2011届高考数学 备考之好题速递系列05（文理合卷）

用心 爱心 专心1 20112011 届高考数学备考之好题速递系列届高考数学备考之好题速递系列 0505 文理合卷 文理合卷 注意事项 注意事项 1 1 答卷前 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号 试室号 座 答卷前 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号 试室号 座 位号填写在答题卡上 位号填写在答题卡上 2 2 选择题将答案代号填在答题卡的选择题答案栏中 不能答在试卷上 选择题将答案代号填在答题卡的选择题答案栏中 不能答在试卷上 3 3 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答 答案必须填写在答题卡各题目指定区 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答 答案必须填写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不准使用铅笔和域内相应位置上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不准使用铅笔和 涂改液 不按以上要求作答的答案无效 涂改液 不按以上要求作答的答案无效 4 4 考生必须保持答题卡的整洁 考试结束后 将试卷和答题卡一并交回 考生必须保持答题卡的整洁 考试结束后 将试卷和答题卡一并交回 参考公式 如果事件 互斥 那么 AB P ABP AP B 如果 相互独立 那么 AB P ABP AP B 如果事件在一次试验中发生的概率为 那么次独立重复试验中事件恰好发生ApnA 次的概率为 k 1 kkn k nn P kC pp 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 5050 分 在每小题给出的四个选项中 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 只有一项是符合题目要求的 1 在复平面内 复数对应的点位于 1 2 z i A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 解 z i 故选 D 1 2 i 2 i 2 i 2 i 2 5 1 5 2 已知向量若与平行 则实数的值是 1 1 2 abx ab 42ba x A 2B 0C 1D 2 3 各项都是正数的等比数列中 且 成等差数列 则的值为 n a 2 a 3 2 1 a 1 a 54 43 aa aa A B C D 或 2 15 2 15 2 51 2 15 2 51 解 两边同除以 得 123 aaa 1 a1 2 qq 即 01 2 qq 2 51 q0 n a 2 51 q 选 B 2 15 51 21 43 43 54 43 qaaq aa aa aa 4 右图是 2010 年在某市举行的全省运动会上 七位评委为某跳水比赛项目打出的分数的 茎叶统计图 去掉一个最高分和一个最低分后 所剩数据的平均数和方差分别为 A 84 4 84 B 84 1 6 C 85 1 6 D 85 4 解 去掉最高分和最低分后 所剩分数为 84 84 86 84 87 8 9 4 4647 3 79 用心 爱心 专心2 可以计算得平均数和方差 5 用 1 2 3 4 5 6组成一个无重复数字的六位数 要求三个奇数1 3 5 有且只有两 个相邻 则不同的排法种数为 A 18B 108C 216D 432 解 第一步 先将 1 3 5 分成两组 共种方法 第二步 将 2 4 6 排成一排共 22 32 C A 种方法 第三步 将两组奇数插三个偶数形成的四个空位 共种方法 综上共有 3 3 A 2 4 A 3 2 6 12 432 22 32 C A 3 3 A 2 4 A 6 设表示与中的较大者 则的最小值为 xf2 x23 2 xx xf A 0 B 2 C D 不存在 4 1 解 画图 和为右图中红色线部分 2 xy 2 32yxx xf 求最小值即求最低点的纵坐标 xf 23 2 2 xxy xy 223 2 xxx 和 最低点的纵坐标为 最小值为 0 选 A0 x2 x022 y xf 7 若二面角为 直线 则所在平面内的直线与所成角的取值范 l 3 2 m m 围是 A 0 B C D 2 6 3 3 2 6 2 解 在直线上取一点 P 过 P 作 PB 由 PA PBm 确定的平面交 于 C 则 所以 lCAlBCl 3 2 BCA BC 为直线在平面 内的射影 故 BC 与 PA 的夹角即为直线mm 与 面所成的角 延长 BC PA 交于点 D 易求得 所以所在平面内的直线 6 PDB 与所成角的取值范围是 选 Dm 6 2 8 已知双曲线的准线过椭圆的焦点 则直线与椭圆1 248 22 yx 1 8 2 22 b yx 3 kxy 至少有一个交点的充要条件为 A B k 4 6 4 6 4 6 k 4 6 用心 爱心 专心3 C D k 3 2 3 2 3 2 k 3 2 9 在区间内随机取两个数分别记为 则使得函数有零 a b 222 2 f xxaxb 点的概率为 A 1 B 1 C 1 D 1 8 4 2 3 4 解 若使函数有零点 必须必须 2 22 24 0ab 即 222 ab 在坐标轴上将 a b的取值范围标出 有如图所示当 a b满足函数有零点时 坐 标位于正方形内圆外的部分 于是概率为 3 2 11 44 10 设是连续的偶函数 当x 0 时是单调函数 则满足 f x f x f x 0 的所有x之和是 3 4 x f x A 5 B 3 C 8 D 8 解 由题意得 x x2 4x x 3 x2 3x 3 0 或 x 5x 3 0 由韦达理得所有x x 3 x 4 之和是 8 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 5 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 2525 分 分 11 如图是一个算法的程序框图 其输出的结果是 解 按照流程图进行推算 1 12 24 316 4abbababa 12 若 则的值为 1 cos 3 cos 2 sin sin tan 3 2 解 cos 2 sin sin tan 3 2 cos sin 1 cos cos tan 3 13 已知直线与圆 40l xy 1 2cos 1 2sin x y C 则上各点到 的距离的最小值为 Cl 解 圆方程为 距离最小值为 22 1 xy 14 22 1 14 2 2 11 d 2 22 用心 爱心 专心4 14 已知点 P x y 满足条件的最大值为 8 则yxzk kyx xy x 3 02 0 若为常数 k 解 画图 联立方程组得 代入 20 yx xyk 3 3 k x k y 3 8 6 33 kk k 15 已知二次函数的值域为 则的最小值为 2 f xaxxc xR 0 22ca ac 解 由值域可知该二次函数的图象开口向上 且函数的最小值为 0 因此有 41 0 4 ac a 从而 当且仅当 1 0 4 c a 22ca ac 2 2 21 8 4 24210 4 aa aa 即时取等号 故所求的最小值为 10 2 2 2 8 1 4 4 a a a a 1 2 a 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 满分小题 满分 7575 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 1616 已知函数 求函数的最小正周 cossin2cos32 2 Rxmxxxxf f x 期和单调递减区间 若 是否存在实数 使函数的值域恰为 0 2 x m xf 若存在 请求出的取值 若不存在 请说明理由 2 3 m 17 17 文科 文科 实验数据对实验本身有着重要的意义 现知某项实验在进行过程中一共会随机 出现 两种数据 每种数据都恰好出现三次 而每种数据所出现的三个数据是有区别AB 的 实验分为两个阶段 当 两种数据都出现时 实验的第一阶段结束 并进入下一AB 阶段 求实验的第二阶段恰好出现个数据的概率 求实验的第一阶段结束时 4 数据中的数据至少出现个的概率 A2 用心 爱心 专心5 第 1 层 第 2 层 第 3 层 第 4 层 入口 解 实验的第二阶段恰好出现 4 个数据 则第一阶段出现 2 个数据依题意得 其概率 6 分 5 3 2 6 1 3 1 3 0 C CC p 实验的第一阶段 数据中的数据至少出现 2 个 有下面两种情况 数据中的数AA 据出现 2 个 数据中的数据出现 1 个 其概率 8 分数据中的数据B 20 3 1 4 1 3 2 6 2 3 2 C C C C pA 出现 3 个 数据中的数据出现 1 个 其概率 10 分故概率B 20 1 1 3 1 3 3 6 3 3 2 C C C C p 12 分 5 1 21 ppp 理科 如图是在竖直平面内的一个 通道游戏 图中竖直线段和斜线段都表示通道 并 且在交点处相遇 若竖直线段有第一条的为第一层 有二条的为第二层 依次类 推 现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动 记小弹子落入第层第个nm 竖直通道 从左至右 的概率为 已知在通道的分叉处 小弹子 P n m 以相同的概率落入每个通道 求的值 并猜想的表达式 不必证明 2 1 3 2 PP P n m 设小弹子落入第 6 层第个竖直通道得到分数为 m 其中 试求的分布列及数学期望 4 13 3 46 mm mm 用心 爱心 专心6 18 18 文科 文科 已知函数 若 求证 在xaxxfln 2 Ra 2 a xf 上是增函数 求在上的最小值 1 xf 1 证明 当时 当时 2 axxxfln2 2 1 x0 1 2 2 x x xf 所以在上是增函数 5 分 xf 1 解 当时 在上单调递 0 2 2 x x ax xf0a 0fx f x 1 增 最小值为 当 当时 单调递减 当 1 1f 0a 2 0 a x xf 时 单调递增 2 a x xf 若 即时 在上单调递增 又 所以在1 2 a 02a xf 1 1 1 f xf 上的最小值为 1 1 若 即时 在上单调递减 在上单调递增 又1 2 a 2 a xf 2 1 a 2 a 所以在上的最小值为 综上 当 ln 2222 aaaa f xf 1 ln 222 aaa 时 在上的最小值为 当时 在上的最大值为2a f x 1 12a f x 1 13 分ln 222 aaa 理科 已知函数 若时 函数 0 2 1 ln 2 abxaxxgxxf2 a 用心 爱心 专心7 在其定义域是增函数 求 b 的取值范围 在 1 的结论下 xgxfxh 设函数的最小值 设函数的图象 2ln 0 2 xxbeex xx 求函数 xf C1与函数的图象 C2交于 P Q 过线段 PQ 的中点 R 作 x 轴的垂线分别交 C1 C2于点 xg M N 问是否存在点 R 使 C1在 M 处的切线与 C2在 N 处的切线互相平行 若存在 求出 R 的横坐标 若不存在 请说明理由 解 依题意 网 ln 2 bxxxxh 上是增函数 恒成立 2 分 0 在xh 0 02 1 xbx x xh对 b 的取值范围为 4 分 2 1 x x b 222 1 0 x x x则 22 设 2 1 2 tbttyet x 则函数化为 当上为增函数 4 2 2 2 bb ty 2 1 222 1 2 在函数时即yb b 当 t 1 时 5 分 当 1 min by 2 24 2 2 1时当时即 b tb b 6 分 4 2 min b y 当上为减函数 当 t 2 时 7 分 2 1 4 2 2 在函数时即yb b 24 min bby 综上所述 当当 1 222 bxb的最小值为时 2 24 2 b xb 的最小值为时 8 分 bxb24 4 的最小值为时当 设点 P Q 的坐标是则点 M N 的横坐标为 0 212211 xxyxyx 且 2 21 xx x C1在 M 处的切线斜率为C2在点 N 处的切线斜率 2 21 1 xx k 2 21 2 b xxa k 假设 C1在点 M 处的切线与 C2在点 N 处的切线平行 则即 21 kk 2 2 21 21 b xxa xx 则 2 2 12 2 1 2 2 21 12 xxb xxa xx xx 2 2 1 2 12 2 2 bxx a bxx a 12 yy 10 分 12 lnlnxx 1 2 ln x x 1 2 1 2 21 12 1 2 1 1 2 2 ln x x x x xx xx x x 设 2 1 2 1 1 ln 1 1 xu uuu xu 则 令则 1 1 1 2 ln u u u uur 1 1 1 41 2 2 2 uu u uu ur 所以上单调递增 故 1 u 0 u r 1 在ur0 1 rur 用心 爱心 专心8 1 A 1 B 1 C 1 D A B C D E 1 D 1 A D A 4 2 则这与 矛盾 假设不成立 1 1 2 ln u u u 故 C1在点 M 处的切线与 C2在点 N 处的切线不平行 12 分 1919 如图 已知正四棱柱与它的侧视图 或称左视图 是上一 1111 DCBAABCD E 1 DD 点 CBAE 1 1 求证 CDBAE 1 平面 2 求三棱锥的体积 ACDE 解 因为是正四棱柱 1111 DCBAABCD 所以 2 分 11A ADDCD平面 所以 3 分 11A ADDAE平面 AECD 又因为 CBAE 1 CCBCD 1 所以 5 分CDBAE 1 平面 连接 因为 所以 6 分DA1CDBAE 1 平面 CBAE 1 所以所以 8 分所以 9 分DAAE 1 ADE ADA1 AD AA DE AD 1 10 分因为是正四棱柱 所以是三棱锥1 4 22 DE 1111 DCBAABCD DE 的高 11 分ACDE 所以三棱锥的体积 12 分 ACDE 3 2 2 1 3 1 DECDADV ACDE 2020 文科 文科 已知等差数列 an 的前项和为 且 1 求数列n n S 10 55S 20 210S 的通项公式 2 设 是否存在 使得 n a 1 n n n a b a mk 2 kmk m N 1 b 成等比数列 若存在 求出所有符合条件的 的值 若不存在 请说明理 m b k bmk 由 用心 爱心 专心9 以下给出求以下给出求 的三种方法 的三种方法 mk 方法方法 1 1 因为 所以 11 分解得 12 分0k 2 210mm 1212m 因为 所以 此时 2 mm N2m 8k 故存在 使得 成等比数列 14 分2m 8k 1 b m b k b 方法方法 2 2 因为 所以 11 分km 2 2 2 21 m km mm 即 即 解得 2 2 10 21 m mm 2 2 1 0 21 m mm 或 12 分112m 112m 因为 所以 此时 2 mm N2m 8k 故存在 使得 成等比数列 14 分2m 8k 1 b m b k b 方法方法 3 3 因为 所以 11 分2km 2 2 2 2 21 m k mm 即 即 解得或 2 2 10 21 m mm 2 2 221 0 21 mm mm 13 12 2 m 用心 爱心 专心10 12 分 13 12 2 m 因为 所以 此时 故存在 使得 2 mm N2m 8k 2m 8k 1 b m b 成等比数列 k b 理科 已知点F是椭圆 0 1 1 2 2 2 ay a x 的右焦点 点 0 M m 0 Nn分别是 x轴 y轴上的动点 且满足0 NFMN 若点P满足POONOM 2 求点 P的轨迹C的方程 设过点F任作一直线与点P的轨迹交于A B两点 直线OA OB与直线ax 分别交于点S T O为坐标原点 试判断FS FT 是否为定值 若 是 求出这个定值 若不是 请说明理由 解 椭圆 0 1 1 2 2 2 ay a x 右焦点F的坐标为 0 a 1 分 NFan MNm n 由0 NFMN 得0 2 amn 2 分 设点P的坐标为 yx 由POONOM 2 有 0 2 0 mnxy 2 y n xm 代入0 2 amn 得axy4 2 4 分 解法一 设直线AB的方程为xtya 2 1 1 4 y Ay a 2 2 2 4 y By a 则x y a ylOA 1 4 x y a ylOB 2 4 5 分 由 ax x y a y 4 1 得 2 1 4 a Sa y 同理得 2 2 4 a Ta y 7 分 2 1 4 2 a FSa y 2 2 4 2 a FTa y 则 4 2 12 16 4 a FS FTa y y 8 分 由 axy atyx 4 2 得044 22 aatyy 2 12 4y ya 9 分 用心 爱心 专心11 则044 4 16 4 22 2 4 2 aa a a aFTFS 11 分 因此 FS FT 的值是定值 且定值为0 12 分 解法二 当ABx 时 2 A aa 2 B aa 则 2 OA lyx 2 OB lyx 由 2 yx xa 得点S的坐标为 2 Saa 则 2 2 FSaa 由 2 yx xa 得点T的坐标为 2 Taa 则 2 2 FTaa 2 2 2 20FS FTaaaa 6 分 当AB不垂直x轴时 设直线AB的方程为 0 yk xa k 4 1 2 1 y a y A 4 2 2 2 y a y B 同解法一 得 4 2 12 16 4 a FS FTa y y 8 分 由 2 4 yk xa yax 得 22 440kyayka 2 12 4y ya 9 分 则044 4 16 4 22 2 4 2 aa a a aFTFS 11 分 因此 FS FT 的值是定值 且定值为0 12 分 2121 文科 文科 已知半椭圆和半圆 22 22 1 0 xy y ba 222 0 xyby 组成曲线 其中 如图 半椭圆C0ab 内切于矩形 22 22 1 0 xy y ba ABCD 且交轴于点 点