第十二章--结构的塑性分析和极限荷载..ppt

1 结构力学 海南大学土木工程系 第十二章结构的塑性分析和极限荷载 2 结构的极限荷载 结构的极限荷载 结构的极限荷载 结构的极限荷载 基本概念极限玩具计算超静定梁的极限荷载判定极限荷载的一般定理刚架的极限荷载 结构的极限荷载 结构的极限荷载 结构的极限荷载 结构的塑性分析和极限荷载 3 12 1概述 1 线弹性体系 弹性分析 弹性设计法 弹性设计法的最大缺陷是以某一局部的 max 作为衡量整个结构破坏的标准 事实上 对于塑性材料的结构 特别是超静定结构 当 max 时 结构还没破坏 因此弹性设计法不能正确地反映整个结构的安全储备 是不够经济的 2 塑性分析 考虑材料的塑性 按照结构丧失承载能力的极限状态来计算结构所能承受的荷载的极限值 塑性设计法 从整个结构的承载能力考虑 更切合实际 3 理想弹塑性材料 y E y 不增 继续增加 卸载 E 小变形 应力与应变成正比 位移与荷载呈线性关系 无残余变形 结构在正常使用情况下 弹性分析能给出相当精确的结果 荷载不再增加 变形继续增加 塑性分析时平衡条件 几何条件 平截面假定与弹性分析相同 由此看到 材料加载是弹塑性的 卸载是弹性的 经历塑性变形之后 应力与应变之间不再存在单值对应关系 要得到弹塑性解答 需要追踪全部受力变形过程 所以结构的弹塑性分析比弹性分析要复杂的多 而结构的极限分析不考虑弹塑性变形的发展过程 直接研究论结构的破坏状态求出极限荷载 因而比较方便 塑性分析只适用于延性较好的弹塑性材料而不适用于脆性材料 对于变形条件要求较严的结构也不易采用弹塑性分析方法 4 一 极限弯矩 随着M的增大 梁会经历弹性阶段 b 弹性极限弯矩 或屈服弯矩 弹塑性阶段 c 塑性阶段 d 弹性核消失 整个截面达到塑性流动 弯矩达到极限弯矩Mu 在弹性核内 应力按线性分布 弯矩与曲率呈非线性 极限弯矩是整个截面达到塑性流动时截面所能承受的最大弯矩 它主要与 y和截面形状尺寸有关 剪力对它的影响可忽略不计 截面形状系数 12 2极限弯矩 塑性铰 极限状态 5 6 形心轴 随着M的增大 梁会经历弹性阶段 b 应力按直线分布 中性轴通过形心 弹塑性阶段 c 塑性阶段 d 截面达到塑性流动 中性轴的位置随弯矩的大小而变 截面轴力为零 S1 S2分别为拉 压区面积对中性轴 等分截面轴 的静矩 Wy称为塑性截面模量 其它截面 极限状态时中性轴平分截面面积即等分截轴 7 已知材料的屈服极限 y 240MPa 求截面的极限弯矩 mm 应力的单位用 Pa 长度单位用 m 力的单位用 N 得到弯矩单位 N m 或者应力的单位用 MPa 长度单位用 mm 力的单位用 N 得到弯矩单位 N mm 8 二 塑性铰 当截面达到塑性流动阶段时 极限弯矩保持不变 C截面的纵向纤维塑性流动 伸长或缩短 于是两相邻截面可产生有限的相对转动 称该截面形成了塑性铰 承受极限弯矩 不承受弯矩 单向铰 双向铰 卸载而消失 不消失 位置随荷载的分布不同而变化 位置固定 9 横向荷载 通常剪力对承载力的影响很小 可忽略不计 纯弯导出的结果横弯仍可采用 在加载初期 各截面弯矩 弹性极限弯矩My 某截面弯矩 My弹性阶段结束 此时的荷载叫弹性极限荷载Py 当P Py 在梁内形成塑性区 随着荷载的增大 塑性区扩展 形成塑性铰 继续加载 形成足够多的塑性铰 结构变成破坏机构 三 极限状态 当结构形成足够多的塑性铰时 结构变成几何可变体系 破坏机构 形成破坏机构的瞬时所对应的变形状态称为结构的极限状态 此时的荷载即为极限荷载 如果只限于求结构的极限荷载 可不考查其实际的内力和变形情况 将破坏机构作为分析对象 根据极限状态结构的内力分布 按平衡条件求极限荷载 这种方法称为极限平衡法 弹塑性分析全过程 10 例求图示简支梁的Pu 静力法 根据平衡条件 得 机动法 采用刚塑性假设画机构虚位移图 虚功方程 静力法 根据塑性铰截面的弯矩Mu 由平衡方程求出 极限平衡法求极限荷载 机动法 利用机构的极限平衡状态 根据虚功方程求得 11 1 超静定梁的破坏过程和极限荷载的特点 超静定梁必须出现足够多个塑性铰 才变成机构 从而丧失承载能力 破坏 弹性阶段 P Py 弹塑性阶段 Py P Pu A截面形成塑性区 扩大 C截面形成塑性区 A截面形成第一个塑性铰 MU 塑性阶段 P Pu MA Mu不增 MC增 Mu C截面形成第二个塑性铰 MU 12 3超静定梁的极限荷载 12 求极限荷载 静力法 根据极限状态的弯矩图 求极限荷载 机动法 根据虚功方程求Pu 1 如能事先判断出超静定梁的破坏机构 就无须考虑结构的弹塑性变形的发展过程 直接利用机构的平衡条件求Pu 2 超静定结构极限荷载的计算 只需考虑平衡条件 而无须考虑变形协调条件 因而计算比弹性计算简单 3 超静定结构极限荷载 不受温度改变 支座移动等因素的影响 4 假定等截面单跨超静定梁破坏机构的原则 跨中塑性铰只能出现在集中力作用点处或分布荷载分布范围内剪力为零处 当梁上荷载同为向下作用时 负塑性铰只可能出现在固定端处 13 例求图示变截面梁的极限荷载 Mu 解 AB BC段的极限弯矩不同 塑性铰可能出现在A D和B处 破坏机构的可能形式既与突变截面位置有关 也与 有关 1 B D出现塑性铰的破坏机构 3Mu 如MA 3Mu 该破坏机构实现的条件是 3Mu 2 A D出现塑性铰的破坏机构 该破坏机构实现的条件是 3Mu 两种破坏机构都能实现 出现三个塑性铰A B D 4 对于变截面梁 负塑性铰可能会出现在跨间 14 Mu 在钢筋混凝土结构设计 这种梁在实际荷载q作用下跨中截面的塑性计算弯矩近似地取为 15 例 求Pu A C 解 A处形成一塑性铰 塑性铰C的位置待定 该机构相应的可破坏荷载q 16 2 连续梁的极限荷载 设梁在每一跨内是等截面 但各跨的截面可以不同 设荷载的作用方向彼此相同 向下 并按比例加载 对于等截面梁 最大负弯矩只可能在支座处 负塑性铰只可能出现在支座处 故每跨内为等截面的连续梁 只可能在各跨内独立形成破坏机构 且遵循单跨梁形成破坏机构的原则 1 11 1 141 16 1 16 17 例 图示各跨等截面连续梁 第一 二跨正极限弯矩为Mu 第三跨正极限弯矩为2Mu 各跨负极限弯矩为正极限弯矩的1 2倍 求qu 第一跨破坏 第二跨破坏 第三跨破坏 18 一 预备知识 1 前提条件 比例加载 荷载按同一比例增加 且不卸载 假设材料为理想弹塑性材料 截面的正负极限弯矩绝对值相等 且忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响 2 极限受力状态应当满足的一些条件 1 平衡条件 2 内力局限条件 M Mu3 单向机构条件 在极限受力状态中 使结构变成机构 能够沿荷载作正功的方向做单向运动 3 两个定义 1 对于任意单向破坏机构 用平衡条件求得的荷载值称为可破坏荷载P 满足1 3条 2 如果对某个荷载 能找到一内力状态与之平衡且各截面内力都不超过极限值 则此荷载称为可接受荷载P 满足1 2条 极限荷载既是可接受荷载 又是可破坏荷载 12 4比例加载时判定极限荷载的一般定理 19 二 一般定理及其证明 1 基本定理 P P 证明 取任一P 列虚功方程P Mui i 再取任一P 列虚功方程P M i i 根据 M i Mui M i i Mui i P P 2 唯一性定理 Pu的值是唯一确定的 证明 设存在Pu1 Pu2将Pu1视为P Pu2视为P 则有 Pu1 Pu2将Pu2视为P Pu1视为P 则有 Pu2 Pu1 Pu2 Pu1 3 上限定理 极小定理 可破坏荷载是极限荷载的上限 或者说 极限荷载是可破坏荷载中的极小者 证明 因为极限荷载是可接受荷载 所以由基本定理它小于可破坏荷载 Pu P 4 下限定理 极大定理 可接受荷载是极限荷载的下限 或者说 极限荷载是可接受荷载中的极大者 证明 因为极限荷载是可破坏荷载 所以由基本定理它大于可接受荷载 Pu P 上 下限定理可用来求极限荷载的近似解 给出精确解的范围 也可用来寻求精确解 为了求极限荷载 可列出所有可能的破坏机构 求出对应的可破坏荷载 其中最小的即破坏荷载 穷举法或机构法 基于上限定理 选一破坏机构 求出相应的破坏荷载 作出弯矩图检查各截面弯矩是否大于其极限弯矩 即检查是否满足内力局限条件 若满足 所得可破坏荷载即极限荷载 若不满足 则另选一破坏机构继续计算 试算法 基于惟一性定理 20 例 已知等截面梁的极限弯矩为Mu 求Pu 解 取第一跨的破坏机构 相应的弯矩图 相应的可破坏荷载可由平衡条件求出 E 各截面弯矩均 Mu 既是可破坏荷载 又是可接受荷载 21 例 设有一n跨连续梁 每跨为等截面 但各跨梁的横截面可以相同也可以不相同 试证明此连续梁的极限荷载就是每个单跨破坏机构相应的可破坏荷载中的最小者 证明 n个单跨破坏机构 根据唯一性定理 已知 是一可破坏荷载 还需证明它也是一可接受荷载 作用下存在一个可接受的弯矩图 它是可接受荷载 所以 作用下的弯矩图ME Mu E 作用下ME Mu 22 例 图示连续梁 已知 Mu1 50kN m Mu2 70kN mMu3 90kN m 求Pu 解 作出各跨破坏时的弯矩图 支座弯矩取左右两跨较小者 第一跨 第二跨 第三跨 23 例 图示连续梁 已知 Mu1 50kN m Mu2 70kN mMu3 90kN m 求Pu 24 在刚架中塑性铰的形成还要受到轴力的影响 不过在轴力较小时 可忽略其影响 三次超静定结构 形成四个塑性铰 进入极限状态 破坏机构只有一种可能 列虚功方程 或列水平投影平衡 12 5刚架的极限荷载 25 如能完备的列出来可能的破坏机构 并求出各机构相应的可破坏荷载 刚架各种可能破坏机构 基本机构 梁机构 侧移机构 结点机构 结点机构 组合机构 将两种或两种以上的基本机构组合 刚架的基本机构数m h n 在不同基本机构中 如某塑性铰转向相反 组合后该塑性铰闭合 这种求Pu方法称为穷举法 一般情况下 n次超静定结构出现 n 1 个塑性铰后 形成破坏机构 26 Mu Mu 2Mu 例 求图示结构的极限荷载 梁机构 侧移机构 结合机构 塑性铰C闭合 对侧移机构 对梁机构 对组合机构 27 由上例可知 当不考虑轴力影响时 只要能完备地定出刚架的各种可能的破坏机构 则不难根据上限定理求出其极限荷载 但是 在复杂情况下 欲无遗漏地定出所有可能的破坏机构是比较困难 而且一一寻求各自的可破坏荷载 再去进行比较也是相当麻烦 为此 可采用试算法 求出与它相应的可破坏荷载并绘出刚架的弯矩图 先假定一破坏机构 如果满足 则此可破坏荷载也是可接受荷载 由唯一性定理知它就是极限荷载 然后再检查它的弯矩图分布是否满足屈服条件 选择破坏机构时 应使外荷载作的功尽可能的大些 而塑性铰处极限弯矩所作的功尽可能的小些 为此 在挑选基本机构进行组合时 应力求使较多的塑性铰闭合 而达到塑性铰处极限弯矩所作的功较小 由这样的破坏机构求得的可破坏荷载就会较小 有可能是极限荷载 28 试算法 对梁机构 4 5 x Mu 设MB xMu则 必有MB或M