2012高考数学复习 第九章 直线、平面、简单几何体（A）9(A)-2试题

用心 爱心 专心1 第九章 第九章 A A 第二讲第二讲 时间 60 分钟 满分 100 分 一 选择题 8 5 40 分 1 2009 北京西城一模 已知直线a和平面 那么a 的一个充分条件是 A 存在一条直线b a b b B 存在一条直线b a b b C 存在一个平面 a D 存在一个平面 a 答案 C 解析 选项 A 中 若a b b 可能有a 如图 所以 A 不正确 选项 B 中 若a b b 可能有a 如图 所以 B 不正确 选项D中 可能有a 如图 所以 D 不正确 故选 C 2 2009 浙江宁波十校联考 设b c表示两条直线 表示两个平面 则下列命 题是真命题的是 A 若b c 则b c B 若b b c 则c C 若c 则c D 若c c 则 答案 D 解析 选项 A 中 如图 b c 直线b与c异面 所以 A 不正确 选项 B 中 如图 直线c可能在平面 内 所以 B 不正确 选项 C 中 如图 直线c可能在平面 内 所以 C 不正确 故选 D 3 2009 河北秦皇岛一模 已知直线l 平面 直线m 平面 下面有三个命题 l m l m l m 则真命题的个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 答案 C 解析 正确 不正确 如图 直线l与m可能异面 正确 是面与面垂直的判定 定理 故选 C 用心 爱心 专心2 4 一条直线l上有相异三个点A B C到平面 的距离相等 那么直线l与平面 的 位置关系是 A l B l C l与 相交但不垂直 D l 或l 答案 D 解析 l 时 直线l上任意点到 的距离都相等 l 时 直线l上的所有点与 距离都是 0 l 时 直线l上只能有两点到 距离相等 l与 斜交时 也只能有两 点到 距离相等 5 给定空间中的直线l及平面 条件 直线l与平面 内无数条直线都垂直 是 直线l与平面 垂直 的 A 充要条件 B 充分非必要条件 C 必要非充分条件 D 既非充分又非必要条件 答案 C 解析 当l与平面 内无数条直线都垂直时 l与 不一定垂直 故不充分 当l 时 l一定垂直于 内无数条直线 故必要 6 2009 鄞州中学试题 已知a b是异面直线 a 平面M b 平面N 则平面M N 的位置关系是 A 相交 B 平行 C 垂直 D 不能确定 答案 A 解析 如果M N 则必有a b 故平面M N必相交 故应选 A 7 下列四个正方体图形中 A B为正方体的两个顶点 M N P分别为其所在棱的中点 能得到AB 平面MNP的图形的序号是 用心 爱心 专心3 A B C D 答案 C 解析 如 图中 连结AC 则平面ACB 平面MNP 又AB 面ACB AB 面MNP 如 图中 平面ACD 平面MNP 又AB与面ACD相交 所以AB与面MNP也相交 如 图中 因为AB与平面NPCB相交 所以AB与平面MNP相交 如 图中 AB CD CD NP 那么AB NP AB 平面MNP 综上所述 正确答案为 故选 C 8 在一个 45 的二面角的一平面内有一条直线与二面角的棱成 45 角 则此直线与二 面角的另一个面所成的角为 A 30 B 45 C 60 D 90 答案 A 解析 解法一 由于 45 的二面角的一平面内一条直线与二 面角的棱成 45 角 根据最小角定理 则此直线为二面角的另一 个面所成的角小于 45 故选 A 解法二 如图 l 成 45 角 BAC 45 BCO 45 为二面角的平面角 BO 设OB OC 1 则 BC AO tan BAO BAO 30 23 BO AO 3 3 故选 A 二 填空题 4 5 20 分 9 过三棱柱ABC A1B1C1任意两条棱的中点作直线 其中与平面ABB1A1平行的直线共有 条 答案 6 解析 如图 过任意两条棱中点的直线与平面ABB1A1平行的直线有 DE DD1 DE1 D1E1 D1E EE1共 6 条 10 如下图所示 PA 矩形ABCD所在的平面 那么以P A B C D五个点中的三点为 顶点的直角三角形的个数是 用心 爱心 专心4 答案 9 个 解析 C 1 10 1 9 包括 PBD 为什么说 PBD不为 Rt 3 5 易判断 PDB 90 PBD 90 只须判断 BPD 90 假设 BPD 90 设PA a AD b AB c PB2 a2 c2 PD2 a2 b2 BPD 90 BD2 b2 c2 2a2 而由 Rt ABD得 BD2 b2 c2 这显然不成立 BPD 90 综合而得 PBD不是 Rt Rt 共有 9 个 11 对于四面体ABCD 给出下列四个命题 若AB AC BD CD 则BC AD 若AB CD AC BD 则BC AD 若AB AC BD CD 则BC AD 若AB CD AC BD 则BC AD 其中真命题的序号是 把你认为是正确命题的序号都填上 答案 解析 本题考查四面体的性质 取BC的中点E 则BC AE BC DE BC 面 ADE BC AD 故 正确 设O为A在面BCD上的射影 依题意OB CD OC BD O为垂 心 OD BC BC AD 故 正确 易排除 故答案为 12 P为 ABC所在平面外一点 PA PB PC与平面ABC所成角均相等 又PA与BC垂 直 那么 ABC形状可以是 正三角形 等腰三角形 非等腰三角形 等腰直角三角形 将你认为正确的序号 全填上 答案 解析 设点P在底面ABC上的射影为O 由PA PB PC与平面ABC所成角均相等 得 OA OB OC 即点O为 ABC的外心 又由PA BC 得OA BC 即AO为 ABC中BC边上的 高线 AB AC 即 ABC必为等腰三角形 故应填 三 解答题 4 10 40 分 13 如图所示 正方体ABCD A1B1C1D1中 侧面对角线AB1 BC1上分 别有两点E F 且B1E C1F 求证 EF ABCD 证明 解法一 分别过E F作EM AB于M FN BC于N 连结MN BB1 平面ABCD BB1 AB BB1 BC EM BB1 FN BB1 EM FN 又B1E C1F EM FN 用心 爱心 专心5 故四边形MNFE是平行四边形 EF MN 又MN在平面ABCD中 所以EF 平面ABCD 解法二 过E作EG AB交BB1于G 连结GF 则 B1E B1A B1G B1B B1E C1F B1A C1B FG B1C1 BC C1F C1B B1G B1B 又EG FG G AB BC B 平面EFG 平面ABCD 而EF 平面EFG EF 平面ABCD 14 如下图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 侧棱PD 底面ABCD PD DC 过BD作与PA平行的平面 交侧棱PC于点E 又作DF PB 交PB于点F 1 求证 点E是PC的中点 2 求证 PB 平面EFD 证明 1 连结AC 交BD于O 则O为AC的中点 连结EO PA 平面BDE 平面PAC 平面BDE OE PA OE 点E是PC的中点 2 PD 底面ABCD且DC 底面ABCD PD DC PDC是等腰直角三角形 而DE是斜边PC的中线 DE PC 又由PD 平面ABCD 得PD BC 底面ABCD是正方形 CD BC BC 平面PDC 而DE 平面PDC BC DE 由 和 推得DE 平面PBC 而PB 平面PBC DE PB 又DF PB且DE DF D 所以PB 平面EFD 15 如图 l1 l2是互相垂直的异面直线 MN是它们的公垂线段 点A B在l1上 C 在l2上 AM MB MN 用心 爱心 专心6 1 求证AC NB 2 若 ACB 60 求NB与平面ABC所成角的余弦值 证明 1 如图由已知l2 MN l2 l1 MN l1 M 可得l2 平面ABN 由已知MN l1 AM MB MN 可知AN NB且AN NB 又AN为AC在平面ABN内的射影 AC NB 2 Rt CNA Rt CNB AC BC 又已知 ACB 60 因此 ABC为正三角形 Rt ANB Rt CNB NC NA NB 因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心 连结BH NBH 为NB与平面ABC所成的角 在 Rt NHB中 cos NBH HB NB 3 3 AB 2 2 AB 6 3 16 如图 在四面体ABCD中 CB CD AD BD 点E F分别是AB BD的中点 求证 1 直线EF 平面ACD 2 平面EFC 平面BCD 命题意图 本小题主要考查直线与平面 平面与平面的位置关系 考查空间想象能力 推理论证能力