3-12 -恰当方程与积分因子

2 3 恰当方程与积分因子方法恰当方程与积分因子方法 Exact differential equation and method of integrating factor 教学内容教学内容 1 认识恰当方程 如何判定恰当方程 2 介绍如何求解恰当方程 3 介绍什么叫 积分因子 4 介绍如何寻找积分因子 5 积分因子一些性质 教学重难点教学重难点 重点是会判定和求解恰当方程 难点是如何寻找方程的积分因子 教学方法教学方法 自学 1 4 讲授 2 3 课堂练习 考核目标考核目标 1 熟练判定一个一阶方程是否为恰当方程 2 会求解恰当方程 3 知道积分因子的概念 4 会寻找积分因子 并求解方程 1 一阶微分形式的原函数存在性及其求法一阶微分形式的原函数存在性及其求法 的全微分为 sin 3y ey u x 2x cos 3y dy3esin 3y dx2edyudxudu 2x2x yx 我们称 u x y 为一阶微分形式的一个原函数 并不是任一cos 3y dy3esin 3y dx2e 2x2x 微分形式都有原函数的 例如 数学分析 下册 P228 定理 21 12 给出了如dyxy dx2x 何判定是否存在原函数充要条件 这里 P x y Q x y 在单连通区dy y Q x dx y P x 域 D 内具有一阶连续偏导数 例例 33 判定一阶微分形式是否为某个函数 u x y 的全微分 y dy cos x y dxsin 2x 如果是 求出它的原函数 u x y 解 记 易见 P x y 和 Q x y 在单连通区域y cos x y Q x y sin 2xy P x 内具有一阶连续偏导数 且 格林公式 2 R0 x P x Q 0 即积分路径无关 因此由定理 21 12 知 D yx L dxdyP QQdyPdx 恰是某个函数 u x y 的全微分 y dy cos x y dxsin 2x 求函数求函数 u x y 方法一方法一 由知 y P x ux C y ysin x xy dxP x y u x 2 再由知 即 常y Q x uy y cosx y Cy cosx y x uy 1 CC y 0 y C 数 特别地 取 得到一个原函数为 0C1 1 2 Cysin x xy u x 求原函数方法二求原函数方法二 由定理 21 12 知 曲线积分与路径无关性且y dy cos x y dxsin 2x 特别地 取折线段 OA y 0 t s 0 0 y dyQ x y dxP x t u s sx0 则ty0 s x AB tcos ssydy cos s2xdx QdyPdxQdyPdxt u s 2 t 0 s 0ABOA 将自变量 s t 换为 x y 得到 y cosx xy u x 2 练习练习 28 判定一阶微分形式是否为某个函数 u x y 的 dyy 2xy x dxy 2xy x 2222 全微分 如果是 求出它的原函数 u x y 2 恰当方程恰当方程 Exact equation 的概念及其解法的概念及其解法 1 设一阶方程为 其中 M x y N x y 在单连通区域内具有一阶连续偏 y N x y M x dx dy 导数 改写为对称形式 如果恰好0y dyN x y dxM x y dyN x y dxM x 为某个函数 u x y 的全微分 则称方程 为恰当方程 2 恰当方程的解法 y dyN x y dxM x Step a 求出一阶微分形式一个原函数 u x y 则 0NdyMdxy du x Step b 由一个二元函数两个偏导数都为零知 该二元函数为常函数 于是 有 Cy u x 这就是恰当方程的通积分 例 34 Use the method of exact equations to solve 1 dx dy ycot 2 x Solution First we rearrange the equation as 0dyy cot dx x 2 Let 在的单连通区域内 Test ycot y N x x 2 y M x 0 x 000 y M x N for exactness 因此为恰当方程 0dyy cot dx x 2 Assume that u x y is a antiderivative 原函数 of then dyy cot dx x 2 Nu M u yx a Integrating the first equality we get C y 2ln xdx x 2 y u x b Differentiating the above equality we get ysin y cos dy dC y cot y Cy x uy c Integrating the above equality we get dy ysin y cos dC y ysin lnC y So u x y and general integral 通积分 of equation is ysin x ln 2 1 2 C ysin x ln 例例 35 求解下列方程 02y dye x dxe yy Solution Let 2yxey N x ey M x yy First we apply the test for exactness 恰当方程判定方法 So equation is exact equation 0eeMN yy yx Assume u x y is an antiderivative of M d x N d y then Nu M u yx a Integrating the first equality u x y C y ex dxe yy b Differentiating the above equality 2y y C 2y xe y Ceu yy y c Integrating the we get 2ydydC 2 yC y So u x y and general integral of equation is 2y yex C yex 2y 作业作业 29 Determine which of the following equations is exact Solve those that are exact a b 0 dyy x dxx y 33 y dx cos x cos e dyxeysin sin x yy 作业作业 30 For each of the following equations find the value of n for which the equation is exact Then solve the equation for that value of n a b 0y dyx xy dxn x xy 2322 0dyen x dxey x 2xy2xy 3 积分因子 积分因子 Integrating Factor 如果一个方程是恰当方程 则它的求解过程是程序化的 但并不是任一个方程都是恰当的 那么能否通过某种操作或等价变换使得它化为恰当方程呢 尝试如下 例例 36 求解 0 x dyy xydx 2 解 记 则验证 即原方程不x y xy N x y y M x 2 0112xyMN yx 是恰当的 但是在原方程两边乘以 则新方程为 0 x 1 y x 2 0 dy x 1 ydx x y 2 此时 有 新方程是恰当方程 2 2 2 x x y x y x N x y y x M 0 x 1 x 1 M N 22 yx 记 u x y 为一个原函数 则 dyN dxM N u M u yx a 对第一个等式两边积分得到 C y x y dx x y y u x 2 b 对上式两边关于 y 求导得到 y dy dC y y C x 1 y y C x 1 uy c 对两边积分得到 于是 ydydC 2 y C y 2 2 y x y y u x 2 因此 原方程的通积分为 1 2 C 2 y x y y u x 注解注解 37 这里有几个问题需要回答 1 方程和乘以因子后所得0NdyMdx y x 新方程是否等解 如果不等解 那么问题出在哪 2 如何寻找方程一0dyN dxM 个积分因子 使之成为恰当方程 关于问题 1 的回答是如果因子 则两方程等价 否则可能不等价 上课听0y x 讲 关于问题 2 的回答 研究如果两边乘以因子所得方程0NdyMdx y x 为恰当方程 则需要满足什么条件 0dy N dx M y x 这是一个偏微分方程 由此0 y M x N yxyx MNMN 确定出难度不低于原常微分方程 现作如下简化假定 y x 情形一 只是 x 的函数 于是方程 简化为 反过来检y x xyx NMN 验是否只为变量 x 的方程 若是 求解 得到 N M N yx N MN dx d yx dx N MN yx ey x 情形二 只是 y 的函数 于是方程 简化为 反过来检验y x yyx MMN 是否只为变量 y 的方程 若是 求解 得到 M M N yx M M N dy d yx dy M MN yx ey x 例例 38 1 寻找方程的积分因子 0 x dyy xydx 2 2 寻找方程的积分因子 并求解该方程 02xydx dyy 3x 22 解 记 则xyxy N x y y M x 2 1 x xyN 1 2 xy112xyMN yx 于是 恰好为 x 的函数 因此 所求积分因子为 x 2 N MN yx 2 dx x 2 x 1 ey x 由例 36 知 原方程通积分为原方程的通积分为 1 2 C 2 y x y y u x 另一方面 注意到没有定义的点 x 0 易验证 x 0 也是方程的解 上课听讲 2 x 1 y x 2 记 22 y 3xy N x 2xy y M x 2xyM 8x 2x6xMN yx 于是 恰好为 y 的函数 因此 所求积分因子为 y 4 M MN yx 4 dy y 4 y 1 ey x 0dy y y 3x dx y 2x 0 dx y 2xy dy y y 3x 4 22 344 22 记 u x y 为方程左端一个原函数 则 C y y x dx y 2x y u x 3 2 3 解得 于是 u x y 24 2 4 2 y y 1 y 3x y C y x 3y x u y 1 C y y 1 y x 3 2 所求通积分为 1 3 2 C y 1 y x y u x 另一方面 注意到没有定义的点 y 0 易验证 y 0 也是方程的解 上课听讲 4 y 1 y x 作业作业 31 Solve each of the following differential equations by finding integrating factor 1 2 0 xy dy x1 dx xy 2 0y dy csc2y ycot edxe xx 3 教材 P60 习题 2 1 9 4 更多关于积分因子知识和方法更多关于积分因子知识和方法 1 积分因子是二元函数情形 a 0dyx dxy 0 y x d ln yx dyx dxy b 0dyx dxy 0 y x d arctan y x dyx dxy 22 2 设齐次方程 当时 有积分因子0y dyN x y dxM x 0yNxM 并运用之来求解 yNxM 1 yx yx dx dy 解 a 回忆 若 则称为 k 次齐次函数 若Rty M x t ty M tx k y M x M x y 和 N x y 都为 k 次齐次函数 则称方程为齐次方程 y N x y M x dx dy 假定 M x y 满足连续可微条件对关于 t 求导得到 y M x t ty M tx k 令 t 1 得到恒等式y M x ktty tx yM ty tx xM 1k yx 类似地 y M x k y x yMy x xM yx y N x k y x yNy x xN yx b 考察 经计算得到0 yNxM y dyN x y dxM x yNxM y M x y yNxM y N x x 2 yyyxxx yN xM MyNN xMyN xMM NyNxM MyN xMN 因此新方程为恰当方程 0 yN xM N Mk M Nk yN xM NyM xM MyNx N 22 yxyx c 考察方程 改写为 yx yx dx dy 0y dy x y dx x 取 则新方程为 22 yx 1 y xy y x x 1 0 yx y dy x y dx x 22 分组为 0 yx x dy ydx ydy xdx 22 0 yx x dy ydx yx ydy xdx 2222 即 0 yx x dy ydx y2 x y