【教学设计】《柱、锥、台的体积》（北师大版）-1

柱 锥 台的体积柱 锥 台的体积 本课是北师大版普通高中数学必修二第一章第七节的内容 几何体指的是一个物体所 占有的空间部分 常见的有柱体 锥体 台体等等 几何体不仅仅包括它的外表面 还包 括它内部的部分 认识柱 锥 台的结构特征 会用平行投影法 三视图法 直观图法绘 制空间图形 柱 锥 台等几何体的表面积和体积的求法 平面的基本性质 空间直线的 位置关系 直线与平面之间及两平面之间平行和垂直关系 掌握好上述内容 就抓住了立 体几何中最重要 最根本的内容 其他部分也就迎刃而解了 知识与能力目标 通过对柱 锥 台体研究 掌握柱 锥 台体体积求法 能运用公式求柱 锥 台体体积 过程与方法目标 通过对照比较 理解柱 锥 台体三者间体积的关系 情感态度价值观目标 教材分析教材分析 教学目标教学目标 通过学习柱 锥 台体 球的体积及球的表面积 提升空间思维的能力 教学重点 柱 锥 台体 球的体积计算 教学难点 柱 锥 台体体积公式的理解及其应用 电子课件调整 相应的教具带好 熟悉学生名单 电子白板要调试好 一 导入部分 埃及胡夫金字塔大约建于公元前 2580 年 其形状为正四棱锥 金字塔高约 146 6 m 底面边长约 230 4 m 问 这座金字塔的侧面积和体积各是多少 二 研探新知 建构概念 1 电子白板投影出上面实例 解 如图 AC 为高 BC 为底面的边心距 则 AC 146 6 m BC 115 2 m 底面周长 c 4 230 4 m 侧面积 1 2 1 2 4 230 4 115 22 146 62 85916 2 2 1 3 1 3 230 42 146 6 2594046 0 3 2 教师组织学生分组讨论 先让学生分析 师生一起归纳 柱 锥 台体的体积公式 教学重难点教学重难点 课前准备课前准备 教学过程教学过程 三 质疑答辩 发展思维 1 举例 某几何体的三视图如图所示 该几何体的体积为 A B C D 3 4 3 5 2 7 3 解析 解析 根据几何体的三视图 得该几何体是下部为直三棱柱 上部为三棱锥的组合体 如图 所示 则该几何体的体积是 V几何体 V三棱柱 V三棱锥 2 1 1 2 1 1 1 2 1 3 1 2 4 3 答案 答案 A 2 思考思考 1 1 如何求锥体的体积 解 解 求锥体的体积 要选择适当的底面和高 然后应用公式 V Sh 进行计算即可 常用方 1 3 法为割补法和等积变换法 1 割补法 求一个组合体的体积可以将这个组合体分割成几个柱体 锥体 或补成一 个柱体或锥体 求出柱体和锥体的体积 从而得出几何体的体积 2 等积变换法 三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面 求体积时 可选择容易计算 名称体积公式 柱体V柱体 Sh S 为底面面积 h 为高 V圆柱 r2h r 为底面半径 锥体 V锥体 Sh S 为底面面积 h 为高 V圆锥 r2h r 为底面半径 1 3 1 3 台体 V台体 S S h S S 分别为上 下底面面积 h 为高 1 3 V圆台 h r 2 rr r2 r r 分别为上 下底面半径 1 3 的方式来计算 思考思考 2 2 如何求台体的体积 解 1 求台体的体积 其关键在于求高 一般地 把高放在直角梯形中求解 2 还台为锥 是一种求解台体的重要思想 借助相似等手段以及相关知识求解 3 例题 例例 1 1 如图 三棱柱 ABC A1B1C1中 CA CB AB AA1 BAA1 60 1 证明 AB A1C 2 若 AB CB 2 A1C 求三棱柱 ABC A1B1C1的体积 6 解 1 证明 取 AB 的中点 O 连接 OC OA1 A1B 因为 CA CB 所以 OC AB 由于 AB AA1 BAA1 60 故 AA1B 为等边三角 形 所以 OA1 AB 因为 OC OA1 O 所以 AB 平面 OA1C 又 A1C不在平面 OA1C内 故 AB A1C 2 由题设知 ABC 与 AA1B 都是边长为 2 的等边三角形 所以 OC OA1 3 又 A1C 则 A1C2 OC2 OA 故 OA1 OC 6 2 1 因为 OC AB O 所以 OA1 平面 ABC OA1为三棱柱 ABC A1B1C1的高 又 ABC 的面积 S ABC 故三棱柱 ABC A1B1C1的体积 V S ABC OA1 3 3 例例 2 2 已知一个正三棱台的两底面分别为边长为 20 cm 和 30 cm 且其侧面积等于两底面面 积之和 求棱台的高和体积 解 如图所示 正三棱台 ABC A B C 中 O O 为两底面的中心 D D 是 BC B C 的中点 则 DD 是梯形 BCC B 的高 所以 S侧 20 30 DD 3 75DD 又 1 2 A B 20 AB 30 则上 下底面面积之和为 S上 S下 202 302 325 由 S 3 4 3 侧 S上 S下得 75DD 325 所以 DD 在直角梯形 O ODD 中 OD 5 3 13 3 3 O D 3 10 3 3 2 2 13 3 3 2 5 3 10 3 3 2 4 3 即棱台的高 h cm 由棱台的体积公式 可得棱台的体积为 4 3 V S上 S下 1 900 cm3 3 上 下 4 3 3 3 4 202 3 4 302 3 4 20 30 4 巩固练习 1 已知圆柱的侧面展开图的面积为 S 底面周长为 c 它的体积是 A B C D 3 4 4 3 2 4 解析 由题意知 2 r c 所以 r 又因为 ch S 所以 h 所以 2 V r2h 2 故选 D 2 4 答案 D 2 一个几何体的三视图如图所示 则这个几何体的体积为 A B C D 2 3 3 16 3 4 3 3 8 3 3 解析 由三视图知 该几何体是如图所示的三棱锥 且 VO 底面 ABC VO OA OB OC 2 V S 2 3 1 3 底 h 故选 D 1 3 1 2 4 2 2 3 8 3 3 答案 D 3 我国古代数学名著 数书九章 中有 天池盆测雨 题 在下雨时 用一个圆台形的 天池盆接雨水 天池盆盆口直径为二尺八寸 盆底直径为一尺二寸 盆深一尺八寸 若盆 中积水深九寸 则平地降雨量是 寸 注 平地降雨量等于盆中积水体积除以盆 口面积 一尺等于十寸 解析 圆台的下底面半径为 6 寸 上底面半径为 14 寸 高为 18 寸 雨水线恰为中位线 故雨水线截面的半径是 10 寸 所以降水量为 3 10 2 10 6 62 9 142 3 寸 答案 3 四 课堂小结 柱 锥 台体的体积公式 五 作业布置 课后书面作业 第 51 页习题 1 7A 组第 8 题 略 名称体积公式 柱体V柱体 Sh S 为底面面积 h