【市级检测】2018年山东省泰安市高考数学一模试卷(理科)

第 1 页 共 27 页 2018 年山东省泰安市高考数学一模试卷 理科 年山东省泰安市高考数学一模试卷 理科 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个分 在每小题给出的四个 选项中 只有一项是符合题目要求的 选项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 A 1 0 1 2 集合 B y y 2x 3 x A 则 A B A 1 0 1 B 1 1 C 1 1 2 D 0 1 2 2 若 1 2i z 5i 则 z 的值为 A 3B 5C D 3 在各项均为正数的等比数列 an 中 a6 3 则 a4 a8 A 有最小值 6 B 有最大值 6 C 有最大值 9 D 有最小值 3 4 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程中记录的产量 x 与 相应的生产能耗 y 的几组对应数据 x4235 y49m3954 根据上表可得回归方程 那么表中 m 的值为 A 27 9B 25 5C 26 9D 26 5 阅读程序框图 运行相应的程序 则输出 i 的值为 A 3B 4C 5D 6 第 2 页 共 27 页 6 将函数的图象向右平移个单位 得到函数 g x 的 图象 则下列说法不正确的是 A g x 的周期为 B C 的一条对称轴D g x 为奇函数 7 以为焦点的抛物线 C 的准线与双曲线 x2 y2 2 相交于 M N 两点 若 MNF 为正三角形 则抛物线 C 的方程为 A B C D 8 a cosx dx 则 ax 9展开式中 x3项的系数为 A B C D 9 已知 m n 是两条不同直线 是三个不同平面 下列命题中正确 的是 A 若 m n 则 m nB 若 则 C 若 m m 则 D 若 m n 则 m n 10 如图 平面四边形 ABCD 中 ABC ADC 90 BC CD 2 点 E 在对角 线 AC 上 AC 4 AE 1 则的值为 A 17B 13C 5D 1 11 已知双曲线 C a 0 b 0 的右顶点为 A O 为坐标原点 以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P Q 若 PAQ 60 且 则双曲线 C 的离心率为 A B C D 第 3 页 共 27 页 12 已知函数 f x 的定义域为 R 其导函数为 f x 函数 y f x 1 是奇 函数 当 x 1 时 x 1 f x x 1 f x 0 则不等式 xf x 1 f 0 的解集为 A 1 B 1 C 1 1 D 1 1 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题个小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 把正确答案填在答题分 把正确答案填在答题 卡中的横线上 卡中的横线上 13 设函数 f x 则 f 6 f log211 14 已知实 x y 数满足关系 则 x 2y 2 的最大值是 15 已知一几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 16 对任意数列 A a1 a2 a3 an 定义 A 为数列 a2 a1 a3 a2 a4 a3 an 1 an 如果数列 A 使得数列 A 的所有项都 是 1 且 a12 a22 0 则 a2 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 12 00 分 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 I 求角 B 的大小 第 4 页 共 27 页 若的取值范围 18 12 00 分 如图 三棱柱 ABC A1B1C1 点 A1在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上 BAC CAA1 60 且 AB AC AA1 2 I 求证 B1C A1B 求二面角 A B1C B 的余弦值 19 12 00 分 体检评价标准指出 健康指数不低于 70 者为身体状况好 健康 指数低于 70 者为身体状况一般 某学校数学学科共有 30 位教师 其中 60 的 人经常进行体育锻炼 经体检调查 这 30 位教师的健康指数 百分制 的数据 如下 经常锻炼的 65 76 80 75 92 84 76 86 87 95 68 82 72 94 7l 89 83 7 7 缺少锻炼的 63 58 85 93 65 72 59 91 63 67 56 64 I 根据以上资料完成下面的 2 2 列联表 并判断有多大把握认为 身体状况 好与体育锻炼有关系 身体状况 好 身体状况 一般 总 计 经常体育锻炼 缺少体育锻炼 总 计30 从该学科教师健康指数高于 90 的 5 人中随机选取 2 人介绍养生之道 求 这 2 人中经常进行体育锻炼的人数的分布列和数学期望 附 P K2 k00 100 050 0250 0100 0060 001 第 5 页 共 27 页 k02 7063 8415 0246 6357 87910 82 8 20 12 00 分 已知椭圆的右焦点为 F 左顶点为 A 右 顶点为 B e 为椭圆的离心率 且 其中 O 为原点 I 求椭圆的方程 设过点 F 的直线 l 直线 l 与 x 轴不重合 与椭圆 C 交于 M N 两点 直 线 AM 与 BN 交于点 T 证明 T 点的横坐标为定值 21 12 00 分 已知函数 f x xlnx I 求函数 f x 的图象在点 x 1 处的切线方程 令 g x ex f x 2 x 证明 g x 0 求证 请考生在第请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 作题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 作 答时请写清题号 答时请写清题号 选修选修 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 22 10 00 分 已知直线 l 的参数方程为 t 为参数 圆 C 的方程为 x2 y2 2x 且直线 l 与圆 C 交于 A B 两点 I 以坐标原点 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 求直线 l 与圆 C 的极坐标方程 求 OAB 的面积 O 为坐标原点 选修选修 4 5 不等式选讲 不等式选讲 23 已知函数 f x x m 2x 3 m R I 当 m 3 时 解不等式 f x 9 若存在 x 2 4 使得 f x 3 成立 求 m 的取值范围 第 6 页 共 27 页 第 7 页 共 27 页 2018 年山东省泰安市高考数学一模试卷 理科 年山东省泰安市高考数学一模试卷 理科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个分 在每小题给出的四个 选项中 只有一项是符合题目要求的 选项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 A 1 0 1 2 集合 B y y 2x 3 x A 则 A B A 1 0 1 B 1 1 C 1 1 2 D 0 1 2 分析 化简集合 B 根据交集的定义写出 A B 解答 解 集合 A 1 0 1 2 集合 B y y 2x 3 x A 5 3 1 1 则 A B 1 1 故选 B 点评 本题考查了集合的化简与运算问题 是基础题 2 若 1 2i z 5i 则 z 的值为 A 3B 5C D 分析 把已知等式变形 利用复数代数形式的乘除运算化简 再由复数模的 公式计算答案 解答 解 由 1 2i z 5i 得 则 z 的值为 故选 D 点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算 考查了复数模的求法 是基础 题 第 8 页 共 27 页 3 在各项均为正数的等比数列 an 中 a6 3 则 a4 a8 A 有最小值 6 B 有最大值 6 C 有最大值 9 D 有最小值 3 分析 由题意设出等比数列的公比 把 a4 a8用 a6和公比表示 然后利用基 本不等式求得答案 解答 解 设等比数列 an 的公比为 q q 0 a6 3 a4 a8 当且仅当 q 1 时上式等号成立 故选 A 点评 本题考查等比数列的通项公式 考查了利用不等式求最值 是基础 题 4 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程中记录的产量 x 与 相应的生产能耗 y 的几组对应数据 x4235 y49m3954 根据上表可得回归方程 那么表中 m 的值为 A 27 9B 25 5C 26 9D 26 分析 根据回归直线方程过样本中心点 即可求出 m 的值 解答 解 由题中表格数据 计算 4 2 3 5 3 5 代入回归直线方程 9 4x 9 1 中 计算 9 4 3 5 9 1 42 即 49 m 39 54 42 解得 m 26 故选 D 第 9 页 共 27 页 点评 本题考查了线性回归直线方程过样本中心点 的应用问题 是 基础题目 5 阅读程序框图 运行相应的程序 则输出 i 的值为 A 3B 4C 5D 6 分析 通过程序框图的要求 写出前四次循环的结果得到输出的值 解答 解 该程序框图是循环结构 经第一次循环得到 i 1 a 2 经第二次循环得到 i 2 a 5 经第三次循环得到 i 3 a 16 经第四次循环得到 i 4 a 65 满足判断框的条件 执行是 输出 4 故选 B 点评 本题考查解决程序框图中的循环结构时 常采用写出前几次循环结果 找规律 6 将函数的图象向右平移个单位 得到函数 g x 的 图象 则下列说法不正确的是 A g x 的周期为 B 第 10 页 共 27 页 C 的一条对称轴D g x 为奇函数 分析 直接利用函数的平移变换求出函数的关系式 进一步利用三角函数的 性质求出结果 解答 解 函数的图象向右平移个单位 得到函数 g x sin 2x sin2x 的图象 所以 对于 A 函数的最小正周期为 对于 B 对于 D g x g x 故函数为奇函数 当 x 时 g 不是对称轴 故选 C 点评 本题考查的知识要点 三角函数的平移变换的应用 7 以为焦点的抛物线 C 的准线与双曲线 x2 y2 2 相交于 M N 两点 若 MNF 为正三角形 则抛物线 C 的方程为 A B C D 分析 由题意 y 代入双曲线 x2 y2 2 可得 x 利用 MNF 为正 三角形 求出 p 即可求出抛物线的方程 解答 解 由题意 y 代入双曲线 x2 y2 2 可得 x MNF 为正三角形 p 2 p 0 p 2 抛物线 C 的方程为 x2 4y 故选 D 第 11 页 共 27 页 点评 本题考查抛物线的简单性质 双曲线方程的应用 考查分析问题解决 问题的能力以及计算能力 8 a cosx dx 则 ax 9展开式中 x3项的系数为 A B C D 分析 a cosx dx 1 则 ax 9即 通过的通项公式即可得出 解答 解 a cosx dx 1 则 ax 9即 的通项公式 Tr 1 x9 2r 令 9 2r 3 交点 r 3 x3项的系数 故选 A 点评 本题考查了二项式定理的应用 微积分基本定理 考查了推理能力与 计算能力 属于中档题 9 已知 m n 是两条不同直线 是三个不同平面 下列命题中正确 的是 A 若 m n 则 m nB 若 则 C 若 m m 则 D 若 m n 则 m n 分析 通过举反例可得 A B C 不正确 根据垂直于同一个平面的两条直线 平行 可得 D 正确 从而得出结论 解答 解 A m n 平行于同一个平面 故 m n 可能相交 可能平行 也 可能是异面直线 故 A 错误 第 12 页 共 27 页 B 垂直于同一个平面 故 可能相交 可能平行 故 B 错误 C 平行与同一条直线 m 故 可能相交 可能平行 故 C 错误 D 垂直于同一个平面的两条直线平行 故 D 正确 故选 D 点评 本题考查两个平面平行的判定和性质 平面与平面垂直的性质 线面 垂直的性质 注意考虑特殊情况 属于中档题 10 如图 平面四边形 ABCD 中 ABC ADC 90 BC CD 2 点 E 在对角 线 AC 上 AC 4 AE 1 则的值为 A 17B 13C 5D 1 分析 利用余弦定理求出 BE cos BEC 再根据二倍角公式得出 cos BED 从而可计算出结论 解答 解 由题意可知 CE 3 BCE 60 EB cos BEC cos BED 2cos2 BEC 1 故选 D 点评 本题考查了平面向量的数量积运算 考查余弦定理的应用 属于中档 第 13 页 共 27 页 题 11 已知双曲线 C a 0 b 0 的右顶点为 A O 为坐标原点 以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P Q 若 PAQ 60 且 则双曲线 C 的离心率为 A B C D 分析 设双曲线的一条渐近线方程为x A a 0 P m m 0 由向量共线的坐标表示 可得 Q 的坐标 求得弦长 PQ 运用中点坐标公式 可得 PQ 的中点坐标 由两直线垂直的条件 斜率之积为 1 可得 m r 运用圆的弦长公式计算即可得到 a b 的关系 再由离心率公式计算即可 得到所求值 解答 解 设双曲线的一条渐近线方程 为 y x A a 0 P m m 0 由 3 可得 Q 3m 圆的半径为 r PQ 2m PQ 的中点为 H 2m 由 AH PQ 可得 解得 m r A 到渐近线的距离为 d 则 PQ 2 r 第 14 页 共 27 页 即为 d r 即有 可得 e 故选 C 点评 本题考查双曲线的离心率的求法 注意运用中点坐标公式和两直线垂 直的条件 斜率之积为 1 以及圆的弦长公式 考查化简整理的运算能力 属 于中档题 12 已知函数 f x 的定义域为 R 其导函数为 f x 函数 y f x 1 是奇 函数 当 x 1 时 x 1 f x x 1 f x 0 则不等式 xf x 1 f 0 的解集为 A 1 B 1 C 1 1 D 1 1 分析 由题意设 g x x 1 f x 求出 g x 后由条件判断出符号 由导数与函数单调性的关系判断出 g x 在 1 上递增 由条件和图象 平移判断出 函数 f x 1 的图象关于点 0 0 中心对称 由奇函数的图象 可得 函数 f x 1 是奇函数 令 h x g x 1 xf x 1 判断出 h x 的 奇偶性和单调性 再等价转化不等式 求出不等式的解集 解答 解 由题意设 g x x 1 f x 则 g x f x x 1 f x 第 15 页 共 27 页 当 x 1 时 x 1 f x x 1 f x 0 当 x 1 时 f x x 1 f x 0 则 g x 在 1 上递增 函数 f x 的定义域为 R 其图象关于点 1 0 中心对称 函数 f x 1 的图象关于点 0 0 中心对称 则函数 f x 1 是奇函数 令 h x g x 1 xf x 1 h x 是 R 上的偶函数 且在 0 递增 由偶函数的性质得 函数 h x 在 0 上递减 h 1 f 0 不等式 xf x 1 f 0 化为 h x h 1 即 x 1 解得 1 x 1 不等式的解集是 1 1 故选 C 点评 本题考查导数与单调性的关系 偶函数的定义以及性质 函数图象的 平移变换 以及函数单调性的应用 考查转化思想 构造法 化简 变形能 力 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题个小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 把正确答案填在答题分 把正确答案填在答题 卡中的横线上 卡中的横线上 13 设函数 f x 则 f 6 f log211 分析 推导出 f 6 1 log28 4 f log211 由此能求出 f 6 f log211 的值 解答 解 函数 f x f 6 1 log28 4 第 16 页 共 27 页 f log211 f 6 f log211 故答案为 点评 本题考查函数值的求法 考查函数性质等基础知识 考查运算求解能 力 考查函数与方程思想 是基础题 14 已知实 x y 数满足关系 则 x 2y 2 的最大值是 5 分析 作出不等式组对应的平面区域 设 u 2x y 4 则 z u 利用 u 的几何 意义 进行平移即可得到结论 解答 5 由条件可知 z x 2y 2 过点 M 1 3 时 z 5 z max 5 解 作出不等式组 对应的平面区域如图 由解得 M 1 3 由条件可知 z x 2y 2 过点 M 1 3 时 z 5 z max 5 故答案为 5 点评 本题主要考查线性规划的应用 利用数形结合是解决线性规划题目的 第 17 页 共 27 页 常用方法 15 已知一几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 分析 由三视图可得 该几何体为左右两部分组成 左边为圆锥 右边为 三棱锥 利用体积计算公式即可得出 解答 解 由三视图可得 该几何体为左右两部分组成 左边为圆锥 右 边为三棱锥 该几何体的体积 V 故答案为 点评 本题考查了圆锥与三棱锥的三视图 体积计算公式 考查了推理能力 与计算能力 属于基础题 16 对任意数列 A a1 a2 a3 an 定义 A 为数列 a2 a1 a3 a2 a4 a3 an 1 an 如果数列 A 使得数列 A 的所有项都 是 1 且 a12 a22 0 则 a2 100 分析 根据高阶等差数列的定义 进行推理即可得到结论 解答 解 设序列 A 的首项为 d 则序列 DA 为 d d 1 d 2 则它的第 n 项为 d n 1 因此数列 A 的第 n 项 an a1 ak 1 ak a1 d d 1 d n 2 a1 n 1 d n 1 n 2 第 18 页 共 27 页 则 an是关于 n 的二次多项式 其中 n2的系数为 a12 a22 0 必有 an n 12 n 22 则 a2 2 12 2 22 100 故答案为 100 点评 本题主要考查数列的概念和表示 根据定义进行递推关系是解决本题 的关键 综合性较强 难度较大 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 12 00 分 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 I 求角 B 的大小 若的取值范围 分析 I 将 化简 利用正弦定理即可求解角 B 的大 小 根据正弦定理 边化角 利用三角函数有界限即可求解取值范围 解答 解 I 由 化简可得 即 a2 b2 c2 ac cosB 0 B B 由 I 可知 B b 1 正弦定理 可得 a 2sinA c 2sinC 第 19 页 共 27 页 那么 2sinA 4sinC 2sinA 4sin 2sin A A 则 1 2sin A 2 故得的取值范围是 1 2 点评 本题考查正余弦定理的灵活应用和计算能力 属于基础题 18 12 00 分 如图 三棱柱 ABC A1B1C1 点 A1在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上 BAC CAA1 60 且 AB AC AA1 2 I 求证 B1C A1B 求二面角 A B1C B 的余弦值 分析 连结 BD AB1推导出 D 是 AC 的中点 BD AC 从而 AC 平面 A1BD 进而 AC A1B 再求出 AB1 A1B 由此能证明 A1B 平面 AB1C 从而 B1C A1B 由 AC DB DA1两两垂直 以 D 为坐标原点 建立空间直角坐标系 D xyz 利用向量法能求出二面角 A B1C B 的余弦值 解答 证明 连结 BD AB1 A1D AC CAA1 60 AC AA1 D 是 AC 的中点 又 AB AC BAC 60 BD AC 第 20 页 共 27 页 A1D BD D AC 平面 A1BD AC A1B 又 AA1B1B 是平行四边形 AB AA1 AB1 A1B AC A1B A A1B 平面 AB1C B1C A1B 解 由 知 AC DB DA1两两垂直 故以 D 为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz A 0 1 0 B 0 0 C 0 1 0 A1 0 0 0 1 设 B1 x0 y0 z0 则 B1 1 2 0 2 0 设平面 AB1C 的一个法向量 x y z 则 取 x 1 得 1 1 cos 二面角 A B1C B 的余弦值为 点评 本题考查线线垂直的证明 考查二面角的余弦值的求法 考查空间中 第 21 页 共 27 页 线线 线面 面面间的位置关系等基础知识 考查运算求解能力 考查函数与 方程思想 是中档题 19 12 00 分 体检评价标准指出 健康指数不低于 70 者为身体状况好 健康 指数低于 70 者为身体状况一般 某学校数学学科共有 30 位教师 其中 60 的 人经常进行体育锻炼 经体检调查 这 30 位教师的健康指数 百分制 的数据 如下 经常锻炼的 65 76 80 75 92 84 76 86 87 95 68 82 72 94 7l 89 83 7 7 缺少锻炼的 63 58 85 93 65 72 59 91 63 67 56 64 I 根据以上资料完成下面的 2 2 列联表 并判断有多大把握认为 身体状况 好与体育锻炼有关系 身体状况 好 身体状况 一般 总 计 经常体育锻炼 缺少体育锻炼 总 计30 从该学科教师健康指数高于 90 的 5 人中随机选取 2 人介绍养生之道 求 这 2 人中经常进行体育锻炼的人数的分布列和数学期望 附 P K2 k0 0 100 050 0250 0100 0060 001 k02 7063 8415 0246 6357 87910 82 8 分析 直接由已知可得 2 2 列联表 求出 K2的观测值 结合图标得答 案 设这 2 人中爱好体育锻炼的人数为 则 的可能取值为 0 1 2 求出 概率 列出分布列 再由期望公式求期望 解答 解 第 22 页 共 27 页 身体状况 好 身体状况 一般 总 计 经常体育锻炼16218 缺少体育锻炼4812 总 计201030 7 879 有 99 5 的把握认为 身体状况好与体育锻炼有关系 设这 2 人中爱好体育锻炼的人数为 则 的可能取值为 0 1 2 其中 P 0 P 1 P 2 的分布列为 012 P E 0 点评 本题考查独立性检验的应用 考查离散型随机变量的分布列及期望的 求法 是中档题 20 12 00 分 已知椭圆的右焦点为 F 左顶点为 A 右 顶点为 B e 为椭圆的离心率 且 其中 O 为原点 I 求椭圆的方程 设过点 F 的直线 l 直线 l 与 x 轴不重合 与椭圆 C 交于 M N 两点 直 线 AM 与 BN 交于点 T 证明 T 点的横坐标为定值 分析 I 根据条件化简得出 a b c 的值 从而可求出椭圆方程 II 讨论直线 l 的斜率是否存在 分别求出直线 AM 和 BN 的方程 解方程组 得出交点 T 的横坐标即可得出结论 解答 解 I 由题意可知 第 23 页 共 27 页 整理得 a 2c 又 a2 3 c2 a 2 c 1 椭圆的方程为 1 II 证明 当直线 l 与 x 轴垂直时 M 1 N 1 直线 AM 方程为 y x 1 直线 BN 的方程为 y x 3 解方程组 得 T 4 3 当直线 l 与 x 轴不垂直时 设直线 l 的方程为 y kx k k 0 联立方程组 消元得 3 4k2 x2 8k2x 4k2 12 0 设 M x1 y1 N x2 y2 则 x1 x2 x1x2 直线 AM 的方程为 y x 2 直线 BN 的方程为 y x 2 令 x 2 x 2 即 x1 1 x2 2 x 2 x1 2 x2 1 x 2 x 2 2 4 综上 T 点的横坐标为定值 4 点评 本题考查了椭圆的性质 直线与椭圆的位置关系 属于中档题 21 12 00 分 已知函数 f x xlnx 第 24 页 共 27 页 I 求函数 f x 的图象在点 x 1 处的切线方程 令 g x ex f x 2 x 证明 g x 0 求证 分析 求得 f x 的导数和切线的斜率 切点 可得切线方程 求得 g x 的解析式和导数 令 h x ex ln x 2 求得导数和单调区 间 以及函数的零点 可得 h x 的最小值 计算可得结论 由 ex ln x 2 令 x 得 e ln 2 分别取 n 1 2 3 n 然后利用累加法即可证明 ln2 ln3 ln2 2 ln4 ln3 3 ln n 1 lnn n 解答 解 函数 f x xlnx 的导数为 f x 1 lnx 可得函数 f x 的图象在点 x 1 处的切线斜率为 1 且 f 1 0 即有函数 f x 的图象在点 x 1 处的切线方程为 y x 1 证明 g x ex f x 2 x ex x 2 ln x 2 x 导数为 g x ex 1 ln x 2 1 ex ln x 2 可令 h x ex ln x 2 导数 h x ex 由 h x 在 2 递增 且 h 1 0 h 0 0 h x 在 2 有唯一零点 x0 1 0 当 2 x x0时 h x 0 当 x x0时 h x 0 当 x x0时 h x 取得最小值 h x0 0 即 e 即 ln x0 2 x0 故 h x h x0 x0 0 即 g x 0 第 25 页 共 27 页 证明 由 ex ln