2012年重点中学高考数学复习 第15课时 正弦定理、余弦定理（3）学案 湘教版

用心 爱心 专心1 课课 题题 正弦定理 余弦定理 正弦定理 余弦定理 3 3 教学目的 教学目的 1 进一步熟悉正 余弦定理内容 2 能够应用正 余弦定理进行边角关系的相互转化 3 能够利用正 余弦定理判断三角形的形状 4 能够利用正 余弦定理证明三角形中的三角恒等式 教学重点 教学重点 利用正 余弦定理进行边角互换时的转化方向 教学难点教学难点 三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求 授课类型 授课类型 新授课 课时安排 课时安排 1 课时 教教 具具 多媒体 实物投影仪 教学方法教学方法 启发引导式 1 启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时 要注意正弦定理 余弦 定理的适用题型与所证结论的联系 并注意特殊正 余弦关系的应用 比如互 补角的正弦值相等 互补角的余弦值互为相反数等 2 引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断 重在发挥正 余弦定理的边角互换作用 教学过程教学过程 一 复习引入 一 复习引入 正弦定理 R C c B b A a 2 sinsinsin 余弦定理 cos2 222 Abccba bc acb A 2 cos 222 cos2 222 Bcaacb ca bac B 2 cos 222 Cabbaccos2 222 ab cba C 2 cos 222 二 讲授新课 二 讲授新课 1 正余弦定理的边角互换功能 对于正 余弦定理 同学们已经开始熟悉 在解三角形的问题中常会用到 它其实 在涉及到三角形的其他问题中 也常会用到它们两个定理的特殊功能 是边角互换 即利用它们可以把边的关系转化为角的关系 也可以把角的关系 转化为边的关系 从而使许多问题得以解决 用心 爱心 专心2 例例 1 1 已知a b为 ABC的边 A B 分别是a b的对角 且 求 3 2 sin sin B A 的值 B BA 解 这是角的关系 2 3 sin sin sin sin sinsin B A b a B A B b A a 又 这是边的关系 于是 由合比定理得 2 3 b a 2 5 2 23 b ba 例例 2 2 已知 ABC中 三边a b c所对的角分别是A B C 且a b c成等 差数列 求证 sinA sinC 2sinB 证明 a b c成等差数列 a c 2b 这是边的关系 又 B Ab a C c B b A a sin sin sinsinsin B Cb c sin sin 将 代入 得整理得b B Cb B Ab 2 sin sin sin sin sinA sinC 2sinB 这是角的关系 2 正 余弦定理的巧用 某些三角习题的化简和求解 若能巧用正 余弦定理 则可避免许多繁杂 的运算 从而使问题较轻松地获得解决 现举例说明如下 例例 3 3 求 sin220 cos280 sin20 cos80 的值3 解 原式 sin220 sin210 2sin20 sin10 cos150 20 10 150 180 20 10 150 可看作一个三角形的三个内角 设这三个内角所对的边依次是a b c 由余弦定理得 a2 b2 2abcos150 c2 而由正弦定理知 a 2 sin20 b 2 sin10 c 2 sin150 代 入 式得 sin220 sin210 2sin20 sin10 cos150 sin2150 4 1 原式 4 1 例例 4 4 在 ABC中 三边长为连续的自然数 且最大角是最小角的 2 倍 求此三 角形的三边长 cossin22sin 用心 爱心 专心3 分析 由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系 故需利用正弦定理建 立边角关系其中利用正弦二倍角展开后出现了 cos cossin22sin 可继续利用余弦定理建立关于边长的方程 从而达到求边长的目的 解 设三角形的三边长分别为 1 2 其中 又设最 小角为 则 cossin2 2 2sin 2 sin xxx x x 2 2 cos 又由余弦定理可得 2 1 2 2 2 2 1 2 cos 将 代入 整理得 2 3 4 0 解之得 1 4 2 1 舍 所以此三角形三边长为 4 5 6 评述 此题所求为边长 故需利用正 余弦定理向边转化 从而建立关 于边长的方程 例例 5 5 已知三角形的一个角为 60 面积为 10c 2 周长为 20c 求此三3 角形的各边长 分析 此题所给的题设条件除一个角外 面积 周长都不是构成三角形的 基本元素 但是都与三角形的边长有关系 故可以设出边长 利用所给条件建 立方程 这样由于边长为三个未知数 所以需寻求三个方程 其一可利用余弦 定理由三边表示已知 60 角的余弦 其二可用面积公式 ABC absinC表 2 1 示面积 其三是周长条件应用 解 设三角形的三边长分别为a b c B 60 则依题意得 20 31060sin 2 1 2 60cos 222 cba ac ac bca 40 20 222 ac accab cba 由 式得 b2 20 a c 2 400 a2 c2 2ac 40 a c 将 代入 得 400 3ac 40 a c 0 再将 代入得a c 13 由 b1 7 b2 7 5 8 8 5 40 13 2 2 1 1 c a c a ac ca 或解得 用心 爱心 专心4 所以 此三角形三边长分别为 5c 7c 8c 评述 1 在方程建立的过程中 应注意由余弦定理可以建立方程 也要 注意含有正弦形式的面积公式的应用 2 由条件得到的是一个三元二次方程组 要注意要求学生体会其求解的 方法和思路 以提高自己的解方程及运算能力 三 课堂练习三 课堂练习 1 在 ABC中 已知B 30 b 50 c 150 那么这个三角形是 3 A 等边三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形 D 等腰三角形或直角三角形 2 在 ABC中 若b2sin2C c2sin2B 2bccosBcosC 则此三角形为 A 直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 3 在 ABC中 已知 sinA sinB sinC 6 5 4 则 secA 4 ABC中 则三角形为 B A B A sin sin tan tan 5 在 ABC中 角A B均为锐角且 cosA sinB 则 ABC是 6 已知 ABC中 试判断 ABC的形AbBac cba cba coscos 2 222 且 状 7 在 ABC中 a2 b2 sin A B a2 b2 sin A B 判断 ABC的形状 参考答案 1D 2A 3 8 4 等腰三角形 5 钝角三角形 6 等边三角形 7 等腰三角形或直角三角形 四 小结四 小结 熟悉了正 余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用 并利用正 余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断 五 课后作业 五 课后作业 1 在 ABC中 已知 求证 a2 b2 c2成等差数列 sin sin sin sin CB BA C A 证明 由已知得 sin B C sin B C sin A B sin A B cos2B cos2C cos2A cos2B 2cos2B cos2A cos2C 2sin2B sin2A sin2C 2 2cos1 2 2cos1 2 2cos1 2 BAB 由正弦定理可得 2b2 a2 c