2011高中数学二轮基本内容十大攻略 第02讲 平面向量的解题技巧

1 第二讲第二讲 平面向量的解题技巧平面向量的解题技巧 命题趋向 由 2007 年高考题分析可知 1 这部分内容高考中所占分数一般在 10 分左右 2 题目类型为一个选择或填空题 一个与其他知识综合的解答题 3 考查内容以向量的概念 运算 数量积和模的运算为主 考点透视 平面向量 是高中新课程新增加的内容之一 高考每年都考 题型主要有选择题 填空 题 也可以与其他知识相结合在解答题中出现 试题多以低 中档题为主 透析高考试题 知命题热点为 1 向量的概念 几何表示 向量的加法 减法 实数与向量的积 2 平面向量的坐标运算 平面向量的数量积及其几何意义 3 两非零向量平行 垂直的充要条件 4 图形平移 线段的定比分点坐标公式 5 由于向量具有 数 与 形 双重身份 加之向量的工具性作用 向量经常与数列 三 角 解析几何 立体几何等知识相结合 综合解决三角函数的化简 求值及三角形中的有 关问题 处理有关长度 夹角 垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等 6 利用化归思想处理共线 平行 垂直问题向向量的坐标运算方面转化 向量模的运算转 化为向量的运算等 利用数形结合思想将几何问题代数化 通过代数运算解决几何问题 例题解析 1 向量的概念 向量的基本运算 1 理解向量的概念 掌握向量的几何意义 了解共线向量的概念 2 掌握向量的加法和减法 3 掌握实数与向量的积 理解两个向量共线的充要条件 4 了解平面向量的基本定理 理解平面向量的坐标的概念 掌握平面向量的坐标运算 5 掌握平面向量的数量积及其几何意义 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度 角 度和垂直的问题 掌握向量垂直的条件 6 掌握平面两点间的距离公式 例 1 2007 年北京卷理 已知是所在平面内一点 为边中点 且OABC DBC 那么 2OAOBOC 0 AOOD 2AOOD 3AOOD 2AOOD 命题意图命题意图 本题考查本题考查能够结合图形进行向量计算的能力 解 解 2 2 22 OAOBOCOADBODDCODDBDCOAODAOOD 0 0 故选 A 例 2 2006 年安徽卷 在中 M 为 BC 的中点 则ABCDA 3ABa ADb ANNC 用表示 MN a b 命题意图命题意图 本题主要考查向量的加法和减法 以及实数与向量的积 解 所以 343A 3 ANNCANCab 由得 1 2 AMab 3111 4244 MNababab 例3 2006 年广东卷 如图 1 所示 D 是 ABC 的边 AB 上的中点 则向量 CD 2 A B BABC 2 1 BABC 2 1 C D BABC 2 1 BABC 2 1 命题意图命题意图 本题主要考查向量的加法和减法运算能力 解 故选 A BABCBDCBCD 2 1 例 4 2006 年重庆卷 与向量 的夹解相等 且模为 1 的向量是 a 7 1 2 2 b 2 7 2 1 A B 或 5 3 5 4 5 3 5 4 5 3 5 4 C D 或 3 1 3 22 3 1 3 22 3 1 3 22 命题意图命题意图 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题 解 设所求平面向量为由 c 433 1 555 cc 4 或 时 5 另一方面 当 2222 7413 4312525 cos 552 7143 2255 a c ca c ac 时 当 2222 7413 4 312525 cos 5 52 7143 2255 a c ca c ac 时 故平面向量 与向量 的夹角相等 故选 B c a 7 1 2 2 b 2 7 2 1 例 5 2006 年天津卷 设向量与的夹角为 且 则a b 3 3 a 1 1 2 ab cos 命题意图命题意图 本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积 以及用平面向量的数量 积处理有关角度的问题 解 22 3 323 231 1 bx ybax yxy 设由 2311 1 2 2312 xx b yy 得 2222 3 1 3 23 10 cos 10 3312 a b a b ab 3 10 10 故填 例 6 2006 年湖北卷 已知向量 是不平行于轴的单位向量 且 3 1a b x3a b 则 b A B C D 2 1 2 3 2 3 2 1 4 33 4 1 0 1 命题意图命题意图 本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积 以及方程的思想 解题的能力 解 设 则依题意有 bx yxy 22 1 33 xy xy 1 2 3 2 x y 故选 B 3 例 7 设平面向量 的和 如果向量 满足 且 1 a 2 a 3 a 123 0aaa 1 b 2 b 3 b 2 ii ba 顺时针旋转后与同向 其中 则 i a 30o i b 1 2 3i A B 123 0bbb 123 0bbb C D 123 0bbb 123 0bbb 命题意图命题意图 本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念 常规解法 故把 2 i 1 2 3 分别按顺时针旋 123 0aaa 123 2220 aaa i a 转 30 后与重合 故 应选 D i b 123 0bbb 巧妙解法 令 则 由题意知 从而排除 B C 同理排除 A 故选 1 a 0 2 a 3 a 2 b 3 b D 点评 巧妙解法巧在取 使问题简单化 本题也可通过画图 利用数形结合的方法来 1 a 0 解决 2 平面向量与三角函数 解析几何等问题结合 1 平面向量与三角函数 三角变换 数列 不等式及其他代数问题 由于结合性强 因 而综合能力较强 所以复习时 通过解题过程 力争达到既回顾知识要点 又感悟思维方 法的双重效果 解题要点是运用向量知识 将所给问题转化为代数问题求解 2 解答题考查圆锥曲线中典型问题 如垂直 平行 共线等 此类题综合性比较强 难度 大 例 8 2007 年陕西卷理 17 设函数f x a b 其中向量a m cos2x b 1 sin2x 1 x R R 且函数y f x 的图象经过点 2 4 求实数m的值 求函数f x 的最小值及此时 x 的值的集合 解 1 sin2 cos2f xa bmxx A 由已知 得 1 sincos2 422 fm 1m 由 得 1 sin2cos212sin 2 4 f xxxx 当时 的最小值为 sin 21 4 x f x12 由 得值的集合为 sin 21 4 x x 3 8 x xkk Z 例 2 2007 年陕西卷文 17 4 设函数 其中向量 baxf 2 2 R 1 sin1 cos fxxbxma且 求实数的值 求函数的最小值 m xf 解 得 1 sin cosf xmxx Aa b 1 sincos2 222 fm 1m 由 得 当时 sincos12sin1 4 f xxxx sin1 4 x 的最小值为 f x12 例 9 2007 年湖北卷理 16 已知的面积为 且满足 设和的夹角为 ABC 306AB AC A AB AC I 求的取值范围 II 求函数的最大 2 2sin3cos2 4 f 解 设中角的对边分别为 ABC ABC abc 则由 可得 1 sin3 2 bc 0cos6bc 0cot1 4 2 2 2sin3cos2 4 f 1 cos23cos2 2 1 sin2 3cos2 sin23cos212sin 21 3 4 2 2 2 363 22sin 213 3 即当时 当时 5 12 max 3f 4 min 2f 例 10 2007 年广东卷理 已知 ABC 的三个顶点的直角坐标分别为 A 3 4 B 0 0 c 0 1 若 c 5 求 sin A 的值 2 若 A 为钝角 求 c 的取值范围 解 1 若 c 5 则 3 4 AB 3 4 ACc 2 4 AC sin A 6 161 coscos 5 2 55 AAC AB 2 5 5 5 2 A 为钝角 则解得 c 的取值范围是 39 160 0 c c 25 3 c 25 3 例 11 2007 年山东卷文 17 在中 角的对边分别为 ABC ABC tan3 7abcC 1 求 2 若 且 求 cosC 5 2 CB CA A9ab c 解 1 又 sin tan3 73 7 cos C C C 22 sincos1CC 解得 是锐角 1 cos 8 C tan0C C 1 cos 8 C 2 5 2 CB CA A 5 cos 2 abC 20ab 又 9ab 22 281aabb 22 41ab 222 2cos36cababC 6c 例 12 2006 年湖北卷 设函数 其中向量 f xabc sin cos sin 3cosaxxbxx cos sin cxxxR 求函数的最大值和最小正周期 xf 将函数的图像按向量平移 使平移后得到的图像关于坐标原点成中心 xfy d 对称 求长度最小的 d 命题意图命题意图 本小题主要考查平面向量数量积的计算方法 三角公式 三角函数的性质及图像 的基本知识 考查推理和运算能力 解 由题意得 f x sinx cosx sinx cosx sinx 3cosx a bc sin2x 2sinxcosx 3cos2x 2 cos2x sin2x 2 sin 2x 2 4 3 所以 f x 的最大值为2 最小正周期是 2 2 2 由sin 2x 0得2x k 即x k Z 4 3 4 3 8 3 2 k 于是 2 k Z d 8 3 2 k 2 3 4 28 k d 因为k为整数 要使最小 则只有k 1 此时 2 即为所求 d d 8 例 13 2006 年全国卷 II 已知向量 sin 1 1 cos a b 2 2 若 求 a b 求 的最大值 a b 6 命题意图命题意图 本小题主要考查平面向量数量积和平面向量的模的计算方法 以及三角公式 三 角函数的性质等基本知识 考查推理和运算能力 解 若 则 sin cos 0 a b 由此得 tan 1 所以 2 2 4 由 sin 1 1 cos 得a b a b sin 1 1 cos 3 2 sin cos 3 22sin f 4 当 sin 1 时 a a b b 取得最大值 即当 时 a a b b 最大值为 4 4 1 2 例 14 2006 年陕西卷 如图 三定点三动点 D E M 满足 2 1 0 1 2 1 ABC ADtAB BEtBC 0 1 DMtDE t I 求动直线 DE 斜率的变化范围 II 求动点 M 的轨迹方程 命题意图命题意图 本小题主要考查平面向量的计算方法 三角公式 三角函数的性质及图像和圆锥曲线方程的求法等基本知识 考查推理和运算能力 解法一 如图 设 D x0 y0 E xE yE M x y 由 t t 知 xD 2 yD 1 t 2 2 同理 xD 2t 2 yD 2t 1 xE 2t yE 2t 1 kDE 1 2t yE yD xE xD 2t 1 2t 1 2t 2t 2 t 0 1 kDE 1 1 t x 2t 2 y 2t 1 t 2t 2t 2 2t 1 2t 1 t 2 4t 2 2t 4t2 2t x 2 1 2t y 1 2t 2 y 即 x2 4y t 0 1 x 2 1 2t 2 2 x2 4 即所求轨迹方程为 x2 4y x 2 2 解法二 同上 如图 t t 1 t t t t 1 t t t t 1 t t 1 t2 2 1 t t t2 设 M 点的坐标为 x y 由 2 1 0 1 2 1 得 消去 t 得 x2 4y t 0 1 x 1 t2 2 2 1 t t 0 t2 2 2 1 2t y 1 t 2 1 2 1 t t 1 t2 1 1 2t 2 x 2 2 故所求轨迹方程为 x2 4y x 2 2 例 15 2006 年全国卷 II 已知抛物线x2 4y的焦点为F A B是抛物线上的两动点 且 0 过A B两点分别作抛物线的切线 设其交点为 AFFB 证明 为定值 FMAB 设 ABM的面积为S 写出S f 的表达式 并求S的最小值 命题意图命题意图 本小题主要考查平面向量的计算方法 和圆锥曲线方程 以及函数的导数的应用 y x O M D A B C 1 1 2 1 2 B E 图 3 2 y 1 1 1 x 1 A C D E B 图 2 O 7 等基本知识 考查推理和运算能力 解 由已知条件 得F 0 1 0 设A x1 y1 B x2 y2 由 AFFB 即得 x1 1 y x2 y2 1 x 1 x 2 1 y 1 y S do 2 1 将 式两边平方并把y1 x12 y2 x22代入得 y1 2y2 1 4 1 4 解 式得y1 y2 且有x1x2 x22 4 y2 4 1 抛物线方程为y x2 求导得y x 1 4 1 2 所以过抛物线上A B两点的切线方程分别是 y x1 x x1 y1 y x2 x x2 y2 1 2 1 2 即y x1x x12 y x2x x22 1 2 1 4 1 2 1 4 解出两条切线的交点M的坐标为 1 12 2 xx 12 2 xx 12 2 xx 所以 2 x2 x1 y2 y1 x22 x12 2 x22 x12 0 FMAB12 2 xx 1 2 1 4 1 4 所以 为定值 其值为 0 FMAB 由 知在 ABM中 FM AB 因而S AB FM 1 2 FM f x S do 1 x S do 2 2 2 1 4x 1 1 4x 2 1 2x 1x 2 4 y 1 y 2 1 2 4 4 1 2 1 因为 AF BF 分别等于A B到抛物线准线y 1 的距离 所以 AB AF BF y1 y2 2 2 2 1 1 于是 S AB FM 3 1 2 1 由 2 知S 4 且当 1 时 S取得最小值 4 1 专题训练与高考预测 一 选择题 1 已知的值为 xbaxba则且 4 3 2 A 6B 6C D 3 8 3 8 2 已知 ABC 中 点 D 在 BC 边上 且则的值是 2ACsABrCDDBCD sr A B C 3D 0 3 2 3 4 3 把直线按向量平移后 所得直线与圆相 02 yx 2 1 a 5 42 22 yxyx 8 切 则实数的值为 A A 39B 13C 21D 39 4 给出下列命题 0 则 0 或 0 若为单位向量且 则ababeae aae 3 若与共线 与共线 则与共线 其中正确的个数是 aaaaabbcac A 0B 1C 2D 3 5 在以下关于向量的命题中 不正确的是 A 若向量a a x y 向量b b y x x y 0 则a a b b B 四边形ABCD是菱形的充要条件是 且 ABDCABAD C 点G是 ABC的重心 则 0 0GAGBCG D ABC中 和的夹角等于 180 AABCA 6 若O为平行四边形ABCD的中心 4e e1 6e e2 则 3e e2 2e e1等于 ABBC A B C D AOBOCODO 7 将函数y x 2 的图象按a a 6 2 平移后 得到的新图象的解析式为 A y x 10B y x 6 C y x 6D y x 10 8 已知向量m m a b 向量m m n n且 m m n n 则n n的坐标为 A a b B a b C b a D b a 9 给出如下命题 命题 1 设e e1 1 e e2是平面内两个已知向量 则对于平面内任意向量a a 都存在惟一的一对实数x y 使a a xe e1 ye e2成立 命题 2 若定义域为 R R 的函数f x 恒满足 f x f x 则f x 或为奇函数 或为偶函数 则下述判断正确的是 A 命题 1 2 均为假命题 B 命题 1 2 均为真命题 C 命题 1 为真命题 命题 2 为假命题 D 命题 1 为假命题 命题 2 为真命题 10 若 a b a b 则向量 a 与 b 的关系是 A a 或 b B a b C a b 0 D 以上都不对 0 0 11 O 是平面上一 定点 A B C 是平面上不共线的三个点 动点 P 满足 则 P 的轨迹一定通过 ABC 的 0 ABAC OPOA ABAC A 外心B 内心C 重心D 垂心 12 若 则 1 3 2 a 3 0 2 b 2 2 0 c cba A 4 B 15 C 7 D 3 二 填空题 1 已知与的夹角为 60 则与 的夹角余弦为 ABACAB 4 3 ACABABAC 9 2 已知 4 2 x 2 1 3 且 则 x a b a b 3 向量 则和所夹角是 baba57 3 baba274 ab 4 已知 A 1 0 0 B 0 1 0 C 0 0 1 点 D 满足条件 DB AC DC AB AD BC 则 D 的坐标为 5 设是直线 是平面 向量在上 向量在上 ba ba 1 aa 1 bb 则所成二面角中较小的一个的大小为 0 4 3 1 1 1 11 ba 三 解答题 1 ABC 中 三个内角分别是 A B C 向量 BA BAC atantan 2 cos 2 cos 2 5 当 时 求 9 1 a 2 在平行四边形 ABCD 中 A 1 1 点 M 是线段 AB 的中点 线段 CM 与 BD 0 6 AB 交于点 P 1 若求点 C 的坐标 3 5 AD 2 当时 求点 P 的轨迹 ADAB 3 平面内三个力 作用于同丄点 O 且处于平衡状态 已知 的大小分别 1 F 2 F 3 F 1 F 2 F 为 1kg kg 的夹角是 45 求的大小及与夹角的大小 2 26 1 F 2 F 3 F 3 F 1 F 4 已知a a b b都是非零向量 且a a 3b b与 7a a 5b b垂直 a a 4b b与 7a a 2b b垂直 求a a与b b的 夹角 5 设a a 1 cos sin b b 1 cos sin c c 1 0 0 2 a a与c c 的夹角为 1 b b与c c的夹角为 2 且 1 2 求 sin 6 4 6 已知平面向量a a 1 b b 3 2 1 2 3 1 证明 a a b b 2 若存在实数k和t 使得x a a t2 3 b b y ka a tb b 且x y 试求函数关系式k f t 3 根据 2 的结论 确定k f t 的单调区间 参考答案 一 选择题 1 B 2 D 3 A4 A 5 答案 C 提示 若点G是 ABC的重心 则有 0 0 而C的结论是 0 0 GAGBGCGAGBCG 显然是不成立的 选 C 10 6 B 7 B 8 C 9 A 10 C 11 B 12 D 二 填空题 1 2 2 3 60 4 1 1 1 或 5 13 13 3 1 3 1 3 1 arccos 15 3 3 解 由 0573 baba 0274 baba 有 baa 167 2 015 2 b08307 22 bbaa 解得 22 ba bab 2 2 ba ba ba cos2 1 4 解 设 D x y z 则 x 1 y z 1 zyxBD 1 zyxCD AD 1 0 1 1 1 0 0 1 1 又 DB AC x z 0 AC AB BC DC AB x y 0 AD BC 21 222 zyx 联立解得 x y z 1 或 x y z 所以 D 点为 1 1 1 或 3 1 3 1 3 1 3 1 三 解答题 1 2 cos 2 cos 2 5 222 BAC a 4 23 8 9 coscossinsin9 9 1 coscos sinsin 9 1 tantan coscossinsin99 8 1 sinsin5coscos5sinsin4coscos49 8 1 cos 5 cos 49 8 1 2 cos 1 2 cos 1 4 5 2 cos 2 sin 4 5 2 cos 2 cos 4 5 2 22222 aa BABA BA BA BA BABA BABABABA BABA BABA BABABAC a 故 即又 2 解 1 设点 C 坐标为 00 yx 又 即 5 9 0 6 5 3 ABADAC 5 9 1 1 00 yx 即点 C 0 6 6 10 00 yx 2 解一 设 则 yxP 1 7 0 6 1 1 yxyxABAPBP 11 33 93 0 6 1 3 1 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1 yx yxABAP ABAPABMPABMCAMAC ABCD 为菱形 ADAB 0 33 93 1 7 yxyxADAC即 0 33 1 93 7 yyxx 1 022210 22 yyxyx 故点 P 的轨迹是以 5 1 为圆心 2 为半圆去掉与直线的两个交点 1 y 解法二 ADAB D 的轨迹方程为 1 36 1 1 22