2011年高考数学 压轴题系列训练解析详解(1)

用心 爱心 专心1 20112011 年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解一年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解一 1 12 分 已知抛物线 椭圆和双曲线都经过点 它们在轴上有共同焦点 椭圆和双曲线 1 2Mx 的对称轴是坐标轴 抛物线的顶点为坐标原点 求这三条曲线的方程 已知动直线 过点 交抛物线于两点 是否存在垂直于轴的直线被以为直l 3 0P A Bx l AP 径的圆截得的弦长为定值 若存在 求出的方程 若不存在 说明理由 l 解 设抛物线方程为 2 20ypx p 将代入方程得 1 2M2p 1 分 2 4yx 抛物线方程为 由题意知椭圆 双曲线的焦点为 2 分 2 1 1 0 1 0 FF c 1 对于椭圆 22 2 12 21 121 1422 2aMFMF 4 分 2 2 222 22 12 1232 2 22 2 1 32 222 2 a a bac xy 椭圆方程为 对于双曲线 12 22 22aMFMF 6 分 2 222 22 21 32 2 2 22 1 32 22 22 a a bca xy 双曲线方程为 设的中点为 的方程为 以为直径的圆交于两点 中点为APC l xa AP l D EDEH 令 7 分 11 11 3 22 xy A x y C 2 2 11 1 1 11 3 22 31 23 22 DCAPxy x CHaxa 用心 爱心 专心2 12 分 2 2222 2 111 2 1 2 11 323 44 23 2462 22 2 2 DHDCCHxyxa axaa aDH DEDH lx 当时 为定值 为定值 此时的方程为 2 14 分 已知正项数列中 点在抛物线上 数列中 点 n a 1 6a 1 nnn Aaa 2 1yx n b 在过点 以方向向量为的直线上 nn Bn b 0 1 1 2 求数列的通项公式 nn ab 若 问是否存在 使成立 若存在 求出 n n a f n b n为奇数 n为偶数 kN 274f kf k 值 若不存在 说明理由 k 对任意正整数 不等式成立 求正数的取值范围 n 1 12 0 2111 111 nn n n aa na bbb a 解 将点代入中得 1 nnn Aaa 2 1yx 4 分 11 1 11 1 15 21 21 nnnn n n aaaad aann l yxbn 直线 5 分 5 21 n f n n n为奇数 n为偶数 8 分 27274 2754 21 4 27 35 227145 2 4 kkf kf k kkk kk kkk k 当为偶数时 为奇数 当为奇数时 为偶数 舍去 综上 存在唯一的符合条件 由 1 12 0 2111 111 nn n n aa na bbb 用心 爱心 专心3 12 12 121 1 1111 111 23 1111 111 23 11111 11111 25 1 23123 2424 1 232525 n n nn n a bbbn f n bbbn f n bbbbn f n nnnn f nbnnn 即 记 2 2 min 2523 41616 1 41615 1 144 5 1 3155 4 5 0 15 nn nn nn f nf nf n f nf a 即递增 14 分 3 本小题满分 12 分 将圆 O 上各点的纵坐标变为原来的一半 横坐标不变 4yx 22 得到曲线 C 1 求 C 的方程 2 设 O 为坐标原点 过点的直线 l 与 C 交于 A B 两点 N 为线段 AB 的中点 0 3 F 延长线段 ON 交 C 于点 E 求证 的充要条件是 ON2OE 3 AB 解 1 设点 点 M 的坐标为 由题意可知 2 分 y x P y x y 2y xx 又 4yx 22 1y 4 x 4y4x 2 2 22 所以 点 M 的轨迹 C 的方程为 4 分 1y 4 x 2 2 2 设点 点 N 的坐标为 y x A 11 y x B 22 y x 00 当直线 l 与 x 轴重合时 线段 AB 的中点 N 就是原点 O 不合题意 舍去 5 分 设直线 l 3myx 用心 爱心 专心4 由消去 x 4y4x 3myx 22 得 01my32y 4m 22 6 分 4m m3 y 2 0 4m 34 4m 34m3 4m m3 3myx 22 2 2 2 00 点 N 的坐标为 8 分 4m m3 4m 34 22 若 坐标为 则点 E 的为 由点 E 在曲线 C 上 OEON2 4m m32 4m 38 22 得 即 舍去 1 4m m12 4m 48 22 2 22 032m4m 24 4m 8m 22 由方程 得 1 4m 1m4 4m 16m4m12 yy 2 2 2 22 21 又 yy m mymy xx 212121 10 分 3 yy 1m AB 21 2 若 由 得 3 AB 3 4m 1m 4 2 2 8m2 点 N 的坐标为 射线 ON 方程为 6 6 3 3 0 x x 2 2 y 由 解得 点 E 的坐标为 4y4x 0 x x 2 2 y 22 3 6 y 3 32 x 3 6 3 32 OEON2 综上 的充要条件是 12 分 OEON2 3 AB 4 本小题满分 14 分 已知函数 24 1 x f x Rx 用心 爱心 专心5 1 试证函数的图象关于点对称 x f 4 1 2 1 2 若数列的通项公式为 求数列的前 m 项和 a n m 2 1n Nm m n fan a n Sm 3 设数列满足 设 b n 3 1 b1 n 2 n1n bbb 1b 1 1b 1 1b 1 T n21 n 若 2 中的满足对任意不小于 2 的正整数 n 恒成立 试求 m 的最大值 n S nn TS 解 1 设点是函数的图象上任意一点 其关于点的对称点为 y x P 000 x f 4 1 2 1 y x P 由 得 4 1 2 yy 2 1 2 xx 0 0 y 2 1 y x1x 0 0 所以 点 P 的坐标为 P 2 分 y 2 1 x1 00 由点在函数的图象上 得 y x P 000 x f 24 1 y 0 x 0 24 2 4 424 4 24 1 x1 f 0 0 0 0 0 x x x x x1 0 点 P在函数的图象上 24 1 2 1 y 2 1 0 x 0 24 2 4 0 0 x x y 2 1 x1 00 x f 函数的图象关于点对称 4 分 x f 4 1 2 1 2 由 1 可知 所以 2 1 x1 f x f 1mk1 2 1 m k 1 f m k f 即 6 分 2 1 aa 2 1 m km f m k f kmk 由 m1m321m aaaaaS 得 aaaaaS m13m2m1mm 由 得 6 1 2 m 6 1 2 2 1m a2 2 1 1m S2 mm 8 分 1m3 12 1 Sm 3 3 1 b1 1b bbbb nnn 2 n1n 用心 爱心 专心6 对任意的 0b Nn n 由 得即 1b 1 b 1 1b b 1 b 1 nnnn1n 1nnn b 1 b 1 1b 1 10 分 1n1n11nn3221 n b 1 3 b 1 b 1 b 1 b 1 b 1 b 1 b 1 b 1 T 数列是单调递增数列 bb 0bbb n1n 2 nn1n b n 关于 n 递增 当 且时 n T2n Nn 2n TT 81 52 1 9 4 9 4 b 9 4 1 3 1 3 1 b 3 1 b 321 12 分 52 75 b 1 3TT 1 2n 即 m 的最大值为 6 14 分 52 75 Sm 52 75 1m3 12 1 39 4 6 39 238 m 5 12 分 是椭圆的左 右焦点 是椭圆的右准线 点 过点的直线交EF 22 24xy lPl E 椭圆于 两点 AB 1 当时 求的面积 AEAF AEF 2 当时 求的大小 3AB AFBF 3 求的最大值 EPF 解 1 22 4 1 2 82 AEF mn Smn mn 2 因 4 8 4 AEAF ABAFBF BEBF 则5 AFBF 1 设 2 2 0 Pt t tan EPFtanEPMFPM 221 3 223 222 22 23 1 663 t tttttt 当时 6t 3 30 3 tan EPFEPF M FE O y A B P x 用心 爱心 专心7 6 14 分 已知数列中 当时 其前项和满足 n a 1 1 3 a 2n n n S 2 2 21 n n n S a S 2 求的表达式及的值 n S 2 lim n n n a S 3 求数列的通项公式 n a 4 设 求证 当且时 33 11 21 21 n b nn nN 2n nn ab 解 1 2 111 1 211 22 2 21 n nnnnnnn nnn S aSSSSS Sn SSS 所以是等差数列 则 1 n S 1 21 n S n 2 22 limlim2 212lim1 n nn nnn n a SSS 2 当时 2n 1 2 112 212141 nnn aSS nnn 综上 2 1 1 3 2 2 1 4 n n a n n 3 令 当时 有 1 11 2121 ab nn 2n 1 0 3 ba 法 1 等价于求证 33 1111 2121 2121 nn nn 当时 令2n 11 0 213n 23 1 0 3 f xxxx 2 3313 232 1 2 1 2 1 0 2223 fxxxxxxx 则在递增 f x 1 0 3 又 111 0 21213nn 用心 爱心 专心8 所以即 33 11 2121 gg nn nn ab 法 2 2233 33 1111 2121 21 21 nn abbaba nn nn 2 22 ab ababab 3 22 22 abab abaabb 1 1 22 ba ab a ab b 因 所以 333 111110 22222 3 aba ba 1 1 0 22 ba a ab b 由 1 3 4 知 nn ab 法 3 令 则 22 g bababab 1 210 2 a g bbab 所以 22 0 32g bmax gg amax aaaa 因则 1 0 3 a 2 10aaa a 2 214 323 3 0 339 aaa aa 所以 5 22 0g bababab 由 1 2 5 知 nn ab 7 本小题满分 14 分 设双曲线 1 a 0 b 0 的右顶点 2 2 2 2 b y a x 为 A P 是双曲线上异于顶点的一个动点 从 A 引双曲 线的两条渐近线的平行线与直线 OP 分别交于 Q 和 R 两 点 1 证明 无论 P 点在什么位置 总有 2 OP O 为坐标原点 OQ OR 2 若以 OP 为边长的正方形面积等于双曲线实 虚轴围成的矩形面积 求双曲线离心率的取值范围 解 1 设 OP y k x 又条件可设 AR y x a a b 第 21 题 用心 爱心 专心9 解得 同理可得 OR bak ab bak kab OQ bak ab bak kab 4 分 OQ OR bak ab bak ab bak kab bak kab bka k1 ba 222 222 设 m n 则由双曲线方程与 OP 方程联立解得 OP m2 n2 222 22 kab ba 222 222 kab bak 2 m2 n2 OP 222 22 kab ba 222 222 kab bak 222 222 kab k1 ba 点 P 在双曲线上 b2 a2k2 0 无论 P 点在什么位置 总有 2 4 分 OP OQ OR 2 由条件得 4ab 2 分 222 222 kab k1 ba 即 k2 0 4b a 得 e 2 分 2 2 a4ab abb4 4 17 20092009 年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解二年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解二 1 本小题满分 12 分 已知常数 a 0 n 为正整数 f n x x n x a n x 0 是关于 x 的函数 1 判定函数 f n x 的单调性 并证明你的结论 2 对任意 n a 证明 f n 1 n 1 0 x 0 fn x a 0 时 fn x xn x a n是关于 x 的减函数 当 n a 时 有 n 1 n n 1 a n n n n a n 2 分 又 f n 1 x n 1 xn x a n f n 1 n 1 n 1 n 1 n n 1 a n n f n 1 n 1 u v 4 5 所以 p x 不满足题设条件 2 分三种情况讨论 10 若 u v 1 0 则 g u g v 1 u 1 v u v 满足题设条件 20 若 u v 0 1 则 g u g v 1 u 1 v v u 满足题设条件 30 若 u 1 0 v 0 1 则 g u g v 1 u 1 v u v v u v u u v 满足题设条件 40 若 u 0 1 v 1 0 同理可证满足题设条件 综合上述得 g x 满足条件 3 本小题满分 14 分 已知点 P t y 在函数 f x 1x x x 1 的图象上 且有 t2 c2at 4c2 0 c 0 1 求证 ac 4 2 求证 在 1 上 f x 单调递增 3 仅理科做 求证 f a f c 1 用心 爱心 专心11 证 1 t R t 1 c2a 2 16c2 c4a2 16c2 0 c 0 c2a2 16 ac 4 2 由 f x 1 1x 1 法 1 设 1 x1 x2 则 f x2 f x1 1 1x 1 2 1 1x 1 1 1x 1x xx 12 21 1 x1 x2 x1 x2 0 x2 1 0 f x2 f x1 0 即 f x2 0 得 x 1 2 1x 1 x 1 时 f x 单调递增 3 仅理科做 f x 在 x 1 时单调递增 c 0 a 4 f c f a 4 1 a 4 a 4 4 a 4 f a f c 1 1 a a 4 a 4 4 a a 4 a 4 即 f a f c 1 4 本小题满分 15 分 设定义在 R 上的函数 其中 R i 0 1 2 3 4 当 432 01234 f xa xa xa xa xa i a x 1 时 f x 取得极大值 并且函数 y f x 1 的图象关于点 1 0 对称 2 3 1 求 f x 的表达式 2 试在函数 f x 的图象上求两点 使这两点为切点的切线互相垂直 且切点的横坐标都在区 间上 2 2 3 若 求证 212 1 3 N 23 nn nn nn xyn 4 3 nn f xf y 解 1 5 分 3 1 3 f xxx 用心 爱心 专心12 2 或 10 分 2 0 0 2 3 2 0 0 2 3 3 用导数求最值 可证得 15 分 4 1 1 3 nn f xf yff 5 本小题满分 13 分 设 M 是椭圆上的一点 P Q T 分别为 M 关于 y 轴 原点 x 轴的对称点 N 为椭圆 22 1 124 xy C C 上异于 M 的另一点 且 MN MQ QN 与 PT 的交点为 E 当 M 沿椭圆 C 运动时 求动点 E 的轨迹方程 解 设点的坐标 112211 0 M x yN xyx yE x y 则 1 分 111111 Px yQxyT xy 3 分 22 11 22 22 1 1 124 1 2 124 xy xy 由 1 2 可得 6 分 1 3 MNQN kk 又 MN MQ 所以 1 1 1 MNMQMN x kkk y 1 1 3 QN y k x 直线 QN 的方程为 又直线 PT 的方程为 10 分 1 11 1 3 y yxxy x 1 1 x yx y 从而得所以 11 11 22 xx yy 11 2 2 xx yy 代入 1 可得此即为所求的轨迹方程 13 分 2 2 1 0 3 x yxy 6 本小题满分 12 分 过抛物线上不同两点 A B 分别作抛物线的切线相交于 P 点 yx4 2 0 PBPA 1 求点 P 的轨迹方程 2 已知点 F 0 1 是否存在实数使得 若存在 求出的值 若不 0 2 FPFBFA 存在 请说明理由 解法 一 1 设 4 4 21 2 2 2 2 1 1 xx x xB x xA 用心 爱心 专心13 由得 4 2 yx 2 x y 2 2 21 x k x k PBPA 3 分4 0 21 xxPBPAPBPA 直线 PA 的方程是 即 24 1 1 2 1 xx xx y 42 2 11 xxx y 同理 直线 PB 的方程是 42 2 22 xxx y 由 得 1 4 2 21 21 21 Rxx xx y xx x 点 P 的轨迹方程是 6 分 1Rxy 2 由 1 得 1 4 2 1 1 x xFA 1 4 2 2 2 x xFB 1 2 21 xx P 4 2 2 21 21 xx xx FP 10 分 4 2 1 4 1 4 2 2 2 1 2 2 2 1 21 xxxx xxFBFA 2 4 4 4 2 2 2 1 2 21 2 xxxx FP 所以0 2 FPFBFA 故存在 1 使得 12 分 0 2 FPFBFA 解法 二 1 直线 PA PB 与抛物线相切 且 0 PBPA 直线 PA PB 的斜率均存在且不为 0 且 PBPA 设 PA 的直线方程是 0 kRmkmkxy 由得 yx mkxy 4 2 044 2 mkxx 即 3 分01616 2 mk 2 km 用心 爱心 专心14 即直线 PA 的方程是 2 kkxy 同理可得直线 PB 的方程是 2 11 k x k y 由得 2 2 11 k x k y kkxy 1 1 y R k kx 故点 P 的轨迹方程是 6 分 1Rxy 2 由 1 得 1 1 1 2 2 2 2 k kP kk BkkA 1 1 2 1 2 2 2 kk FBkkFA 2 1 k kFP 10 分 1 2 1 1 1 4 2 2 2 2 k k k kFBFA 1 24 1 2 222 k kk k FP 故存在 1 使得 12 分 0 2 FPFBFA 7 本小题满分 14 分 设函数在上是增函数 x ax x xfln 1 1 1 求正实数的取值范围 a 2 设 求证 1 0 ab ln 1 b ba b ba ba 解 1 对恒成立 0 1 2 ax ax xf 1 x 对恒成立 x a 1 1 x 又 为所求 4 分1 1 x 1 a 2 取 b ba x 1 0 1 b ba ba 一方面 由 1 知在上是增函数 x ax x xfln 1 1 0 1 f b ba f 用心 爱心 专心15 0ln 1 b ba b ba a b ba 即 8 分 bab ba 1 ln 另一方面 设函数 1 ln xxxxG 1 0 11 1 x x x x xG 在上是增函数且在处连续 又 xG 1 0 xx 01 1 G 当时 1 x0 1 GxG 即xxln b ba b ba ln 综上所述 14 分 ln 1 b ba b ba ba 8 本小题满分 12 分 如图 直角坐标系中 一直角三角形 xOyABC 在轴上且关于原点对称 在边上 90C BCxODBC 的周长为 12 若一双曲线以 为焦3BDDC ABC EBC 点 且经过 两点 AD 1 求双曲线的方程 E 2 若一过点 为非零常数 的直线 与双曲线 0 P mml 相交于不同于双曲线顶点的两点 且 问在轴上是否存在定点 使EMNMPPN xG 若存在 求出所有这样定点的坐标 若不存在 请说明理由 BCGMGN G 解 1 设双曲线的方程为 E 22 22 1 0 0 xy ab ab 则 0 0 0 BcD aC c 由 得 即 3BDDC 3 caca 2ca 3 分 222 16 124 2 ABACa ABACa ABACa x y D O C A B x y D O C A B 用心 爱心 专心16 解之得 1a 2 3cb 双曲线的方程为 5 分 E 2 2 1 3 y x 2 设在轴上存在定点 使 x 0 G t BCGMGN 设直线 的方程为 lxmky 1122 M x yN xy 由 得 MPPN 12 0yy 即 6 分 1 2 y y 4 0 BC 1212 GMGNxtxt yy BCGMGN 12 xtxt 即 8 分 12 kymtkymt 把 代入 得 9 分 1212 2 0ky ymtyy 把代入并整理得xmky 2 2 1 3 y x 222 31 63 1 0kykmym 其中且 即且 2 310k 0 2 1 3 k 22 31km 10 分 2 1212 22 63 1 3131 kmm yyy y kk 代入 得 2 22 6 1 6 0 3131 k mkm mt kk 化简得 kmtk 当时 上式恒成立 1 t m 因此 在轴上存在定点 使 12 分 x 1 0 G m BCGMGN 9 本小题满分 14 分 已知数列各项均不为 0 其前项和为 且对任意都有 为大于 1 n an n S n N 1 nn p Sppa p N B C O y x G M P 用心 爱心 专心17 的常数 记 12 12 1CCC 2 n nnnn n n aaa f n S 1 求 n a 2 试比较与的大小 1 f n 1 2 p f n p n N 3 求证 21 11 21 1 2 21 1 12 n pp nf nfffn pp n N 解 1 1 nn p Sppa 11 1 nn p Sppa 得 11 1 nnn p apapa 即 3 分 1nn apa 在 中令 可得 1n 1 ap 是首项为 公比为的等比数列 4 分 n a 1 ap p n n ap 2 由 1 可得 1 1 11 nn n ppp p S pp 12 12 1CCCn nnnn aaa 122 1CCC 1 1 nnnn nnn ppppp 5 分 12 12 1CCC 2 n nnnn n n aaa f n S 1 1 2 1 n nn pp pp 1 f n 1 11 1 1 2 1 n nn pp pp 而 且 1 2 p f n p 1 11 1 1 2 n nn pp ppp 1p 11 10 nn ppp 10p 8 分 1 f n 1 2 p f n p n N 3 由 2 知 1 1 2 p f p 1 f n 1 2 p f n p n N 当时 2n 21 1111 1 2 1 2222 nn pppp f nf nf nf pppp 用心 爱心 专心18 221 111 1 2 21 222 n ppp fffn ppp 10 分 21 11 1 12 n pp pp 当且仅当时取等号 1n 另一方面 当 时 2n 1 2 21kn 2 22 1 1 1 2 2 1 2 1 kn k kkn kn k ppp f kfnk ppp 2 22 1 1 1 2 2 1 2 1 kn k kkn kn k ppp ppp 2 1 2 1 1 2 1 1 n nkn k pp ppp 22 1 2 1 1 21 n nnkn k pp pppp 2 2 kn kn ppp 2222 121 1 nkn knnn pppppp 当且仅当时取等号 13 分 12 1 2 2 2 1 n nn pp f kfnkf n pp kn 当且仅当时取等号 212121 111 1 2 21 2 nnn kkk f kf kfnkf nnf n 1n 综上所述 14 分 21 21 1 11 21 1 12 n n k pp nf nf k pp n N 20092009 年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解三年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解三 1 本小题满分 13 分 如图 已知双曲线 C 的右准线 x a y b ab 2 2 2 2 100 与一条渐近线交于点 M F 是双曲线 C 的右焦点 O 为坐标原l1l2 点 I 求证 OMMF 用心 爱心 专心19 II 若且双曲线 C 的离心率 求双曲线 C 的方程 MF 1e 6 2 III 在 II 的条件下 直线过点 A 0 1 与双曲线 C 右支交于不同的两点 P Q 且 P 在l3 A Q 之间 满足 试判断的范围 并用代数方法给出证明 APAQ 解 I 右准线 渐近线 l1 2 x a c l2 y b a x M a c ab c F ccab 2 222 0 OM a c ab c 2 MFc a c ab c b c ab c 22 3 分 OM MF a b c a b c OMMF 22 2 22 2 0 II e b a eab 6 2 1 2 2 2 222 MF b c a b c bba c ba 111 11 4 2 22 2 222 2 22 双曲线 C 的方程为 7 分 x y 2 2 2 1 III 由题意可得 8 分01 证明 设 点l31 ykx P xyQ xy 1122 由得 xy ykx 22 22 1 12440 22 kxkx 与双曲线 C 右支交于不同的两点 P Q l3 120 1616 120 4 12 0 4 12 0 2 2 1 0 120 2 22 12 2 12 2 2 2 k kk xx k k x x k k k k k 用心 爱心 专心20 11 分 1 2 2 k 得 APAQxyxy 1122 11xx 12 1 4 12 4 12 116 4 12 4 21 2 2 21 2 2 2 2 2 22 2 2 22 x k k x k k k k kk 1 2 2 0211 1 4 2 2 kk 14210 22 的取值范围是 0 1 13 分 2 本小题满分 13 分 已知函数 f x x n xnf nnxnnN 00 111 数列满足 anaf n nN n I 求数列的通项公式 an II 设 x 轴 直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为 求xa yf x S aa 0 S nS nnN 1 III 在集合 且中 是否存在正整数 N 使得不等式MN NkkZ 2 10001500 k 对一切恒成立 若存在 则这样的正整数 N 共有多少个 并求出满足aS nS n n 10051 nN 条件的最小的正整数 N 若不存在 请说明理由 IV 请构造一个与有关的数列 使得存在 并求出这个极限值 an bnlim n n bbb 12 解 I nN f nn nnf nnf n 111 1 分 f nf nn 1 用心 爱心 专心21 ff ff ff 101 212 323 f nf nn 1 将这 n 个式子相加 得 f nfn n n 0123 1 2 f f n n n 00 1 2 3 分 a n n nN n 1 2 II 为一直角梯形 时为直角三角形 的面积 该梯形的两底边的长分别为S nS n 1n 1 高为 1f nf n 1 S nS n f nf naa nn 1 1 2 1 2 1 6 分 1 2 1 2 1 22 2 n nn nn III 设满足条件的正整数 N 存在 则 n nnn n 1 2 1005 22 10052010 2 又M 200020022008201020122998 均满足条件 N201020122998 它们构成首项为 2010 公差为 2 的等差数列 设共有 m 个满足条件的正整数 N 则 解得2010212998 mm 495 中满足条件的正整数 N 存在 共有 495 个 9 分 MNmin 2010 IV 设 即b a n n 1 b n nnn n 2 1 2 11 1 用心 爱心 专心22 则bbb nnn n12 2 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 11 1 2 1 1 1 显然 其极限存在 并且 10 分lim lim n n n bbb n 12 2 1 1 2 注 c 为非零常数 等都能使b c a n n bbqq n a n n a n nn 1 2 01 2 1 2 1 存在 lim n n bbb 12 19 本小题满分 14 分 设双曲线的两个焦点分别为 离心率为 2 y a x 2 2 2 3 1 FF 12 I 求此双曲线的渐近线的方程 ll 12 II 若 A B 分别为上的点 且 求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程 并说明ll 12 25 12 ABF F 轨迹是什么曲线 III 过点能否作出直线 使与双曲线交于 P Q 两点 且 若存在 N 10 llOPOQ 0 求出直线的方程 若不存在 说明理由 l 解 I eca 24 22 caac 22 312 渐近线方程为4 分 双曲线方程为y x 2 2 3 1yx 3 3 II 设 AB 的中点A xyB xy 1122 M xy 25 5 2 5 2 210 10 3 3 3 3 22 3 3 3 3 3 3 3 10 12 12 12 2 12 2 11221212 12121212 12 2 12 2 ABF F ABF Fc xxyy yxyxxxxyyy yyxxyyxx yyxx 又 用心 爱心 专心23 3 2 1 3 2100 75 3 25 1 22 22 yx xy 即 则 M 的轨迹是中心在原点 焦点在 x 轴上 长轴长为 短轴长为的椭圆 9 分 10 3 10 3 3 III 假设存在满足条件的直线l 设lyk xlP xyQ xy 与双曲线交于 1 1122 OPOQ x xy y x xkxx x xkx xxxi 0 0 110 10 1212 12 2 12 12 2 1212 由得 则 yk x y x kxk xk xx k k x x k k ii 1 3 1 316330 6 31 33 31 2 2 222 12 2 2 12 2 2 由 i ii 得k 2 30 k 不存在 即不存在满足条件的直线 14 分l 3 本小题满分 13 分 已知数列的前 n 项和为 且对任意自然数都成立 其中 m 为常 anSnN n Smma nn 1 数 且 m 1 I 求证数列是等比数列 an II 设数列的公比 数列满足 anqf m bnbabf b nn111 1 3 试问当 m 为何值时 nnN 2 lim lg lim n ba n b bb bb b nn 3 122334 成立 bb nn1 解 I 由已知Smma nn 11 11 2 Smma nn 1 由得 即对任意都成立 12 amama nnn 11 mama nn 1 1 nN 用心 爱心 专心24 mm a a m m a n n n 为常数 且 即为等比数列分 1 1 5 1 II 当时 n 1amma 11 1 ab Iqf m m m bf b b b nnN nn n n 11 1 1 1 1 1 3 1 1 2 从而 由 知 1 1 111 1 1 1 312 1 2 9 11 bbbb b b nnb n nN nnnn n n n 即 为等差数列 分 a m m n n 1 1 lim lg limlglg lim lim n ba n n n m m m m n b bb bbb n nn nn nn 1 211 3 3 1 3 1 4 1 4 1 5 1 1 1 2 1 12231 由题意知 13 分lg m m 1 1 m m m 1 10 10 9 4 本小题满分 12 分 设椭圆的左焦点为 上顶点为 过点与垂直的直线分别交椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x FAAAF 和轴正半轴于 两点 且分向量所成的比为 8 5 xPQPAQ 1 求椭圆的离心率 2 若过三点的圆恰好与直线 相切 求椭圆方程 FQA l033 yx 解 1 设点其中 0 0 0 cFxQ 0 22 bAbac 用心 爱心 专心25 由分所成的比为 8 5 得 2 分PAQ 13 5 13 8 0 bxP 4 分ax a x 2 3 1 13 5 13 8 0 2 2 2 02 而 AQFAbxAQbcFA 0 5 分0 AQFA c b xbcx 2 0 2 0 0 由 知 0232 32 222 aaccacb 6 分 2 1 0 232 2 eee 2 满足条件的圆心为 0 2 22 c cb O 8 分 0 22 22222 cOc c cca c cb 圆半径 10 分a c a c b r 22 2 2 2 由圆与直线 相切得 l033 yxa c 2 3 又 椭圆方程为 12 分3 2 1 2 bacca1 34 22 yx 5 本小题满分 14 分 理 给定正整数和正数 对于满足条件的所有无穷等差数列 试求nbbaa n 2 11 n a 的最大值 并求出取最大值时的首项和公差 1221 nnn aaay y n a 文 给定正整数和正数 对于满足条件的所有无穷等差数列 试求nbbaa n 2 11 n a 的最大值 并求出取最大值时的首项和公差 1221 nnn aaay y n a 理 解 设公差为 则 3 分 n ad 1111 aandndaa nn dnan ndadaa aaay n nnn nnn 21 1 1 111 1221 用心 爱心 专心26 4 分d nn an n 2 1 1 1 2 1 2 1 11 11 aa an nd an n nn 7 分 3 2 1 11 aa n n 又 2 11 2 11 nn ababaa 当且仅当时 等号 4 49 4 49 2 3 33 2 11 2 111 bb abaaaa nnnn 2 3 1 n a 成立 11 分 13 分 8 49 1 3 2 1 11 bn aa n y n 当数列首项 公差时 n a 4 9 1 ba n b d 4 34 8 49 1 bn y 的最大值为 14 分y 8 49 1 bn 文 解 设公差为 则 3 分 n ad 1111 aandndaa nn 2 1 2 1 1 21 1 11 1 111 1221 nd and nn an dnan ndadaa aaay nn n nnn nnn 6 分 3 2 1 2 1 11 11 1 aa naa an n n n 又 2 11 2 11 nn ababaa 4 49 4 49 2 3 33 2 11 2 111 bb abaaaa nnnn 当且仅当时 等号成立 11 分 2 3 1 n a 13 分 8 49 1 3 2 1 11 bn aa n y n 当数列首项 公差时 n a 4 9 1 ba n b d 4 34 8 49 1 bn y 的最大值为 14 分y 8 49 1 bn 6 本小题满分 12 分 垂直于 x 轴的直线交双曲线于 M N 不同两点 A1 A2分别为双曲线的左顶点和右顶点 22 22 yx 用心 爱心 专心27 设直线 A1M 与 A2N 交于点 P x0 y0 证明 2 2 0 2 0 为定值yx 过 P 作斜率为的直线 l 原点到直线 l 的距离为 d 求 d 的最小值 0 0 2y x 解 证明 0 2 0 2 211111 AAyxNyxM 则设 2 2 1 1 1 x x y yMA的方程为直线 直线 A2N 的方程为 4 分 2 2 1 1 x x y y 得 2 2 2 2 1 2 12 x x y y 分为定值 的交点与是直线 即 822 22 2 2 1 22 2 0 2 0 2100 22222 1 2 1 yx NAMAyxP yxxyyx 02222 2 00 2 0 2 00 0 0 0 yyxxyxxx y x yyl整理得结合的方程为 10 分 2 0 2 0 2 0 2 0 1 2 22 2 4 2 y yyx d 于是 1 1 2 21122 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 y dyyyx 当 12 分1 1 1 2 00 取最小值时dyy 7 本小题满分 14 分 已知函数xxxfsin 若 0 的值域试求函数xfx 若 3 2 3 2 0 0 x f xff x 求证 若的大小关系 3 2 3 2 1 1 x f xff Zkkkkkx 与猜想 不必写出比较过程 用心 爱心 专心28 解 为增函数时当 0cos1 0 xfxxfx 分的值域为即 求得所以 上连续在区间又 4 0 0 0 0 xf xffxff xf 设 3 2 3 2 x f xff xg 3 2 sin 3 sin 2 xxf xg 即 6 分 3 2 coscos 3 1 x xxg xxg x x 得由 0 0 3 2 0 0 0 0 为减函数时当xgxgx 分为增函数时当8 0 xgxgx 分因而 有对 的最小值为则 上连续在区间 10 3 2 3 2 0 0 0 x f xff gxgx xgg xg 在题设条件下 当 k 为偶数时 3 2 3 2x f xff 当 k 为奇数时 14 分 3 2 3 2x f xff 20092009 年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解四年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解四 1 本小题满分 14 分 已知 f x 2 2 2 x ax x R 在区间 1 1 上是增函数 求实数 a 的值组成的集合 A 设关于 x 的方程 f x x 1 的两个非零实根为 x1 x2 试问 是否存在实数 m 使得不等式 m2 tm 1 x1 x2 对任意 a A 及 t 1 1 恒成立 若存在 求 m 的取值范围 若不存在 请说明理 由 本小题主要考查函数的单调性 导数的应用和不等式等有关知识 考查数形结合及分类讨论思想和灵活 运用数学知识分析问题和解决问题的能力 满分 14 分 解 f x 22 2 2 224 x xax 22 2 2 2 2 x axx 用心 爱心 专心29 f x 在 1 1 上是增函数 f x 0 对 x 1 1 恒成立 即 x2 ax 2 0 对 x 1 1 恒成立 设 x x2 ax 2 方法一 1 1 a 2 0 1 a 1 1 1 a 2 0 对 x 1 1 f x 是连续函数 且只有当 a 1 时 f 1 0 以及当 a 1 时 f 1 0 A a 1 a 1 方法二 2 a 0 2 a 0 x1 x2是方程 x2 ax 2 0 的两非零实根 x1 x2 a 从而 x1 x2 21 2 21 4 xxxx 8 2 a x1x2 2 1 a 1 x1 x2 8 2 a 3 要使不等式 m2 tm 1 x1 x2 对任意 a A 及 t 1 1 恒成立 当且仅当 m2 tm 1 3 对任意 t 1 1 恒成立 即 m2 tm 2 0 对任意 t 1 1 恒成立 设 g t m2 tm 2 mt m2 2 用心 爱心 专心30 方法一 g 1 m2 m 2 0 g 1 m2 m 2 0 m 2 或 m 2 所以 存在实数 m 使不等式 m2 tm 1 x1 x2 对任意 a A 及 t 1 1 恒成立 其取值范围是 m m 2 或 m 2 方法二 当 m 0 时 显然不成立 当 m 0 时 m 0 m0 y2 0 由 y 2 1 x2 用心 爱心 专心31 得 y x 过点 P 的切线的斜率 k切 x1 直线 l 的斜率 kl 切 k 1 1 1 x 直线 l 的方程为 y 2 1 x12 1 1 x x x1 方法一 联立 消去 y 得 x2 1 2 x x x12 2 0 M 是 PQ 的中点 x0 2 21 xx 1 1 x y0 2 1 x12 1 1 x x0 x1 消去 x1 得 y0 x02 2 0 2 1 x 1 x0 0 PQ 中点 M 的轨迹方程为 y x2 2 0 2 1 x 1 x 0 方法二 由 y1 2 1 x12 y2 2 1 x22 x0 2 21 xx 得 y1 y2 2 1 x12 2 1 x22 2 1 x1 x2 x1 x2 x0 x1 x2 则 x0 21 21 xx yy kl 1 1 x x1 0 1 x 将上式代入 并整理 得 用心 爱心 专心32 y0 x02 2 0 2 1 x 1 x0 0 PQ 中点 M 的轨迹方程为 y x2 2 0 2 1 x 1 x 0 设直线 l y kx b 依题意 k 0 b 0 则 T 0 b 分别过 P Q 作 PP x 轴 QQ y 轴 垂足分别为 P Q 则 SQ ST SP ST 21 y b y b QQ OT PP OT y x2 2 1 由 消去 x 得 y2 2 k2 b y b2 0 y kx b y1 y2 2 k2 b 则 y1y2 b2 方法一 b 2 b 2 b 2 SQ ST SP ST 21 11 yy 21 1 yy 2 1 b y1 y2可取一切不相等的正数 的取值范围是 2 SQ ST SP ST 方法二 b b SQ ST SP ST 21 21 yy yy 2 2 2 b bk 当 b 0 时 b 2 2 SQ ST SP ST 2 2 2 b bk b bk 2 2 b k 2 2 当 b0 于是 k2 2b 0 即 k2 2b 用心 爱心 专心33 所以 2 SQ ST SP ST b bb 2 2 当 b 0 时 可取一切正数 b k 2 2 的取值范围是 2 SQ ST SP ST 方法三 由 P Q T 三点共线得 kTQ KTP 即 2 2 x by 1 1 x by 则 x1y2 bx1 x2y1 bx2 即 b x2 x1 x2y1 x1y2 于是 b x1x2 12 2 21 2 12 2 1 2 1 xx xxxx 2 1 2 SQ ST SP ST 21 y b y b 1 2 1 21x x 1 2 1 21x x 1 2 x x 2 1 x x 可取一切不等于 1 的正数 1 2 x x 的取值范围是 2 SQ ST SP ST 3 本小题满分 12 分 某突发事件 在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为 0 3 一旦发生 将造成 400 万元的损失 现有甲 乙两种相互独立的预防措施可供采用 单独采用甲 乙预防措施所需的费用分别为 45 万元 和 30 万元 采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为 0 9 和 0 85 若预防方案允许甲 乙两 种预防措施单独采用 联合采用或不采用 请确定预防方案使总费用最少 总费用 采取预防措施的费用 发生突发事件损失的期望值 本小题考查概率的基本知识和数学期望概念及应用概率知识解决实际问题的能力 满分 12 分 解 不采取预防措施时 总费用即损失期望为 400 0 3 120 万元 若单独采取措施甲 则预防措施费用为 45 万元 发生突发事件的概率为