2011年高考数学二轮复习 选考部分——第2讲不等式选讲精品学案

1 选考部分第二讲 不等式选讲选考部分第二讲 不等式选讲 1 2010 2010 江苏高考江苏高考 2 2 设 x y 为实数 满足 3 2 xy 8 4 y x2 9 则 4 3 y x 的最大值是 命题立意 本题考查不等式的基本性质 等价转化思想 思路点拨 32 2 42 1 xx yyxy 规范解答 2 2 16 81 x y 2 11 1 8 3xy 32 2 42 1 2 27 xx yyxy 4 3 y x 的最大值是 27 答案 27 2 2010 2010 浙江高考文科浙江高考文科 1515 若正实数 x y 满足26xyxy 则xy的最小值是 命题立意 本题主要考察了用基本不等式解决最值问题的能力 以及换元思想和简单一元二次不等式 的解法 属中档题 思路点拨 本题可利用均值不等式构造出关于xy的不等式 解出xy的范围 规范解答 运用基本不等式 62262 xyyxxy 令 2 txy 可得0622 2 tt 注 意到 t 0 解得 t 23 故xy的最小值为 18 答案 18 方法技巧 均值不等式有两个常用变形 1 当和为定值时 积有最大值 即 2 2 ab ab 2 当积为定值时 和有最小值 即2abab 3 2010 2010 四川高考理科四川高考理科 1212 设0abc 则 22 11 21025 aacc aba ab 的最小值是 A 2 B 4 C 2 5 D 5 命题立意 本题考查创造条件 利用均值不等式求最值问题及完全平方公式 但要注意 取等号成立时的条件 思路点拨 本题多个和的最小值 故可选用基本不等式 为了使积为定值 故需对原式进行配凑 原 2 则是出现 1 ab ab 1 a ab a ab 222 1025 5 aaccac 因多个等号同时成 立 注意等号成立的条件 规范解答 选 B 原式 222 11 1025 aaababacc aba ab 22 11 1025 a ababaaca a abab 2 11 2 2 5 a ababac a abab 2 4 5 404ac 当且仅当 1 1 5 ab a ab ac 即 22 2 25 abc 时 等号成立 方法技巧 基本不等式成立的条件 一正 二定 三相等 4 2010 2010 辽宁高考理科辽宁高考理科 2424 已知cba 均为正数 证明 36 111 2222 cba cba 并 确定cba 为何值时 等号成立 命题立意 本题考查了 不等式的性质 考查了均值不等式 思路点拨 把 222 111 abc abc 分别用均值不等式 相加后 再用均值不等式 规范解答 证法一 a b c均为正数 由均值不等式得 2 222 3 3 abcabc 1 3 111 3 abc abc 2 2 3 111 9 abc abc 22 2222 33 111 3 9 abcabcabc abc 22 33 3 9 2 276 3abcabc 又 原不等式成立 当且仅 当a b c时 式和 式等号成立 当且仅当 22 33 3 9 abcabc 时 式等号成立 3 即当a b c 1 4 3时原式等号成立 证法二 a b c 都是正数 由基本不等式得 22 22 22 2 2 2 abab bcbc caac 222 abcabbcac 同理 111111 abcabbcac 2222 111 111 333 abc abc abbcac abbcac 6 3 原不等式成立 当且仅当a b c时 式和 式等号成立 当且仅当a b c 222 3abbcac 时 式等号成立 即当a b c 1 4 3时原式等号成立 5 5 按照某学者的理论 假设一个人生产某产品单件成本为a元 如果他卖出该产品的单价为m元 则 他的满意度为 m ma 如果他买进该产品的单价为n元 则他的满意度为 n na 如果一个人对两种交易 卖出或买进 的满意度分别为 1 h和 2 h 则他对这两种交易的综合满意度为 1 2 hh 现假设甲生产 A B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元 乙生产 A B 两种产品的单件成本分别为 3 元和 20 元 设产品 A B 的单价分别为 A m元和 B m元 甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为h乙 乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为h乙 1 求h乙和h乙关于 A m B m的表达式 当 3 5 AB mm 时 求证 h乙 h乙 2 设 3 5 AB mm 当 A m B m分别为多少时 甲 乙两人的综合满意度均最大 最大的综合满意 度为多少 3 记 2 中最大的综合满意度为 0 h 试问能否适当选取 A m B m的值 使得 0 hh 乙 和 4 0 hh 乙 同时成立 但等号不同时成立 试说明理由 解析 1 当 3 5 AB mm 时 2 3 5 3 5 20 5 12 5 B BB BBB B m mm h mmm m 甲 2 3 5 3 20 5 20 3 5 B BB BBB B m mm h mmm m 乙 h乙 h乙 2 当 3 5 AB mm 时 2 2 11 20511 20 5 1 1 100 251 B BB BBBB m h mm mmmm 甲 由 111 5 20 20 5 B B m m 得 故当 11 20 B m 即20 12 BA mm 时 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 10 5 3 由 2 知 0 h 10 5 由 0 10 1255 AB AB mm hh mm 甲 得 1255 2 AB AB mm mm 令 35 AB xy mm 则 1 1 4 xy 即 5 14 1 2 xy 同理 由 0 10 5 hh 乙 得 5 1 14 2 xy 另一方面 1 1 4 xy 141xx 5 1 4y 2 5 1 y 2 2 55 1 4 1 1 1 4 22 yxy 当且仅当 1 4 xy 即 A m 3 5 B m时 取等号 由 1 知 A m 3 5 B m 时 h甲 h乙 所以不能否适当选取 A m B m的值 使得 0 hh 乙 和 0 hh 乙 同时成立 但等号不同时成立 5 6 2010 2010 福建高考理科福建高考理科 2121 已知函数f x xa 若不等式f x 3 的解集为 x 1 x 5 求实数a的值 在 的条件下 若f x f 5x m对一切实数x恒成立 求实数m的取值范围 命题立意 本小题主要考查绝对值的意义 绝对值不等式等基础知识 考查运算求解能力 思路点拨 1 由公式求解含绝对值的不等式 进而求出 a 的值 2 求出 g x 利用零点区间讨论 法进行分类谈论求解 规范解答 1 33333 axaaxax 对应系数得2 a 2 32 xxxg的图像为所以5 xg 故5 m 7 设函数 1 f xxxa 1 若1 a 解不等式 3f x 2 如果xR 2f x 求a的取值范围 解析 1 当1a 时 1 1 f xxx 由 3f x 得 1 1 3xx 法一 由绝对值的几何意义知不等式的解集为 33 22 x xx 或 法二 不等式可化为 1 23 x x 或 11 23 x 或 1 23 x x 不等式的解集为 33 22 x xx 或 5 分 2 若1a 2 1 f xx 不满足题设条件 若1a 21 1 1 2 1 1 xaxa f xaax xax f x的最小值为1 a 若1a 21 1 1 1 2 1 xax f xaxa xaxa f x的最小值为1a 所以对于xR 2f x 的充要条件是 1 2a 从而 a 的取值范围 1 3 8 已知 且 求证 6 证明证明 显然 是方程的两个实根 由得 同理可得 9 求最小实数 M 使得对一切实数 a b c 都成立不等式 解析解析 设 则 原不等式成为 中两个同号而与另一个反号 不妨设 则 于是由算术 几何平均不等式 即时原不