第十二章---动能定理..ppt

第十二章动能定理 12 1力的功 度量力在一段路程上对物体作用的积累效应 结果 物体的机械能发生变化 一 常力的功 W F S FScos 力矢量与位移矢量的数量积 二 变力的功 质点M在力F的作用下作曲线运动 力F与质点的无限小位移dr的数量积 称为力的元功 W F dr ds与dr为同阶无穷小 dr MM W F dr Fxdx Fydy Fzdz F Fxi Fyj Fzk dr dxi dyj dzk 功的解析表达式 元功的解析表达式 Fdscos ds与dr为同阶无穷小 ds与dr为同阶无穷小 ds与dr为同阶无穷小 若将F与dr沿坐标轴分解 则 三 几种常见力的功 重力的功 特点 重力的功只与重心的起止位置的高度差有关而与路径无关 设质点由M1运动到M2 z1 z2 Fx 0 Fy 0 Fz P 重力的在坐标轴上的投影为 对于质点系 有 即 弹性力的功 设弹簧原长为l 刚度系数为k 则弹性力为 弹性力的元功为 点M由M1到M2时 弹性力的功为 结论 弹性力的功为 弹性力的功只与起止位置弹簧的变形量有关而与路径无关 弹性力的功的特点 式中 1 初始位置弹簧变形量 2 末了位置弹簧变形量 定轴转动刚体上作用力的功 力F Ft Fr Fz 刚体转动时 力Fr和Fz方向上无位移 W F dr Ftds FtRd 力F的元功为 W Mzd Fr和Fz不作功 力F的元功为 A 式中R为力F作用点A到转轴的距离 又Mz F Mz Ft FtR Mz 刚体从角 1转到 2时 力F作的功为 力偶的功 当刚体转过角 时 力偶M的功为 W Fds F 0 Frd W Md 即力偶M的元功为 平面运动刚体上力系的功 设刚体在力系F1 F2 Fn作用下作平面运动 在dt内 刚体质心位移drc dri drC driC Wi Fi dri Fi driC Ficos MiC d Mc Fi d 力Fi对质心之矩 Fi drc Fi driC 平面运动刚体上力系的元功 W Wi Fi drc Mc Fi d W FR drc MCd 或 力系的主矢 力系对质心之主矩 则Mi的位移 转角d 力系的主矢 力系对质心之主矩 力系的主矢 力系对质心之主矩 力系的主矢 力系对质心之主矩 力Fi对质心之矩 结论 W FR drc MCd 平面运动刚体上力系的功等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和 结论 平面运动刚体上力系的元功 平面运动刚体上力系的功 纯滚动刚体上静滑动摩擦力的功 drD 接触点的位移 D为速度瞬心 vD 0静滑动摩擦力F 阻碍滑动 帮助滚动 D W F drD F vDdt 0 结论 纯滚动刚体上滑动摩擦力不作功 D D 瞬心 质点系内力的功 W FA drA FB drB FA drA FA drB FA d rA rB 即 W FAdAB 易知 内力的功之和不一定等于零 设质点A B之间的相互作用力分别为FA和FB 则FA FB的元功之和为 在dt内质点A B的位移为drA和drB FA FB FA FB FA FB FA FB 内力的功不为零的实例 摩擦力作负功 F F 作功之和不等于零 约束力的功 光滑支撑面 约束反力不作功或作功之和为零的约束称为理想约束 理想约束举例 光滑轴承或光滑铰支座 WN 0 光滑铰链联接 W N dr N dr N dr N dr 0 不可伸长的柔索 W T drA T drB TdrA T drBcos 绳子不可伸长 drA drBcos W 0 常见力的功 小结 重力的功 弹性力的功 转动刚体上力的功 力偶的功 平面运动刚体上力的功 12 2质点和质点系动能 一 质点的动能 设质点的质量为m 某瞬时速度为v 则其动能为 恒正的标量 与速度的方向无关 动能的量刚为 与功的量刚相同 与动量比较 二 质点系的动能 质点系内各质点动能的算术和即质点系的动能 恒正的标量 例12 1已知均质杆质量为m 长为l 绕z轴以匀角速度 作圆锥摆动 圆锥顶角为2 求该杆的动能 解 沿杆轴线取坐标轴x 则微元体 得 平动刚体的动能 即 定轴转动刚体的动能 Jz 即 ri 平面运动刚体的动能 瞬心 d JP riP 即 JP 刚体对瞬心的转动惯量 根据计算转动惯量的平行轴定理 有 即 平面运动刚体的动能 续 结论 作平面运动的刚体的动能 等于随质心平动的动能与绕质心转动的动能的和 例12 2计算下列各物体的动能 均质圆轮质量为m 半径为r 绕O轴转动 角速度为 求其动能 m 均质圆轮质量为m 半径为r 在水平面上纯滚动 轮心速度为v 求其动能 C m r v 或 P 瞬心 行星轮机构中 行星轮 在系杆OA的带动下绕定齿轮 转动 已知系杆的质量为m 角速度为 行星轮质量为m1 半径为r1 求系统的动能 解 T TOA T轮 P T轮 瞬心 式中 系统动能为 12 3动能定理 一 质点的动能定理 由牛顿第二定律 F dr W 即 质点动能的增量等于作用在质点上的力 或力系 的元功 质点动能定理的微分形式 F dr W F dr W 将式 质点在运动的某过程中 其动能的改变量等于作用在质点上的力 或力系 作的功 质点动能定理的积分形式 即 积分得 二 质点系的动能定理 质点系中任一质点质量为mi 速度为vi 受力 主动力Fi 约束反力Ni 则 n个质点 n个方程 主动力的元功 约束反力的元功 或 对理想约束 T WiN 0 所以 dT WF 在理想约束条件下 质点系动能的增量等于作用在质点系上的主动力的元功之和 质点系动能定理的微分形式 对式 T2 T1 WF 在理想约束条件下 质点系在运动的某过程中 其动能的改变量等于作用在质点系上的所有主动力所作功的代数和 质点系动能定理的积分形式 dT WF 积分 得 问题 在非理想约束条件下 如何应用动能定理 将摩擦力 弹簧内力等非理想约束的约束反力划入主动力计算功 例12 3 卷扬机的传动轮系如图 设轴 和 各转动部分对其轴的转动惯量分别为J1 J2 已知主动力矩M 提升重物为W mg 齿轮A B的节圆半径分别为r1 r2 且i12 1 2 r2 r1 卷筒半径为R 不计摩擦及绳质量 求重物的加速度 W M A C B 1 2 v 解 研究传动轮系及重物系统 任一瞬时系统的动能为 已知J1 J2 M R W mg i12 1 2 r2 r1 求重物加速度a 对上式求微分得质点系动能的增量为 质点系受理想约束 dT WF Md 1 mgdh Mi12 mgR dh R 两边同除以dt 且 WiN 0 得 即重物的加速度 已求得质点系动能的增量为 例12 4 置于水平面内的行星轮机构中 行星轮 在系杆OA的带动下绕定齿轮 转动 已知系杆 视为均质细杆 的质量为m 受主动力矩M作用 行星轮 视为均质轮 质量为m1 半径为r1 求系杆由静止转过 角后的角速度 角加速度 T TOA T轮 解 取整个系统作为研究对象 系统的初动能 T0 0 P 已知杆m M 行星轮m1 r1 求 角后杆的 瞬心 杆转过 角后 系统的动能 根据质点系动能定理的积分形式 有 W12 M T T0 W10 由于系统在水平面内 重力不作功 理想约束反力不作功 所以只有M作功 已求得 角后系统动能 例12 5位于水平面内的机构如图 已知曲柄OA r 重P 受常力矩M作用 连杆AB l 重Q 滑块B重G 当AO OB时 A点的速度为u 求曲柄OA转至与连杆AB成一直线时 A点的速度 解 以系统为研究对象 用动能定理 初始位置时 u r u u AB杆作瞬时平动 已知OA r P M 初瞬时vA u AB l Q 滑块B重G 求OAB成一线时 A点的速度 系统的动能为 代入 T2 T1 WF 得 当OAB成直线时 已求得OA AB时 系统 瞬心 系统的动能为 瞬心 瞬心 瞬心 例12 6图示系统中 磙子C 滑轮O均质 重量 半径均为Q r 磙子沿倾角为 的斜面纯滚动 借不可伸长的绳子提升重W的物体 同时带动滑轮O转动 求磙子质心C的加速度aC 解 方法一 用动能定理的微分形式 已知两轮Q r W 求aC 任意瞬时 系统动能为 瞬心 主动力在位移ds上的元功为 WF Qsin W ds 两边同除以dt 且 得 由质点系动能定理的微分形式 已求得系统的动能增量为 对系统进行受力分析 dT WF 方法二 用动能定理的积分形式 设系统初始动能为T0 定值 当轮心C经过距离s后 速度为vC 系统动能为 T2 T1 WF 由 两边求导 得 同样可得 得 aC vC 小结 动能定理最适于求解动力学第二类基本问题 已知主动力求运动 即求速度 加速度或建立运动微分方程 求速度宜用动能定理的积分形式 求加速度或建立运动微分方程宜用其微分形式 或先用积分形式再求导 动能定理方程中不出现理想约束的反力使解题过程大为简便 动能定理只适于单自由度系统 12 4功率 功率方程 机械效率 一 功率 单位时间力所作的功 度量作功快慢的程度 功率等于切向力与力作用点速度的乘积 对转体 作用在转体上力的功率 等于该力对转轴的矩与角速度的乘积 n 每分钟转数 功率的量刚为 功率的单位 瓦特W 焦耳 秒J s 或 二 功率方程 对质点 对质点系 质点系动能对时间的一阶导数 等于作用于质点系的所有力的功率的代数和 功率方程 三 机器功率方程 机器的功率分为P输入 P有用 P无用 则 P输入 P有用 P无用 克服有用阻力的功率或输出功率 P输入 P有用 P无用 或 有效功率 P有用 其中 四 机械效率 有效功率输入功率 度量机器对输入功率的有效利用程度 当机器稳定运转后 对多级传动系统 总效率等于各级效率的连乘积 1 2 n 即 即 12 5势力场 势能 机械能守恒定律 一 势力场 力场 质点在空间任意位置都受到一个大小 方向均为确定的力的作用 该空间称为力场 势力场 若质点在力场中运动时 力对质点所作的功 仅与质点的起止位置有关 而与路径无关 则该力场称为势力场或保守力场 重力场 弹性力场 引力场等均为势力场 若质点经过一封闭曲线回到起点 有势力的功恒等于零 即 二 势能 在势力场中 质点从点M运动到任选的参考点M0 有势力所作的功称为质点在M位置的势能 重力势能 弹性力势能 0 势能零点时弹簧的变形量 若选弹簧自然位置为势能零点 即 0 0 则 三 机械能守恒定律 质点或质点系在某一位置的动能与势能之代数和称为机械能 若质点系在运动过程中只受有势力作用 则其机械能保持不变 机械能守恒定律 这样的系统称为保守系统 T V 常数 即 如质点M在势力场中运动 选M0为零势点 则势能 M1处 V1 W10 V2 W20 M2处 W10 W12 W20 W12 W10 W20 V1 V2 根据动能定理 得 T2 T1 W12 V1 V2 即 T1 V1 T2 V2 机械能守恒定律 12 6普遍定理的综合应用 一 重要物理量 机械运动的度量 力作用的度量 物体惯性的度量 动量 动量矩 冲量 力 力系的主矢 力矩 力系的主矩 动能 功 功率 质量 转动惯量 二 动力学普遍定理的共同特点 揭示机械运动的度量与力的作用的度量两者之间的联系 建立起运动特征量随时间的变化率与表示力的作用强弱的量之间的关系 建立起运动特征量在某过程中的总变化量与力在该过程中作用的积累量之间的关系 微分形式的动力学普遍定理 积分形式的动力学普遍定理 如微分形式的普遍定理中 动量定理表达动量的变化率与力之间的关系 动量矩定理表达动量矩的变化率与力矩之间的关系 功率方程表达动能的变化率与功率之间的关系 微分形式的动能定理表达动能的微小增量与元功之间的关系 微分形式的动力学普遍定理宜于建立质点系运动微分方程 如积分形式的普遍定理中 冲量定理表达动量的增量与冲量之间的关系 积分形式的动力学普遍定理便于用来研究与有限的运动过程以及过程始末的两个瞬时状态有关的问题 动能定理表达动能的增量与功之间的关系 三 动力学普遍定理的综合应用 一题多解类同一问题用不同的定理方法求解 综合求解类不同问题用不同的的定理简捷地解 例12 7已知磙子C 滑轮O均质 重量 半径均为Q r 磙子向下作纯滚动 借不可伸长的绳子提升重W的物体 同时带动滑轮O绕轴转动 求 1 磙子质心C的加速度aC 2 系在磙子上的绳子的张力 3 轴承O处水平方向的反力 已知Q r W 求 1 质心C的加速度 系统受力如图 解 1 用功率方程求aC 系统动能为 C 系统所有力的功率为 P Qsin W vC aC 代入功率方程 得 C O D 求 2 磙子上绳子的张力 3 轴承O处的反力 由质心运动定理 有 由定轴转动微分方程 有 对重物 有 又 联立解得 研究轮O 受力如图 问题 有无其他方法求系在磙子上的绳子的张力 例12 8已知质量为m 长为l的均质杆OA绕水平轴O转动 杆的A端铰接一质量为2m半径为R的均质圆盘 初始时OA杆水平 杆和盘静止 求杆落至与水平线成 角时杆的角速度 角加速度 求运动量宜用动能定理 系统动能如何计算 分析 解 根据对质心的动量矩定理 有 即 盘为平动 系统落至 角处 受力如图 圆盘受力如图 求导且注意到 解得 由动能定理 有 O A A 已知杆m l 圆盘2m R 初始时OA杆水平静止 求 角时杆的角速度 角加速度 所以 问题 若杆与圆盘固接为一体 则杆落至与水平线成 角时 杆的角速度 角加速度 例12 9均质杆OA l 1m 质量m 6kg 可绕轴O在铅垂面内自由转动 当OA杆铅直时 角速度为 0 10rad s 转至水平处恰好将弹簧压缩了 0 1m 此时角速度为零 试求 1 弹簧的刚性系数k 取g 10m s2 2 杆水平时 轴承O处的约束反力 已知l 1m m 6kg 0 10rad s 0 1m求 1 弹簧的刚性系数k 2 杆水平时O处反力 解 1 用动能定理求弹簧k 2 杆水平时受力如图 代入数据得 根据定轴转动微分方程 有 已求得 弹簧的刚性系数 杆转至水平时 根据质心运动定理 有 代入数据 得 杆转至水平时 角速度为零 即 例12 10已知物块A B的质量均为m 两均质圆轮C D的质量为2m 半径均为R 无重悬臂梁CK长为3R 求 1 物块A的加速度 2 HE段绳的拉力 3 固定端K的约束反力 1 求物块A的加速度 解 设运动情况如图 系统动能为 式中 所以 续 1 求物块A的加速度 系统受力如图 由功率方程 可解得 且 所有力的功率为 C D K H A E B 2 求HE段绳的拉力 取物块A与轮C系统为研究对象 受力如图 由 C D K H A E B 有 式中 且 解得 由质心运动定理 有 求得 3 求固定端K处的约束反力 C D K