 MP 如 已知过点的直线 与轴正半轴 轴正半轴分别交于 A B 两点 则 AB 最小值为 提示 9 3 Plxy8 3 设倾斜角为倾斜角为 则 则或 AB 则 9cos 3sin xt yt 12 ABtt 12 tt 12 93 cossin tt 93 cossin l 令 所以 22 9sin3cos cossin l 33 22 9sin3cos cossin 0l 3 3 31 tan 9 3 1 tan 150 3 注意 本题可以取倾斜角的补角为倾斜角的补角为 min 93 150 8 3 cos150sin150 ll 如如 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线 交抛物线于两点 求线段的长度 2 8yx F 4 A BAB 解 对此抛物线有 所以抛物线的极坐标方程为 两点的极坐标分别为和 1 4ep 4 1cos A B 4 5 4 线段的长度为 16 4 1 cos4 4 22 FA 4 1 cos54 4 22 FB 16ABFAFB AB 如如一颗慧星的轨道是抛物线 太阳位于这条抛物线的焦点上 已知这慧星距太阳千米时 极半径和轨 8 1 6 10 道的轴成角 求这颗慧星轨道的极坐标方程 并且求它的近日点离太阳的距离 解 以太阳的位置为极点 3 轨道的轴为极轴 建立极坐标系 设轨道的极坐标方程为 因为时 1cos p 3 8 1 6 10 轨道的极坐标方程为 当时 这颗慧星轨道 8 1 6 102 1cos3 p p 7 8 10p 7 8 10 1cos 7 4 10 的极坐标方程为 它的近日点离太阳的距离为千米 7 8 10 1cos 7 4 10 5 5 参数方程的应用参数方程的应用 求最值 求最值 如如 已知点是圆上的动点 1 求的取值范围 2 若恒成立 求实 P x y 22 2xyy 2xy 0 xya 用心 爱心 专心4 数的取值范围 2 a 51 51 cossin10 xyaa 21 如 在椭圆上找一点 使这一点到直线的距离的最小值 解 设椭圆的参数方程为 22 1 1612 xy 2120 xy 当 即 4cos 2 3sin x y 4cos4 3sin12 5 d 4 54 5 cos3sin32cos 3 553 cos 1 3 时 此时所求点为 5 3 min 4 5 5 d 2 3 典型例题 1 O1和 O2的极坐标方程分别为 4cos4sin 1 把 O1和 O2的极坐标方程化为直角坐标方程 2 求经过 O1 O2交点的直线的直角坐标方程 解解 1 O1的直角坐标方程为 O2的直角坐标方程为 22 40 xyx 22 40 xyy 2 yx 2 求直线被圆截得的弦长 sincos 4 4sin 解解 2 2 3 在极坐标系中 直线 的方程为 求点到直线 的距离 lsin3 2 6 l 解解 2 说明说明 设计极坐标的问题 一般采取首先将极坐标转化为直角坐标 得出结论后再转化为极坐标 4 已知直线 的参数方程 为参数 和圆的极坐标方程 l 12 xt yt tC 4 sin 22 1 将直线 的参数方程化为普通方程 C的极坐标方程化为直角坐标方程 l 2 判断直线 和 C的位置关系 l 解解 1 直线 的普通方程为 C的直角坐标方程为 l12 xy2 1 1 22 xx 2 直线 和 C相交 l 5 已知椭圆的极坐标方程为 点 为其左 右焦点 直线 的参数方程C 2 22 12 3cos4sin 1 F 2 Fl 为 2 2 2 2 2 xt tt yt R为参数 1 求直线l和曲线C的普通方程 2 求点 到直线 的距离之和 1 F 2 Fl 解解 1 直线 普通方程为 曲线的普通方程为 2 l2yx C 22 1 43 xy 2 2 用心 爱心 专心5 6 已知 M 椭圆 a