2011届高三数学模拟考试（一） 理

1 20112011 年高考模拟系列试卷 一 数学试题 理 年高考模拟系列试卷 一 数学试题 理 题 号一二三 得 分 第 卷为选择题 共 60 分 第 卷为非选择题共 90 分 满分 100 分 考试时间为 120 分钟 第 卷 选择题 共 60 分 一 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中只有一个选项是 符合题目要求的 1 已知集合 1 0 01AaBxx 若AB 则实数a的取值范围是 A 0 B 0 1 C 1D 1 2 已知向量 1 1 2 4 2 aab 则向量 a b的夹角的余弦值为 A 3 10 10 B 3 10 10 C 2 2 D 2 2 3 在等差数列 n a中 首项 1 0 a 公差0d 若 1237k aaaaa 则k A 22B 23 C 24D 25 4 若一个圆台的的正视图如图所示 则其侧面积等于 A 6 B 6 C 3 5 D 6 5 5 已知i为虚数单位 a为实数 复数 2i 1 i za 在复平面内对应的点为M 则 a 是 点M在第四象限 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 6 函数cos sin yxx 的最小正周期为 A 4 B 2 C D 2 7 若 1 nx x 展开式中第四项与第六项的系数相等 则展开式中的常数项的值等于 第 4 题 图 2 A 8 B 16 C 80 D 70 8 已知直线22xy 与x轴 y轴分别交于 A B两点 若动点 P a b在线段AB上 则ab的最大值为 A 1 2 B 2 C 3 D 3 1 9 某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程 甲 乙两班 各随机抽取了 5 名学生的学分 用茎叶图表示 如右图 1 s 2 s分别表示甲 乙两班抽取的 5 名学生学分的标 准差 则 1 s 2 s 填 或 A B C D 不能确定 10 若函数 yf xa b 的导函数在区间上的图象关于直线 2 ba x 对称 则函数 yf x 在区间 a b上的图象可能是 A B C D 11 已知函数 2 2 21 0 21 0 xxx f x xxx 则对任意 12 x xR 若 12 0 xx 下列不 等式成立的是 A 12 0f xf x B 12 0f xf x C 12 0f xf x D 12 0f xf x 12 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 与抛物线 2 8yx 有一个公共的焦点F 且两曲 第 9 题图 3 线的一个交点为P 若5PF 则双曲线的渐近线方程为 A 30 xy B 30 xy C 20 xy D 20 xy 第 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 把答案填在题中横线上 13 抛物线xy2 2 与直线4 xy所围成的图形面积是 14 某程序框图如图所示 该程序运行后输出 的S的值是 15 若点P在直线03 1 yxl上 过点P的直线 2 l与 曲线 22 5 16Cxy 只有一个公共点M 则 PM的最小值为 16 以下是面点师一个工作环节的数学模型 如图 在数轴 上截取与闭区间 4 0 对应的线段 对折后 坐标 4所 对应的点与原点重合 再均匀地拉成 4 个单位长度的线 段 这一过程称为一次操作 例如在第一次操作完成后 原来的坐标 1 3 变成 2 原来的坐标 2 变成 4 等等 那么原闭区间 4 0 上 除 两个端点外 的点 在第n次操作完成后 1 n 恰好被拉到与 4 重合的点所对应 的坐标为 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 在ABC 中 已知45A 4 cos 5 B 求cosC的值 若10 BCD 为AB的中点 求CD的长 第 12 题图 2 0 4 4 18 本小题满分 12 分 某班同学利用国庆节进行社会实践 对 25 55 岁的人群随机抽 取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查 若生活习惯符合低碳观念的称 为 低碳族 否则称为 非低碳族 得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方 图 补全频率分布直方图并求n a p的值 从 40 50 岁年龄段的 低碳族 中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体 验活动 其中选取3人作为领队 记选取的3名领队中年龄在 40 45 岁的人数 为X 求X的分布列和期望EX 19 本小题满分 12 分 设数列 n a是首项为 a a 公差为2的等差数列 其前 n项和为 n S 且 123 SSS成等差数列 求数列 n a的通项公式 记 2 n n n a b 的前n项和为 n T 求 n T 20 本小题满分 12 分 如图 已知E F分别是正方形ABCD边BC CD的中点 EF与AC交于点O PA NC都垂直于平面ABCD 且4PAAB 2NC M是线段PA上一动点 求证 平面PAC 平面NEF 若 PC平面MEF 试求 PM MA的值 5 当M是PA中点时 求二面角MEFN 的余弦值 21 本小题满分 12 分 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的离心率为 3 3 e 以原点 为圆心 椭圆短半轴长为半径的圆与直线20 xy 相切 A B分别是椭圆的左右 两个顶点 P为椭圆C上的动点 求椭圆的标准方程 若P与 A B均不重合 设直线PA与PB的斜率分别为 12 k k 证明 12 k k A为 定值 M为过P且垂直于x轴的直线上的点 若 OP OM 求点M的轨迹方程 并说明轨迹是什么曲线 22 本小题满分 14 分 已知三次函数 32 f xaxbxcx a b cR 若函数 f x过点 1 2 且在点 1 1f处的切线方程为20y 求函数 f x的解析式 在 的条件下 若对于区间 3 2 上任意两个自变量的值 12 x x都有 第 20 题图 6 12 f xf xt 求实数t的最小值 当11x 时 1 x f 试求a的最大值 并求a取得最大值时 f x的 表达式 参考答案 一 选择题 1 B 2 C 3 A 4 C 5 A 6 C 7 D 8 A 9 B 10 D 11 D 12 B 二 填空题 13 18 14 1 2 15 4 16 2 2n j 这里j为 1 2 n 中的所有奇数 三 解答题 17 解析 4 cos 5 B 且 0 180 B 2 3 sin1 cos 5 BB 2 分 coscos 180 cos 135 CABB 3 分 2 42 3 cos135 cossin135 sin 2525 BB 2 10 6 分 由 可得 22 27 sin1 cos1 2 1010 CB 8 分 由正弦定理得 sinsin BCAB AC 即 10 7 2 2 10 2 AB 解得14AB 10 分 在BCD 中 7BD 222 4 7102 7 1037 5 CD 7 所以37CD 12 分 18 解析 第二组的频率为1 0 040 040 030 020 01 50 3 所以高为 0 3 0 06 5 频率直方图如下 2 分 第一组的人数为 120 200 0 6 频率为0 04 50 2 所以 200 1000 0 2 n 由题可知 第二组的频率为 0 3 所以第二组的人数为10000 3300 所以 195 0 65 300 p 第四组的频率为0 03 50 15 所以第四组的人数为10000 15150 所以 1500 460a 5 分 因为 40 45 岁年龄段的 低碳族 与 45 50 岁年龄段的 低碳族 的比值为 60 302 1 所以采用分层抽样法抽取 18 人 40 45 岁中有 12 人 45 50 岁 中有 6 人 6 分 随机变量X服从超几何分布 03 126 3 18 5 0 204 C C P X C 12 126 3 18 15 1 68 C C P X C 21 126 3 18 33 2 68 C C P X C 30 126 3 18 55 3 204 C C P X C 10 分 所以随机变量X的分布列为 X0123 P 5 204 15 68 33 68 55 204 12 分 8 数学期望 5153355 01232 2046868204 EX 12 分 19 11 Sa 2121 22Saaa 31231 36Saaaa 2 分 由 123 SSS成等差数列得 213 2 SSS 即 111 2 2236aaa 解得 1 1a 故21 n an 4 分 211 21 222 n n n nn an bn 5 分 法 1 123 1111 1 3 5 21 2222 n n Tn 1 2 得 2341 111111 1 3 5 23 21 222222 nn n Tnn 得 231 111111 2 2 2 21 222222 nn n Tn 1 11 11 1 113121 22 2 21 1 22222 1 2 n n nn n n 10 分 42123 33 222 n nnn nn T 12 分 法 2 1 2111 2222 n n nnnn an bn 设 1 12 n n k k k F 记 1 1 n k k f xkx 则 1 11 1 1 1 1 nn nn kk n kk xxnnx x f xxx xx 1 1 4 2 2 n n Fn 10 分 9 故 1 11 1 1123 22 4 2 13 1 222 1 2 n nn nnn n TFn 12 分 20 解析 法 1 连结BD PA 平面ABCD BD 平面ABCD PABD 又 BDAC ACPAA BD 平面PAC 又 E F分别是BC CD的中点 EFBD EF 平面PAC 又EF 平面NEF 平面PAC 平面NEF 4 分 连结OM PC平面MEF 平面PAC 平面MEFOM PCOM 1 4 PMOC PAAC 故 1 3PM MA 6 分 EF 平面PAC OM 平面PAC EF OM 在等腰三角形NEF中 点O为EF的中点 NOEF MON 为所求二面角MEFN 的平面角 8 分 点M是PA的中点 2AMNC 所以在矩形MNCA中 可求得4 2MNAC 6NO 22MO 10 分 在MON 中 由余弦定理可求得 222 33 cos 233 MOONMN MON MO ON 二面角MEFN 的余弦值为 33 33 12 分 法 2 同法 1 建立如图所示的直角坐标系 则 0 0 4 P 4 4 0 C 4 2 0 E 2 4 0 F 4 4 4 PC 2 2 0 EF 设点M的坐标为 0 0 m 平面MEF的法向量为 nx y z 则 4 2 MEm 10 所以 0 0 n ME n EF 即 420 220 xymz xy 令1x 则1y 6 z m 故 6 1 1 n m PC平面MEF 0PC n 即 24 440 m 解得3m 故3AM 即点M为线段PA上靠近P的四等分点 故 1 3PM MA 8 分 4 4 2 N 则 0 2 2 EN 设平面NEF的法向量为 mx y z 则 0 0 m EN m EF 即 220 220 yz xy 令 1x 则1y 1z 即 1 1 1 m 当M是PA中点时 2m 则 1 1 3 n 1 1 333 cos 33311 m n 二面角MEFN 的余弦值为 33 33 12 分 21 解析 由题意可得圆的方程为 222 xyb 直线20 xy 与圆相切 2 2 db 即2b 1 分 又 3 3 c e a 即3ac 222 abc 解得3a 1c 所以椭圆方程为 22 1 32 xy 3 分 设 000 0 P xyy 3 0 A 3 0 B 则 22 00 1 32 xy 即 22 00 2 2 3 yx 11 则 0 1 0 3 y k x 0 2 0 3 y k x 4 分 即 22 2 00 0 12 222 000 22 2 3 2 33 3333 xx y kk xxx 12 k k A为定值 2 3 6 分 设 M x y 其中 3 3 x 由已知 2 2 2 OP OM 及点P在椭圆C上可得 22 2 2 2222 2 2 6 3 3 xx x xyxy 整理得 2222 31 36xy 其中 3 3 x 7 分 当 3 3 时 化简得 2 6y 所以点M的轨迹方程为6 33 yx 轨迹是两条平行于x轴的线段 8 分 当 3 3 时 方程变形为 22 22 1 66 313 xy 其中 3 3 x 10 分 当 3 0 3 时 点M的轨迹为中心在原点 实轴在y轴上的双曲线满足 33x 的部分 当 3 1 3 时 点M的轨迹为中心在原点 长轴在x轴上的椭圆满足 33x 的部分 当1 时 点M的轨迹为中心在原点 长轴在x轴上的椭圆 12 分 22 解析 函数 f x过点 1 2 1 2fabc 12 又 2 32fxaxbxc 函数 f x点 1 1 f处的切线方程为20y 1 2 1 0 f f 2 320 abc abc 由 和 解得1a 0b 3c 故 3 3f xxx 4 分 由 2 33fxx 令 0fx 解得1x 3 18f 1 2f 1 2f 2