2012高考数学总复习 33二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题练习 新人教版

用心 爱心 专心 1 第三十三讲第三十三讲 二元一次不等式二元一次不等式 组组 与简单的线性规划问题与简单的线性规划问题 班级 姓名 考号 日期 得分 一 选择题 本大题共 6 小题 每小题 6 分 共 36 分 将正确答案的代号填在题后的 括号内 1 已知点 3 1 和 4 6 在直线 3x 2y a 0 的两侧 则a的取值范围为 A 24 7 B 7 24 C 7 24 D 24 7 解析 根据题意知 9 2 a 12 12 a 0 即 a 7 a 24 0 7 a 24 答案 B 2 若不等式组Error 表示的平面区域是一个三角形 则a的取值范围是 A a B 0 a 1 4 3 C 1 a D 0 a 1 或a 4 3 4 3 解析 先把前三个不等式表示的平面区域画出来 如图 此时可行域为 AOB及其内部 交点B为 故当x y a过点B时a 所以a 2 3 2 3 4 3 时可行域仍为 AOB 当x y a恰为A点时 a 1 0 1 故当 0 a 1 时可行域也为三 4 3 用心 爱心 专心 2 角形 故 00 取得最大值的最优 解有无穷多个 则a的值为 A B 1 4 3 5 C 4 D 5 3 用心 爱心 专心 3 解析 由题意分析知 目标函数z ax y a 0 所在直线与直线AC重合时 满足题意 则由 a kAC 得a 故选 B 22 5 2 1 5 3 5 答案 B 5 如果实数x y满足Error 目标函数z kx y的最大值为 12 最小值为 3 那么实数 k的值为 A 2 B 2 C D 不存在 1 5 解析 如图为Error 所对应的平面区域 由直线方程联立方程组易得点A B 1 1 1 22 5 C 5 2 由于 3x 5y 25 0 在y轴上的截距为 5 故目标函数z kx y的斜率 k 3 5 将k 2 代入 过点B的截距z 2 1 1 3 过点C的截距z 2 5 2 12 符合题意 故k 2 故应选 A 答案 A 6 在如图所示的坐标平面的可行域内 阴影部分且包括边界 若目标函数z x ay取 得最小值的最优解有无数个 则的最大值是 y x a 用心 爱心 专心 4 A B 2 3 2 5 C D 1 6 1 4 解析 目标函数z x ay可化为y x z 1 a 1 a 由题意a0 则可行域取到 不能在圆内 故 m 0 即m 0 当mx y 0 绕坐标原点旋转时 直线过B点时为边界位置 此时 m m 0 m 4 3 4 3 4 3 答案 0 m 4 3 9 某实验室需购某处化工原料 106 千克 现在市场上该原料有两种包装 一种是每袋 35 千克 价格为 140 元 另一种是每袋 24 千克 价格是 120 元 在满足需要的条件下 最 少需花费 解析 设需要 35 千克的x袋 24 千克的y袋 则总的花费为z元 则Error 求z 140 x 120y的最小值 由图解法求出zmin 500 此时x 1 y 3 另外 本题也可以列举出z的所有可能取值 再求其中的最小值 由于x 0 1 2 3 4 时相应的y值和花费如下 当x 0 y 5 时 z 600 当x 1 y 3 时 z 500 当x 2 y 2 时 z 520 当x 3 y 1 时 z 540 当x 4 y 0 时 z 560 易见最少花费是 500 元 答案 500 元 10 当不等式组Error 所表示的平面区域的面积最小时 实数k的值等于 解析 不等式组所表示的区域由三条直线围成 其中有一条直线kx y 2 k 0 k 0 是不确定的 但这条直线可化为y 2 k x 1 所以它经过一个定点 1 2 因此问题转化 用心 爱心 专心 6 为求经过定点 1 2 的直线与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积的最小值问题 如 图所示 设围成区域的面积为S 则S OA OB 2 k 因为k0 有S 4 2 4 当且仅当 k 即 1 2 4 k 4 k 1 2 4 k 4 k 1 24 4 k k 2 时 平面区域最小 故填 2 答案 2 三 解答题 本大题共 3 小题 11 12 题 13 分 13 题 14 分 写出证明过程或推演步 骤 11 某人有楼房一幢 室内面积共计 180 m2 拟分隔成两类房间作为旅游客房 大房间 每间面积 18 m2 可住游客 5 名 每名游客每天住宿费 40 元 小房间每间面积 15 m2 可住 游客 3 名 每名游客每天住宿费为 50 元 装修大房间每间需要 1000 元 装修小房间每间需 要 600 元 如果他只能筹款 8000 元用于装修 且游客能住满客房 他隔出大房间和小房间 各多少间 能获得最大效益 解 设隔出大房间x间 小房间y间时收益为z元 则x y满足Error Error 可行域为如图所示的阴影 含边界 作直线l 200 x 150y 0 即直线l 4x 3y 0 把直线l向右上方平移至l1的位置时 交点为B 且与原点的距离最大 此时 z 200 x 150y 解方程组Error 得到B 20 7 60 7 由于点B的坐标不是整数 而最优解 x y 中的x y必须都是整数 所以 可行域内 用心 爱心 专心 7 的点B不是最优解 通过检验 要求经过可行域内的整点 且使z 200 x 150y取 20 7 60 7 得最大值 经过的整点是 0 12 和 3 8 此时z取最大值 1800 元 于是 隔出小房间 12 间 或大房间 3 间 小房间 8 间 可以获得最大收益 评析 本题是一道用线性规划求解的实际应用问题 难点在于求目标函数的最优整数 解 这里所用到的方法即是 局部微调法 需要先判断出在B点取得最大值 再在B点附 近区域做微调 找到满足题意的整数解 12 设实数x y满足不等式组Error 1 求作点 x y 所在的平面区域 2 设a 1 在 1 所求的区域内 求函数f x y y ax的最大值和最小值 分析 先把已知不等式组转化为等价的线性约束条件 然后作出可行域 并找出最优 解 解 1 已知的不等式组等价于 Error 或Error 解得点 x y 所在平面区域为如图所示的阴影部分 含边界 其中 AB y 2x 5 BC x y 4 CD y 2x 1 DA x y 1 2 f x y 表示直线l y ax b在y轴上的截距 且直线l与 1 中所求区域有公共 点 a 1 当直线l过顶点C时 f x y 最大 C点的坐标为 3 7 f x y 的最大值为 7 3a 用心 爱心 专心 8 如果 12 那么直线l过顶点B 3 1 时 f x y 最小 最小值为 1 3a 评析 本题是一道综合题 利用化归和讨论的思想将问题分解为一些简单问题 从而使 问题迎刃而解 13 已知x y满足条件 Error M 2 1 P x y 求 1 的取值范围 y 7 x 4 2 的最大值 OM OP A 3 cos MOP的最小值 OP 解 如图所示 画出不等式组Error 所表示的平面区域 其中A 4 1 B 1 6 C 3 2 1 可以理解为区域内的点与点D 4 7 连线的斜率 由图可知 连线与直线 y 7 x 4 BD重合时 倾斜角最小且为锐角 连线与直线CD重合时 倾斜角最大且为锐 角 kDB kCD 9 所以的取值范围为 1 3 y 7 x 4 1 3 9 2 由于 2 1 x y 2x y 令z 2x y 则y 2x z z表示直线OM OP A y 2x z在y轴上的截距 由可行域可知 当直线y 2x z经过A点时 z取到最大 值 这时z的最大值为zmax 2 4 1 9 3 cos MOP OP cosOM OPMOP OM 5 OM OP A 2x y 5 用心 爱心 专心 9 令z 2x y 则y 2x z z表示直线y 2x z在y轴上的截距 由 3 可