2012年高考数学最后冲刺 坐标系与参数方程

用心 爱心 专心 1 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 1 极坐标方程 1 0 0 表示的图形是 A 两个圆 B 两条直线 C 一个圆和一条射线 D 一条直线和一条射线 解析 1 0 0 1 或 0 1 表示圆心在原点 半径为 1 的圆 0 表示x轴的负半轴 是一条射线 故选 C 答案 C 2 在平面直角坐标系xOy中 点P的直角坐标为 1 若以原点O为极点 x轴 3 正半轴为极轴建立极坐标系 则点P的极坐标可以是 A B 1 3 2 4 3 C D 2 3 2 4 3 4 设直线过极坐标系中的点M 2 0 且垂直于极轴 则它的极坐标方程为 解析 设所求直线的任一点的极坐标为 由题意可得 cos 2 答案 cos 2 5 在极坐标系中 直线 sin 2 被圆 4 截得的弦长为 4 解析 直线 sin 2 可化为x y 2 0 圆 4 可化为x2 y2 16 4 2 用心 爱心 专心 2 由圆中的弦长公式得 2 2 4 r2 d2 42 2 2 2 2 3 答案 4 3 6 设平面上的伸缩变换的坐标表达式为Error Error 则在这一坐标变换下正弦曲线y sin x 的方程变为 S OA OB sin 3 1 2 3 6 答案 3 8 在极坐标系中 直线 截圆 2cos R 所得的弦长是 6 6 解析 把直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程分别为y x和 3 3 2 2 1 x 3 2 y 1 2 显然圆心在直线y x上 3 2 1 2 3 3 故所求的弦长等于圆的直径的大小 即为 2 答案 2 9 直线 2x 3y 1 0 经过变换可以化为 6x 6y 1 0 则坐标变换公式是 解析 设直线 2x 3y 1 0 上任一点的坐标为 x y 经变换后对应点的坐标为 x y 设坐标变换公式为Error Error Error Error 将其代入直线方程 2x 3y 1 0 得x y 1 0 将其与 2 k 3 h 用心 爱心 专心 3 6x 6y 1 0 比较得k h 1 3 1 2 坐标变换公式为Error Error 答案 Error Error 10 在极坐标系 0 2 中 曲线 2sin 与 cos 1 的交点 的极坐标为 所以 2 cos sin 2 2 转化为直角坐标方程为x2 y2 x y 2 2 即 2 2 x 2 4 y 2 4 1 4 即以为圆心 为半径的圆 2 4 2 4 1 2 12 同一平面直角坐标系中 经过伸缩变换Error Error 后 曲线C x2 y2 36 变为何种曲 线 并求曲线的焦点坐标 用心 爱心 专心 4 13 已知两点A B的极坐标分别为 4 2 4 6 1 求A B两点间的距离 2 求直线AB的极坐标方程 14 在极坐标系中 已知圆C的圆心坐标为C 半径R 求圆C的极坐标方 2 3 5 程 解析 将圆心C化成直角坐标为 1 半径R 故圆C的方程为 x 1 2 3 35 2 y 5 5 3 再将C化成极坐标方程 得 cos 1 2 sin 2 5 3 化简 得 2 4 cos 1 0 3 此即为所求的圆C的极坐标方程 15 在极坐标系中 已知三点M N 2 0 P 2 5 3 2 3 6 用心 爱心 专心 5 1 将M N P三点的极坐标化为直角坐标 2 判断M N P三点是否在一条直线上 圆O的直角坐标方程为 x2 y2 x y 即x2 y2 x y 0 直线l sin 即 sin cos 1 则直线l的直角坐标方程为 4 2 2 y x 1 即x y 1 0 2 由Error Error 得Error Error 故直线l与圆O公共点的极坐标为 1 2 17 在极坐标系中 直线l的极坐标方程为 R 以极点为原点 极轴为x 3 轴的正半轴建立平面直角坐标系 曲线C的参数方程为Error Error 为参数 求直线l与曲线 C的交点P的直角坐标 解析 因为直线l的极坐标方程为 R 3 所以直线l的普通方程为y x 3 又因为曲线C的参数方程为Error Error 为参数 所以曲线C的直角坐标方程为y x2 x 2 2 1 2 联立 解方程组得Error Error 或Error Error 根据x的范围应舍去Error Error 故P点的直角坐标为 0 0 用心 爱心 专心 6 18 如图 在圆心的极坐标为A 4 0 半径为 4 的圆中 求过极点O的弦的中点的轨迹 的极坐标方程 并将其化为直角坐标方程 解析 设M 是轨迹上任意一点 连结OM并延长交圆A于点P 0 0 则 有 0 0 2 由圆心为 4 0 半径为 4 的圆的极坐标方程为 8cos 得 0 8cos 0 所以 2 8cos 即 4cos 故所求轨迹方程是 4cos 它表示以 2 0 为圆心 2 为半径的圆 因为x cos y sin 由 4cos 得 2 4 cos 所以 x2 y2 4x 即x2 y2 4x 0 为圆的直角坐标方程 19 求证 过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数 证明 建立如图所示的极坐标系 设抛物线的极坐标方程为 PQ是抛 p 1 cos 物线的弦 若点P的极角为 则点Q的极角为 因此有FP p 1 cos FQ p 1 cos p 1 cos 所以 1 FP 1 FQ 1 cos p 1 cos p 常数 2 p 用心 爱心 专心 7 20 如图 点A在直线x 4 上移动 OPA为等腰直角三角形 OPA的顶角为 OPA O P A依次按顺时针方向排列 求点P的轨迹方程 并判断轨迹形状 得点P的轨迹的极坐标方程为 cos 4 2 4 由 cos 4 得 cos sin 4 2 4 点P的轨迹的普通方程为x y 4 是过点 4 0 且倾斜角为的直线 3 4 21 已知圆M Error Error 为参数 的圆心F是抛物线E Error Error 的焦点 过焦点F的直线 交抛物线于A B两点 求AF FB的取值范围 解析方法代码 108001169 用心 爱心 专心 8 所以AF FB t1t2 4 sin2 因为 0 sin2 1 所以AF FB的取值范围是 4 22 已知直线l经过点P 1 1 倾斜角 6 1 写出直线l的参数方程 2 设l与圆Error Error 是参数 相交于两点A B 求点P到A B两点的距离之积 解析 1 直线的参数方程是Error Error t是参数 2 点A B都在直线l上 可设点A B对应的参数分别为t1和t2 则点A B的坐 标分别为A B 1 3 2 t1 1 1 2t1 1 3 2 t2 1 1 2t2 将直线l的参数方程代入圆的方程x2 y2 4 整理得t2 1 t 2 0 3 t1和t2是方程 的解 从而t1t2 2 PA PB t1t2 2 2 23 已知直线l的参数方程为Error Error t为参数 曲线C的极坐标方程为 2cos 2 1 1 求曲线C的普通方程 2 求直线l被曲线C截得的弦长 解析方法代码 108001170 用心 爱心 专心 9 从而弦长为 t1 t2 t1 t2 2 4t1t242 4 6 24 在平面直角坐标系xOy中 直线l的参数方程为Error Error t为参数 椭圆C的方程为 Error Error 为参数 R 试在椭圆C上求一点P 使得P到直线l的距离最小 解析 方法一 直线l的普通方程为x 2y 4 0 设P 2cos sin 点P到直线l的距离为 d 2cos 2sin 4 5 1 5 4 2 2sin 4 所以当 s