线性代数自考知识点汇总

第 1 页 共 11 页 行列式行列式 1 行列式的性质行列式的性质 性质性质 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等 T DD 性质性质 2 互换行列式的两行 列 互换行列式的两行 列 行列式变号 行列式变号 推论推论 1 如果行列式有两行 列 的对应元素完全相同 则此行列式的值为零如果行列式有两行 列 的对应元素完全相同 则此行列式的值为零 如 abc abc0 abc 性质性质 3 行列式的某一行 列 中所有的元素都乘以同一数行列式的某一行 列 中所有的元素都乘以同一数 k 等于用数 等于用数 k 乘此行列式乘此行列式 如 111213111213 212223212223 313233313233 aaaaaa kakakak aaa aaaaaa 推论推论 2 如果行列式中有两行 列 元素成比例 则此行列式的值为零 如果行列式中有两行 列 元素成比例 则此行列式的值为零 如 abc abc0 kakbkc 性质性质 4 若行列式的某一行 列 的元素都是两数之和 则这个行列式等于两个行列式之和若行列式的某一行 列 的元素都是两数之和 则这个行列式等于两个行列式之和 如 111213111213111213 212122222323212223212223 313233313233313233 aaaaaaaaa aaaaaaaaaaaa aaaaaaaaa 性质性质 5 把行列式的某一行 列 的各元素乘以同一数然后加到另一行把行列式的某一行 列 的各元素乘以同一数然后加到另一行 列列 对应的元素上去 行列式的对应的元素上去 行列式的 值不变值不变 如 111213111213 212223212223 313233311132123313 aaaaaa aaaaaa aaaakaakaaka 2 余子式与代数余子式余子式与代数余子式 在 n 阶行列式中 把元素所在的第 i 行和第 j 列划去后 留下来的 n 1 阶行列式叫做元素的余子 ij a ij a 式 记作 叫做元素的代数余子式 ij M ij ijij A 1 M ij a 如 元素的余子式为 111213 212223 313233 aaa aaa aaa 23 a 1112 23 3132 aa M aa 元素的代数余子式为 23 a 11122 3 2323 3132 aa A 1 M aa 3 行列式按行 列 展开法则行列式按行 列 展开法则 第 2 页 共 11 页 定理 1 行列式的值等于它的任一行 列 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 即 或 1122iiiiinin Da Aa Aa A 1122jjjjnjnj Da Aa Aa A 1 2 1 2in jn 如 111213 212223 313233 aaa aaa aaa 111112121313 a Aa Aa A 定理 2 行列式任一行 列 的元素与另一行 列 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 即 或 1212 0 jjiijnin a Aa Aa A 1122 0 jjjjnjnj a Aa Aa Aij 1 2 1 2in jn 4 行列式的计算行列式的计算 1 二阶行列式 1112 11221221 2122 aa a aa a aa 2 三阶行列式 111213 212223 313233 aaa aaa aaa 112233122331132132132231122133112332 a a aa a aa a aa a aa a aa a a 3 对角行列式 1 2 12n n n m 1 2 1 2 12n n 1 4 三角行列式 1111121n 2122222n 1122nn n1n2nnnn aaaa aaaa a aa aaaa 111 n 11n1n n n 1 212 n 12 n 12n 2 1n2 n 1n1 n1n1n2nn aaaa aaaa 1 a aa aaaa 5 消元法 利用行列式的性质 将行列式化成三角行列式 从而求出行列式的值 6 降阶法 利用行列式的性质 化某行 列 只有一个非零元素 再按该行 列 展开 通过降低 行列式的阶数求出行列式的值 7 加边法 行列式每行 列 所有元素的和相等 将各行 列 元素加到第一列 行 再提出公 因式 进而求出行列式的值 矩阵矩阵 第 3 页 共 11 页 1 常见矩阵常见矩阵 1 对角矩阵 对角矩阵 主对角线以外的元素全为 0 的方阵 称为对角矩阵 记作 2 单位矩阵 单位矩阵 主对角线上的元素全为 1 的对角矩阵 称为单位矩阵 记作 E 3 上三角矩阵 上三角矩阵 对角线以下的元素全为 0 的方阵 如 11121n 222n nn aaa aa a 4 下三角矩阵 下三角矩阵 对角线以上的元素全为 0 的方阵 如 11 2122 n1n2nn a aa aaa 5 对称矩阵 对称矩阵 设 A 为 阶方阵 若 即 则称 A 为对称矩阵 T AA ijji aa 6 反对称矩阵 反对称矩阵 设 A 为 阶方阵 若 即 则称 A 为反对称矩阵 T AA ijji aa 7 正交矩阵 正交矩阵 设 A 为 阶方阵 如果或 则称 A 为正交矩阵 T AAE T A AE 2 矩阵的加法 数乘 乘法运算矩阵的加法 数乘 乘法运算 1 矩阵的加法 矩阵的加法 如 abcabcaabbcc defdefddeeff 注 只有同型矩阵才能进行加减运算 矩阵相加减就是对应元素相加减 2 数乘矩阵 数乘矩阵 如 abckakbkc k defkdkekf 注 数乘矩阵就是数乘矩阵中的每个元素 3 矩阵的乘法 设 矩阵的乘法 设 规定 ijmijnss A a B b ijm n ABC c 其中 s iji1 1 ji22 jissjikkj k 1 ca ba ba ba b i1 2 m j1 2 n 注 左矩阵左矩阵 A 的列数等于右矩阵的列数等于右矩阵 B 的行数的行数 左矩阵左矩阵 A 的第的第 i 行与右矩阵行与右矩阵 B 的第的第 j 列对应元素乘积的和是矩阵乘积列对应元素乘积的和是矩阵乘积 C 的元素的元素 ij c 左矩阵左矩阵 A 的行数为乘积的行数为乘积 C 的行数 右矩阵的行数 右矩阵 B 的列数为乘积的列数为乘积 C 的列数的列数 如行矩阵乘列矩阵是一阶方阵 即一个数 即 第 4 页 共 11 页 11 21 11121s11 1112211ss1 s1 b b aaaa ba ba b b 列矩阵乘行矩阵是 s 阶方阵 即 1111 1111 1211 1s 2121 1121 1221 1s 11121s s1s1 11s1 12s1 1s aa ba ba b aa ba ba b bbb aa ba ba b 3 逆矩阵逆矩阵 设设 n 阶方阵阶方阵 A B 若 若 AB E 或或 BA E 则 则 A B 都可逆 且都可逆 且 11 AB BA 1 二阶方阵求逆 设 则 两调一除法 ab A cd 1 db 11 AA caAadbc 2 对角矩阵的逆 1 1 1 1 1 2 2 1 n n aa aa aa 1 1 1 n 2 1 2 1 n 1 aa a a aa 3 分块对角阵的逆 1 1 1 1 1 2 2 1 s s AA AA AA 1 1 1 s 2 1 2 1 s 1 AA A A AA 4 一般矩阵求逆 初等行变换的方法 ERT1 AEEA 4 方阵的行列式方阵的行列式 由 阶方阵 A 的元素所构成的行列式 各元素的位置不变 叫做方阵 A 的行列式 记作或 det A A 5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 下面三种变换称为矩阵的初等行 列 变换 第 5 页 共 11 页 1 互换两行 列 2 数乘某行 列 3 某行 列 的倍数加到另一行 列 6 初等矩阵初等矩阵 单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵 称为初等矩阵 如都是初等矩阵 001100100 010 0k0 010 100001k01 7 矩阵的秩矩阵的秩 矩阵 A 的非零子式的最高阶数 称为矩阵 A 的秩 记作 R A 或 r A 求矩阵的秩的方法 1 定义法 找出 A 中最高阶的非零子式 它的阶数即为 A 的秩 2 初等行变换法 行阶梯形矩阵 R A R 行阶梯形矩阵 非零行的行数 ERT A 8 重要公式及结论重要公式及结论 1 矩阵运算的公式及结论 1212121 2 kkkkkkk kkkkk kk 1 0 ABBA AB CA BC AB AB AB CA BC AB CACBC AB A BA B AAA A A A A EE ABA BAB EAAEA AE T TT TTTTTTT T T n Tnn AA AB AB AA ABB A AA ABB A AAA AA E AA AA ABA BBA AA ABAB 矩阵乘法不满足交换律 即一般地 AB AB 矩阵乘法不满足消去律 即一般地若 AB AC 无 B C 只有当 A 可逆时 有 B C 一般地若 AB O 则无 A O 或 B O 2 22 AB A2ABB A 2 逆矩阵的公式及定理 1 11 1111 1n 1 111 1k 1k1 T1 1T 1 AA AA AA 1 AA AA AA AA A BB A 1 AAAA A AA A A 可逆可逆 A 0A A E 即 即 A 与单位矩阵与单位矩阵 E 等价 等价 3 矩阵秩的公式及结论 T m n R O 0 R A min m n R A R A R kA R A k0 A0R A n R ABR AR B R AB R A R AB R B 第 6 页 共 11 页 特别地 当 A 可逆时 R AB R B 当 B 可逆时 R AB R A 即等价矩阵的秩相等等价矩阵的秩相等或初等变换不改变矩阵的秩初等变换不改变矩阵的秩 ET ABA B R AR B 9 矩阵方程矩阵方程 1 设 A 为 n 阶可逆矩阵 B 为 n m 矩阵 则矩阵方程 AX B 的解为 1 XA B 解法 求出 再计算 1 A 1 A B ERT ABEX 2 设 A 为 n 阶可逆矩阵 B 为 m n 矩阵 则矩阵方程 XA B 的解为 1 XBA 解法 求出 再计算 1 A 1 BA ECT AE BX 10 矩阵间的关系矩阵间的关系 1 等价矩阵 如果矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵 B 那么称矩阵 A 与 B 等价 即存在可逆矩阵 P Q 使得 PAQ B 性质 等价矩阵的秩相等 2 相似矩阵 如果存在可逆矩阵 相似矩阵 如果存在可逆矩阵 P 使得 使得 那么称那么称 A 与与 B 相似相似 1 P APB 性质 相似矩阵有相同的特征多项式 相同的特征值 相同的行列式 相同的迹 3 合同矩阵 如果存在可逆矩阵 P 使得 那么称 A 与 B 合同 T P APB 性质 合同矩阵的秩相等 向量空间向量空间 1 线性组合线性组合 1 若 k 则称向量 与 成比例 2 零向量 是任一向量组的线性组合 3 向量组中每一向量都可由该向量组线性表示 2 线性相关与线性无关线性相关与线性无关 1 单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量 2 单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量 3 两向量线性相关当且仅当两向量对应成比例 4 两向量线性无关当且仅当两向量不对应成比例 5 含有 向量的向量组一定线性相关 6 向量组向量组线性相关的充分必要条件是线性相关的充分必要条件是 12m 齐次线性方程组有非零解 22mm11 kk0k 以向量组为列作的矩阵以向量组为列作的矩阵的秩的秩n 时 m 个 n 维向量一定线性相关 定理定理 1 向量组向量组 a1 a2 am m 2 线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由 线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由 其余其余 m 1 个向量线性表示个向量线性表示 向量组线性无关的充分必要条件是向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示 定理定理 2 如果向量组 如果向量组 A a1 a2 ar 线性无关 线性无关 而而向量组向量组 a1 a2 ar 线性相关 则线性相关 则 可由可由 A 线性表示 且表示式唯一线性表示 且表示式唯一 定理 3 设向量组 2r1 A 12rr 1m B 若 A 线性相关 则向量组 B 也线性相关 反之 若向量组 B 线性无关 则向量组 A 也线性无关 即部分相关 则整体相关 整体无关 则部分无关 即部分相关 则整体相关 整体无关 则部分无关 定理定理 4 无关组的截短组无关 相关组的接长组相关 无关组的截短组无关 相关组的接长组相关 3 极大无关组与向量组的秩极大无关组与向量组的秩 定义 1 如果在向量组 T 中有 r 个向量 a1 a2 ar 满足条件 向量组 a1 a2 ar 线性无关 线性相关 T 2r1 那么称向量 a1 a2 ar 是向量组 T 的一个极大无关组 定义定义 2 向量组的极大无关组中所含向量的个数 称为向量组的秩向量组的极大无关组中所含向量的个数 称为向量组的秩 定义 3 矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩 矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩 结论 1 线性无关的向量组的极大无关组就是它本身 结论 2 如果向量组的秩是 r 那么该向量组的任意 r 个线性无关的向量都是它的一个极大无关组 定理 1 设向量组 A a1 a2 ar 及向量组 B b1 b2 bs 如果组 A 能由组 B 线性表示 且组 A 线 性无关 则 r s 推论 1 等价的向量组有相同的秩 定理定理 2 矩阵的秩 矩阵列向量组的秩 矩阵行向量组的秩矩阵的秩 矩阵列向量组的秩 矩阵行向量组的秩 4 向量空间向量空间 定义 1 设 V 为 n 维向量的集合 如果集合 V 非空 且集合 V 对于加法及乘数两种运算封闭 那么就 称集合 V 为向量空间 5 基与基与向量在基下的坐标向量在基下的坐标 定义 2 设 V 是向量空间 如果向量组 a1 a2 ar 满足条件 1 向量组 a1 a2 ar 线性无关 2 线性相关 T 2r1 那么称向量组 a1 a2 ar是向量空间 V 的一个基 基中所含向量的个数称为向量空间 V 的维数 第 8 页 共 11 页 记作 dimV 并称 V 为 r 维向量空间 定义 3 设向量组 a1 a2 ar 是向量空间 V 的一个基 则 V 中任一向量 x 可唯一地表示为基的一 个线性组合 即 1122rr xaaa 称有序数组为向量 x 在基 a1 a2 ar下的坐标 12r 线性方程组线性方程组 1 线性方程组解的判定线性方程组解的判定 1 线性方程组线性方程组 Ax b 有解的充分必要条件是它的系数矩阵有解的充分必要条件是它的系数矩阵 A 和增广矩阵 和增广矩阵 A b 的秩相同 的秩相同 即即 R A R A b 当 R A R A b r 方程组方程组 AX b 有惟一解的充分必要条件是有惟一解的充分必要条件是 r n 方程组方程组 AX b 有无穷多解的充分必要条件是有无穷多解的充分必要条件是 r n 2 方程组方程组 AX b 无解的充分必要条件是无解的充分必要条件是 R A R A b 2 齐次线性方程组有非零解的判定齐次线性方程组有非零解的判定 1 齐次方程组齐次方程组 AX 0 有非零解的充分必要条件是系数矩阵有非零解的充分必要条件是系数矩阵 A 的秩的秩 R A 未知量的个数未知量的个数 n 2 含有含有 n 个方程 个方程 n 个未知量的齐次线性方程组个未知量的齐次线性方程组 AX 0 有非零解的充分必要条件是方程组的系数有非零解的充分必要条件是方程组的系数 行列式等于零行列式等于零 即 即 A 0 3 齐次线性方程组 AX 0 中 若方程的个数 m 未知量的个数 n 则方程组有非零解 3 齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质 1 若是 Ax 0 的解 则也是 Ax 0 的解 12 12 2 若是 Ax 0 的解 则也是 Ax 0 的解 k 4 齐次线性方程组的基础解系与通解齐次线性方程组的基础解系与通解 1 解空间 齐次线性方程组 Ax 0 的全体解向量所组成的集合 是一个向量空间 称为方程组 Ax 0 的解空间 记作 V 即 V x Ax 0 x R 2 基础解系 齐次方程组 AX 0 的解空间 V 的一个基 称为齐次方程组 AX 0 的一个基础解系 基础解系中解向量的个数是基础解系中解向量的个数是 n r A 方程组 AX 0 的任意 n r 个线性无关的解都是 AX 0 的基础解系 3 齐次线性方程组的通解为 其中是 Ax 0 的一个基础解 1122n rn r kkk 12n r 系 5 非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质 1 若是 Ax b 的解 则是 Ax 0 的解 12 12 即 Ax b 的任意两个解的差必是其导出组 Ax 0 的解 2 若是 Ax b 的解 是 Ax 0 的解 则是 Ax b 的解 即 Ax b 的任意一个解和其导出组 Ax 0 的任意一个解之和仍是 Ax b 的解 6 非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解 第 9 页 共 11 页 非齐次线性方程组 AX b 的通解为 1122n rn r kkk 其中为对应的齐次线性方程组 Ax 0 的一个基础解系 为非齐次线性方程组 AX b 12n r 的任意一个解 称为特解 方阵的特征值方阵的特征值 1 向量的内积向量的内积 设 则 x y 的内积为 11 22 nn xy xy x y xy 1122nn x yx yx yx y 1 向量 x 的长度 222 12n xx xxxx 2 非零向量的单位化 若向量 x 0 1 x x 则是单位向量 3 当正交 x y0 xy 时称向量与 4 若非零向量组中的向量两两正交 则称该向量组为正交组 5 若正交组中每个向量都是单位向量 则称它为标准正交组 定理 1 正交向量组必线性无关 定理 2 A 为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列 行 向量都是单位向量且两两正交 6 施密特正交化过程 设是一个线性无关的向量组 123 正交化 令 11 12 221 11 a 1323 3312 1122 a a a 单位化 取 312 123 123 e e e 则是与等价的标准正交组 123 e e e 123 2 特征值与特征向量特征值与特征向量 1 方阵 A 的特征值是特征方程的根 AE0 2 三角矩阵和对角矩阵的全部特征值就是它的全部对角元 三角矩阵和对角矩阵的全部特征值就是它的全部对角元 3 方阵和它的转置方阵有相同的特征值 4 设是 n 阶方阵 A 的全部特征值 则 12n 12n tr A 12n A 即方阵方阵 A 的对角线上元素之和等于的对角线上元素之和等于 A 的全部特征值之和 方阵的全部特征值之和 方阵 A 的行列式等于的行列式等于 A 的全部特征值的乘的全部特征值的乘 积积 第 10 页 共 11 页 5 若 若是方阵是方阵 A 的特征值 则的特征值 则是方阵是方阵的特征值的特征值 特别地 当特别地 当时 方阵时 方阵 A 的的 f fA fA0 特征值是特征值是的根的根 f0 说明 说明 m m 1 mm 110 f x a xaxa xa mm 1 mm 110 f A a AaAa Aa E 例如是方阵 A 的特征值 则方阵的特征值是 fAA2E f2 方阵的特征值是 2 fAA3A4E 2 f34 例如若 则方阵 A 的特征值是的根 即 2 A3A4E0 2 340 12 1 4 6 设都是方阵 A 的属于同一特征值的特征向量 则也是 12 P P 0 112212 k Pk P k k 不全为零 的特征向量 0 7 属于不同特征值的特征向量线性无关 8 属于不同特征值的线性无关的特征向量的并集仍线性无关 3 方阵的对角化方阵的对角化 1 若方阵 若方阵 A 与对角矩阵与对角矩阵 相似 则说相似 则说 A 可以对角化 即存在可逆矩阵可以对角化 即存在可逆矩阵 P 使得 使得 1 P AP 是以是以 A 的的 n 个特征值为对角元素的对角矩阵个特征值为对角元素的对角矩阵 2 n 阶方阵 A 可以对角化的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量 属于每一个特征值的线性无关的特征向量的个数与该特征值的重数相同 3 n 阶方阵 A 可以对角化的充分条件是 n 阶方阵 A 的 n 个特征值互不相等 4 若 A 与 B 相似 则与相似 fA f B 4 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化