2012高考数学二轮复习 公式总结以及例题必修3

用心 爱心 专心1 20122012 高考数学二轮复习高考数学二轮复习 必修必修 3 3 公式总结以及例题公式总结以及例题 1 1 算法初步算法初步 秦九韶算法 通过一次式的反复计算逐步得出高次多项式的值 对于一个秦九韶算法 通过一次式的反复计算逐步得出高次多项式的值 对于一个 n n 次多项式 次多项式 只要作只要作 n n 次乘法和次乘法和 n n 次加法即可 表达式如下 次加法即可 表达式如下 12211 1 1 axaxxaxaxaaxaxa nnn n n n n 例题 秦九韶算法计算多项式例题 秦九韶算法计算多项式 1876543 23456 xxxxxx 0 4 x时当 答案 6 6 运算需要做几次加法和乘法 1876543x xxxxx即 理解算法的含义理解算法的含义 一般而言 对于一类问题的机械的 统一的求解方法称为算法 其意 义具有广泛的含义 如 广播操图解是广播操的算法 歌谱是一首歌的算法 空调说明书 是空调使用的算法 algorithmalgorithm 1 描述算法有三种方式 自然语言 流程图 程序设计语言 本书指伪代码 2 算法的特征 有限性 算法执行的步骤总是有限的 不能无休止的进行下去 确定性 算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切 而且必须有输出 输出 可以是一个或多个 没有输出的算法是无意义的 可行性 算法的每一步都必须是可执行的 即每一步都可以通过手工或者机器 在一定时间内可以完成 在时间上有一个合理的限度 3 算法含有两大要素 操作 算术运算 逻辑运算 函数运算 关系运算等 控 制结构 顺序结构 选择结构 循环结构 流程图 流程图 flowflow chartchart 是用一些规定的图形 连线及简单的文字说明表示算法及程 序结构的一种图形程序 它直观 清晰 易懂 便于检查及修改 注意 注意 1 1 画流程图的时候一定要清晰 用铅笔和直尺画 要养成有开始和结束的好习惯 2 拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程 反过来再检查 比如 遇 到判断框时 往往临界的范围或者条件不好确定 就先给出一个临界条件 画好大致 流程 然后检查这个条件是否正确 再考虑是否取等号的问题 这时候也就可以有几 种书写方法了 3 在输出结果时 如果有多个输出 一定要用流程线把所有的输出总结到一起 一起终结到结束框 算法结构 算法结构 顺序结构 选择结构 循环结构 直到型循环 当型循环 顺序结构 顺序结构 sequencesequence structurestructure 是一种最简单最基本的结构它不存在条件判断 控制转移和重复执行的操作 一个顺序结构的各部分是按照语句出现的先后顺序执行 A B Y N AB p N Y A p Y N N A 用心 爱心 专心2 的 选择结构 选择结构 selectionselection structurestructure 或者称为分支结构 其中的判断框 书写时主要 是注意临界条件的确定 它有一个入口 两个出口 执行时只能执行一个语句 不 能同时执行 其中的 A B 两语句可以有一个为空 既不执行任何操作 只是表明在 某条件成立时 执行某语句 至于不成立时 不执行该语句 也不执行其它语句 循环结构 循环结构 cyclecycle structurestructure 它用来解决现实生活中的重复操作问题 分直到型 until 和当型 while 两种结构 见上图 当事先不知道是否至少执行一次循环 体时 即不知道循环次数时 用当型循环 基本算法语句 基本算法语句 本书中指的是伪代码伪代码 pseudopseudo codecode 且是使用 BASIC 语言编写的 是介于自然语言和机器语言之间的文字和符号 是表达算法的简单而实用的好方法 伪代码没有统一的格式 只要书写清楚 易于理解即可 但也要注意符号要相对统一 避免引起混淆 如 赋值语句中可以用 也可以用 表示两变量yx yx 相乘时可以用 也可以用 赋值语句 赋值语句 assignmentassignment statementstatement 用 表示 如 表示将 y 的值 yx 赋给 x 其中 x 是一个变量 y 是一个与 x 同类型同类型的变量或者表达式 一般格式 一般格式 有时在伪代码的书写时也可以用 但表达式变量 yx 此时的 不是数学运算中的等号 而应理解为一个赋值号 注注 1 1 赋值号左边只能是变量 不能是常数或者表达式 右边可以是常数或者表达 式 具有计算功能 如 3 a b 6 a 都是错误的 而 a 3 5 1 a 2a 3 都是正确的 2 2 一个赋值语句一次只能给一个变量赋值 如 a b c 2 a b c 2 都是错误的 而 a 3 是正确的 例题 例题 将 x 和 y 的值交换 同样的如果交换三个变量 x y z 的值 py yx xp pz zy yx xp 输入语句 输入语句 inputinput statementstatement ReadRead a a b b 表示输入的数一次送给表示输入的数一次送给 a a b b 输出语句 输出语句 outout statementstatement PrintPrint x x y y 表示一次输出表示一次输出 运算结果运算结果 x x y y 注 注 1 1 支持多个输入和输出 但是中间要用逗号逗号隔开 2 2 Read 语句输入的只能是变 量而不是表达式 3 3 Print 语句不能起赋值语句 意旨不能在 Print 语句中用 4 4 Print 语句可以输出常量和表达式的值 5 5 有多个语句在一行书写时用 隔开 例题 例题 当 x 等于 5 时 Print x x 在屏幕上输出的结果是 x 5 条件语句 条件语句 conditionalconditional statementstatement 1 1 行行 IfIf 语句语句 IfIf A A ThenThen B B 注 注 没有 End If 2 2 块块 IfIf 语句 语句 注 注 不要忘记结束语句 End If 当有 If 语句嵌套使用时 有几个 If 就必须要有几个 End If ElseElse IfIf 是对上一个条件的否定 即 已经不属于上面的条件 另外 ElseElse IfIf 后面也要有 End If 注意每个条件 的临界性 即某个值是属于上一个条件里 还是属于下一个条件 为了使得书 写清晰易懂 应缩进书写 格式如下 用心 爱心 专心3 例题例题 用条件语句写出求三个数种最大数的一个算法 或者 注 注 1 1 同样的你可以写出求三个数中最小的数 2 2 也可以类似的求出四个数中最小 大的 数 循环语句 循环语句 cyclecycle statementstatement 当事先知道循环次数时用 ForFor 循环 即使是 N 次也是已知次数的循环 当循环次数不确定时用 WhileWhile 循环 DoDo 循环有两种表 达形式 与循环结构的两种循环相对应 说明 说明 1 1 WhileWhile 循环是前测试型的 即满足什么条件才进入循环 其实质是当型循环 一 般在解决有关问题时 可以写成 WhileWhile 循环 较为简单 因为它的条件相对好判断 2 2 凡是能用 WhileWhile 循环书写的循环都能用 ForFor 循环书写 3 3 WhileWhile 循环和 DoDo 循环可以相 互转化 4 4 DoDo 循环的两种形式也可以相互转化 转化时条件要相应变化 5 5 注意临界条 件的判定 If A Then B Else C End If If A Then B Else If C Then D End If Read a b c If a b Then If a c Then Print a Else Print c End If Else If b c Then Print b Else Print c End If End If Read a b c If a b and a c Then Print a Else If b c Then Print b Else Print c End If For I From 初值 to 终值 Step 步长 End For For 循环 While A End While While 循环 Do While p Loop 当型 Do 循环 Do Loop Until p 直到型 Do 循环 用心 爱心 专心4 例题 例题 见课本 见课本 99 531 的一个算法设计计算 21 P S intPr End ISS 2 Step 99 To 3 From I 1 For For S S intPr hile End ISS 2II 97 I hile 1 1 W W I S S intPr hile End 2II ISS 99 I hile 1 1 W W I S S intPr 99 I 001 I 2II ISS o 1 1 或者UntilLoop D I S S intPr 99 I ISS 2II o 1 1 UntilLoop D I S S intPr 2II ISS 100 I 99 I Whileo 1 1 Loop D I S 或者 S intPr ISS 2II 99 I 97 I Whileo 1 1 Loop D I S 或者 颜老师友情提醒 颜老师友情提醒 1 1 一定要看清题意 看题目让你干什么 有的只要写出算法 有的只 要求写出伪代码 而有的题目则是既写出算法画出流程还要写出伪代码 2 2 在具体做题时 可能好多的同学感觉先画流程图较为简单 但也有的算法伪代 码比较好写 你也可以在草稿纸上按照你自己的思路先做出来 然后根据题目要求作答 一般是先写算法 后画流程图 最后写伪代码 3 3 书写程序时一定要规范化 使用统一的符号 最好与教材一致 由于是新教材 的原因 再加上各种版本 可能同学会看到各种参考书上的书写格式不一样 而且有时 还会碰到我们没有见过的语言 希望大家能以课本为依据 不要被铺天盖地的资料所淹 没 Ex Ex 1 1 N n nN 1 3 1 2 1 1 使得一定存在自然数对于任意给定的 2 2 100 1 4 1 3 1 2 1 1的一个算法用循环语句写出求 3 3 100 1 3 1 2 1 1写出伪代码并画出流程图的一个算法设计一个计算 用心 爱心 专心5 答案 答案 1 1 2 2 3 3 nPrint Whlie n 1 SS 1nn N S While 0n 0S N Re End ad SPrint For 1 aa I a SS 100 to1 From I 1 0 End For a S S 1II I 1 SS 100 I 1I 0S 3 3 2 1 否则输出 转 则如果 算法 S S S S 流程图 流程图 伪代码 伪代码 或者 SPrint or F End I 1 SS 100 to1 From I 0 For S SPrint WhileEnd 1II I 1 SS 100I 1 0 While I S 典型例题 典型例题 7 7 市话话费计算方式为 自接通起 3 分钟内 含 3 分钟 0 2 元 超过 3 分钟的部分每 开始 0 S 1 I 100 I 输出 S 1 II I SS 1 N Y 1 下面的伪代码输出的结果是 I 2 For n from 2 To 10 Step 2 I 2 I 1 If I 20 Then I I 20 End If End for Print I 2 下面的伪代码的目的是 10 Read m n 20 If m n Int m n Then Go to 70 30 c m Int m n n 40 m n 50 n c 60 Go to 20 70 Print n 3 与下列为代码对应的 数学表达式是 Read n e 0 S 1 For I from 1To n S S I e e 1 S End for Print e 4 下面的程序输出的是 Read n I 1 While I n If n I Int n I Then S I I I 1 End if Print S End while 5 I 0 For n From 1 to 100 If Int n 7 n 7 then I I 1 End If End For Print I 上面一段为代码的目的是 6 a 1 b 2 c 3 a b b c c a Print a b c a b c 用心 爱心 专心6 分钟 0 1 元 不足 1 分钟按 1 分钟计 输入一个证书作为通话时长 用条件语句描述通话 话费 8 8 某电视机厂 2002 年全年生产电视机 60 万台 计划从 2003 年开始每年的产量比上一年 增长 15 设计一个算法 计算从哪一年开始 该厂的电视机产量超过 300 万台 只写 出伪代码 9 9 斐波那契数列 斐波那契数列 假定一对大兔子没一个月可以生一对小兔子 而小兔子出生后两个 月就有生育能力 问从一对小兔子开始 一年后能繁殖多少兔子 这就是著名的斐波那 契数列问题 其规律是从第三个月开始 每个月的兔子数量都是前两个月的兔子数量的 和 用循环语句描述这一算法 10 10 一个三位数的十位和个位上的数字交换 得到一个新的三位数 新旧两个三位时都能 被 4 整除 设计一个算法求满足条件的三位数的个数 并写出伪代码 11 11 若是两个互质的数 则一定存在整数 使得y x v u 设计设 35y 33 x 1vy x u v 并用伪代码表示条件的一个算法求出一组满足u 答案 答案 1 1 1515 2 2 求 m n 的最大公约数 3 3 4 4 n 的 1 3 1 2 1 1 n e 所有约数 5 5 计算 1 100 能被 7 整除的数的个数 6 6 a 2 b 3 c 2 7 7 解解 8 解 解 Y intPr 1 03 XInt0 2Y Else 1 013 XInt0 2Y Then 3 X 3 XInt If Else 0 2Y Then 3X If X Re IfEnd ad IPrint While 1 0 151S 300S 2002 60 End II S While I S 9 9 解 解 或者 PPrint or F End P T S TSP 12 to1 From I 1 1 T For T S SPrint or F End C b ba S baC 12 to3 From I 2 1 1 CS For S b a 用心 爱心 专心7 10 10 解 解 IPrint or F End If nd 1II Then 4 Y10Z100X4 Y10Z100XInt If 10Y 100X N 10 100Y 100 X 4 step 999 to100 From N 0 E Z XNInt N Int For I 11 11 解 解 v u intPr 33 35v 1u 1 33 35v 1 33 35v 1Int 1 WhileEnd vv While v 算法案例算法案例 这一节要求较低 但要掌握几个重要的算法 对于今后的进一步学习和提高数学的素 养都有着重要的意义 要求掌握的用矩形框框起来 1 1 求最大公约数 求最大公约数 greatest greatest commoncommon factor factor 辗转相除法辗转相除法 Euclid Euclid algorithmalgorithm 辗转相除法辗转相除法 VB VB 程序程序 Private Sub Command1 Click Dim M As Long N As Long r As Long Excel 宏程序宏程序 Sub 求最大公约 a InputBox 输入第一个自然数 b InputBox 输入第二个自然数 While a Mod b 0 r a Mod b a b b r Wend MsgBox 最大公约数为 0 0r rr 线性相关程度越低越接近于0 r 颜老师说明 颜老师说明 1 1 由于公式的复杂 数据有的也较多 所以在具体做题目时可以列出表格来 对应填 进去 然后用公式计算 这样就不会产生慌乱的感觉 2 2 做题目时要细心 不要乱 在我们高一阶段一般只给出 5 6 组数据 算起来已经不 是很难了 3 3 当然这种拟合 我们主要学习线性拟合 就是求线性回归方程 在电脑里都可作 出来图像来 而且求出相应的拟合度 有兴趣的同学可以在 Excel 软件里试一试 4 4 表格形式 表格形式 i i x i y 2 i x 2 i y iiy x 1 2 n 合计合计 n i i x 1 n i i y 1 n i i x 1 2 n i i y 1 2 n i iiy x 1 n i i y n x 1 1 n i i y n y 1 1 n i i x 1 2 n i i y 1 2 n i iiy x 1 然后代入公式计算然后代入公式计算 3 3 概率概率 事件 随机事件 事件 随机事件 randomrandom eventevent 确定性事件 确定性事件 必然事件 certain event 和不可能事件 impossible event 随机事件的概率随机事件的概率 统计定义统计定义 一般的 如果随机事件 在次实验中发生了次 Anm 用心 爱心 专心18 当实验的次数很大时 我们称事件 A 发生的概率为n n m AP 说明说明 一个随机事件发生于具有随机性 但又存在统计的规律性 在进行大量的重 复事件时某个事件是否发生 具有频率的稳定性 而频率的稳定性又是必然的 因此偶 然性和必然性对立统一 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 随机 事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值 它具有一定的稳定性 总在某个 常数附近摆动 且随着试验次数的不断增多 这个摆动的幅度越来越小 而这个接近的某 个常数 我们称之为概事件发生的概率 概率是有巨大的数据统计后得出的结果 讲的 是一种大的整体的趋势 而频率是具体的统计的结果 概率是频率的稳定值 频率是概概率是频率的稳定值 频率是概 率的近似值率的近似值 概率必须满足三个基本要求 概率必须满足三个基本要求 对任意的一个随机事件 有 A 10 AP 如果事件 0 1 PP则有可能事件分别表示必然事件和不和用 BPAPBAPBA 则有互斥和 古典概率 古典概率 ClassicalClassical probabilityprobability modelmodel 所有基本事件有限个 每个基本 事件发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型 如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个 则每一个基本事件发生的概率都n 是 如果某个事件包含了其中的个等可能的基本事件 则事件发生的概率为 n 1 AmA n m AP 几何概型 几何概型 geomegtricgeomegtric probabilityprobability modelmodel 一般地 一个几何区域中随机地取D 一点 记事件 改点落在其内部的一个区域内 为事件 则事件发生的概率为dAA 这里要求的侧度不为 0 其中侧度的意义由确定 一般 的侧度 的侧度 D d AP DD 地 线段的侧度为该线段的长度 平面多变形的侧度为该图形的面积 立体图像的侧 度为其体积 几何概型的基本特点 几何概型的基本特点 基本事件等可性 基本事件无限多 颜老师说明 颜老师说明 为了便于研究互斥事件 我们所研究的区域都是指的开区域 即不含边界 在区域内随机地取点 指的是该点落在区域内任何一处都是等可能的 落在任何DD 部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比 而与其形状无关 互斥事件互斥事件 exclusive exclusive events events 不能同时发生的两个事件称为互斥事件 对立事件 对立事件 complementarycomplementary eventsevents 两个互斥事件中必有一个发生 则称两个事件为对 立事件 事件的对立事件 记为 AA 独立事件的概率 独立事件的概率 BPAPA ABP B 则为相互独立的事件事件若 若 n21n2121 A AA AAAP PPPAAA n 则为两两独立的事件 颜老师说明 颜老师说明 若可能都不发生 B B 中最多有一个发生则为互斥事件AA 用心 爱心 专心19 但不可能同时发生 从集合的关来看两个事件互斥 即指两个事件的集合的交集是空 集 对立事件是指的两个事件 而且必须有一个发生 而互斥事件可能指的很多 事件 但最多只有一个发生 可能都不发生 对立事件一定是互斥事件 从集合 论来看 表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集 但两个对立事件的并集是 全集 而两个互斥事件的并集不一定是全集 两个对立事件的概率之和一定是 1 而两个互斥事件的概率之和小于或者等于 1 若事件是互斥事件 则有BA 一般地 如果 两两互斥 则有 BPAPBAP n AAA 21 在 nn APAPAPAAAP 2121 APAP 1 本教材中 指的是 中至少发生一个 在具体做题 n AAA 21n AAA 21 中 希望大家一定要注意书写过程 设处事件来 利用哪种概型解题 就按照那种概 型的书写格式 最重要的是要设出所求的事件来 具体的格式请参照我们课本上 新 课标试验教科书 苏教版 的例题 例题选讲 例题选讲 例例 1 1 在大小相同的 6 个球中 4 个是红球 若从中任意选 2 个 求所选的 2 个球至少有 一个是红球的概率 分析分析 题目所给的 6 个球中有 4 个红球 2 个其它颜色的球 我们可以根据不同的思 路有不同的解法 解法解法 1 1 互斥事件 设事件 为 选取 2 个球至少有 1 个是红球 则其互斥事件为A 意义为 选取 2 个球都是其它颜色球 A 15 14 15 1 1AP 1 AP 15 1 2 56 1 AP 答 所选的 2 个球至少有一个是红球的概率为 15 14 解法解法 2 2 古典概型 由题意知 所有的基本事件有种情况 设事件 为15 2 56 A 选取 2 个球至少有 1 个是红球 而事件所含有的基本事件数有A 14 2 34 24 所以 15 14 AP 答 所选的 2 个球至少有一个是红球的概率为 15 14 解法解法 3 3 独立事件概率 不妨把其它颜色的球设为白色求 设事件 为 选取 2 个球A 至少有 1 个是红球 事件有三种可能的情况 1 红 1 白 1 白 1 红 2 红 对应的概A 率分别为 则有 5 3 6 4 5 4 6 2 5 2 6 4 15 14 5 3 6 4 5 4 6 2 5 2 6 4 AP 答 所选的 2 个球至少有一个是红球的概率为 15 14 用心 爱心 专心20 评价 本题重点考察我们对于概率基本知识的理解 综合所学的方法 根据自己的理解 用不同的方法 但是基本的解题步骤不能少 变式训练变式训练 1 1 在大小相同的 6 个球中 2 个是红球 4 个是白球 若从中任意选取 3 个 求至少有 1 个是红球的概率 解法 1 互斥事件 设事件 为 选取 3 个球至少有 1 个是红球 则其互斥事件为 AA 意义为 选取 3 个球都是白球 5 4 5 1 1AP 1 AP 5 1 4 2 5 3 6 4 123 456 123 234 AP 3 6 3 4 C C 答 所选的 3 个球至少有一个是红球的概率为 5 4 解法解法 2 2 古典概型 由题意知 所有的基本事件有种情况 设事件 20 123 456 3 6 C 为 选取 3 个球至少有 1 个是红球 而事件所含有的基本事件数有AA 所以 16 2 34 2412 2 4 C 5 4 20 16 AP 答 所选的 3 个球至少有一个是红球的概率为 5 4 解法解法 3 3 独立事件概率 设事件 为 选取 3 个球至少有 1 个是红球 则事件的AA 情况如下 红 白 白 5 1 4 3 5 4 6 2 1 红 2 白 白 白 红 5 1 4 2 5 3 6 4 白 红 白 5 1 4 3 5 2 6 4 红 红 白 15 1 4 4 5 1 6 2 2 红 1 白 红 白 红 15 1 4 1 5 4 6 2 白 红 红 15 1 4 1 5 2 6 4 所以 5 4 15 1 3 5 1 3 AP 答 所选的 3 个球至少有一个是红球的概率为 5 4 变式训练变式训练 2 2 盒中有 6 只灯泡 其中 2 只次品 4 只正品 有放回的从中任抽 2 次 每次 抽取 1 只 试求下列事件的概率 1 第 1 次抽到的是次品 2 抽到的 2 次中 正品 次品各一次 解 解 设事件为 第 1 次抽到的是次品 事件为 抽到的 2 次中 正品 次品各一次 AB 用心 爱心 专心21 则 或者 3 1 6 2 AP 9 4 66 4224 BP 9 4 6 2 6 4 6 4 6 2 BP 答 答 第 1 次抽到的是次品的概率为 抽到的 2 次中 正品 次品各一次的概率为 3 1 9 4 变式训练变式训练 3 3 甲乙两人参加一次考试共有 3 道选择题 3 道填空题 每人抽一道题 抽到后 不放回 求 1 甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率 2 求至少 1 人抽到选择题的概 率 分析分析 1 由于是不放回的抽 且只抽两道题 甲抽到选择题而乙抽到填空题是独立的 所以可以用独立事件的概率 2 事件 至少 1 人抽到选择题 和事件 两人都抽到填空题 时互斥事件 所以可以用互斥事件的概率来 解 解 设事件为 甲抽到选择题而乙抽到填空题 事件为 至少 1 人抽到选择题 则AB B 为 两人都抽到填空题 1 10 3 56 33 10 3 5 3 6 3 2 6 1 3 1 3 P PP APAP或者 2 则 5 1 5 1 5 2 6 3 2 6 2 3 P P BPBP或者 5 4 5 1 11 BPBP 答 答 甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率为 少 1 人抽到选择题的概率为 10 3 5 4 变式训练变式训练 4 4 一只口袋里装有 5 个大小形状相同的球 其中 3 个红球 2 个黄球 从中不 放回摸出 2 个球 球两个球颜色不同的概率 分析分析 先后抽出两个球颜色相同要么是 1 红 1 球 要么是 1 黄 1 球 略解略解 5 36 5 3 4 3 5 2 4 2 5 3 2 5 C APAP或者 变式训练变式训练 5 5 设盒子中有 6 个球 其中 4 个红球 2 个白球 每次人抽一个 然后放回 若连续抽两次 则抽到 1 个红球 1 个白球的概率是多少 略解略解 9 4 66 42 66 24 6 4 6 2 6 2 6 4 AP 例例 2 2 急救飞机向一个边长为 1 千米的正方形急救区域空头急救物品 在该区域内有一个 长宽分别为 80 米和 50 米的水池 当急救物品落在水池及距离水池 10 米的范围内时 物品 会失效 假设急救物品落在正方形区域内的任意一点是随机的 不考虑落在正方形区域范 围之外的 求发放急救物品无效的概率 分析分析 为题属于几何概型 切是平面图形 其测度用面积来衡量 解 解 如图 设急救物品投放的所有可能的区域 即边长为 1 千米的正方形为区域 事D 件 发放急救物品无效 为 距离水池 10 米范围为区域 即为图中的阴影部分 Ad 则有 测度 测度 D d AP 10001000 4 10 410502108025080 2 用心 爱心 专心22 a a 6 F ED C1 C AB B1A1 B D C P A 答 答 略 颜老师说明 颜老师说明 这种题目要看清题目意思 为了利用 几何概率 题目中一般都会有落在所给的大的区域 之外的不计的条件 但如果涉及到网格的现象是一 般则不需要这个条件 因为超出一个网格 就会进入 另外一个网格 分析是同样的 变式训练变式训练 1 1 在地上画一正方形线框 其边长等于一枚 硬币的直径的 2 倍 向方框中投掷硬币硬币完全落在正方形外的不计 求硬币完全落在 正方形内的概率 略解 略解 32 4 14144 2 22 2 测度 测度 D d AP 变式训练变式训练 2 2 如图 设有一个正方形网格 其中每个小正三角形的边长都是 现有一直a 径等于的硬币落在此网格上 求硬币落下后与网格有公共点的概率 2 a 分析分析 因为圆的位置由圆心确定 所以要与网格线有公共点 只要圆心到网格线的距离小于等于半径 解 解 如图 正三角形内有一正三角形 其中ABC 111 CBA tan30 DA BEAD 6 1 FAEBDA 1 111 aaAB a 6 3 aaaADAB 3 3 1 3 3 2BA 11 当圆心落在三角形 之外时 硬币与网格有公共点 111 CBA 111 CBA 111ABC CBA S P S S 有公共点的概率 82 0 4 3 3 3 1 4 3 4 3 2 2 2 2 a aa 答 答 硬币落下后与网格有公共点的概率为 0 82 变式训练变式训练 3 3 如图 已知矩形 在正方形内 中 7AC 5AB ABCD 的概率 P任取一点 90 APB求 略解 略解 56 5 75 2 5 2 1 2 AP 用心 爱心 专心23 变式训练变式训练 4 4 平面上画了彼此相距 2a 的平行线把一枚半径 r a 的 硬币 任意的抛在这个平面上 求硬币不与任何一条平行线相 碰的概率 解 解 设事件为 硬币不与任何一条平行线相碰 为了确定硬币A 的位置 有硬币的中心向距离最近的平行线作垂线 垂足OM 为 线段的长度的取值范围为 其长度就是MOM a 0 几何概型所有的可能性构成的区域的几何测度 只有当D 时 硬币不与平行线相碰 其长度就是满足a OM 0 事件 的区域的几何测度 所以Ad a ra a ar AP 的长度 的长度 0 答 答 硬币不与任何一条平行线相碰的概率为 a ra 评价与链接评价与链接 该题是几何概型的典型题目 要求我们正确确认区域和区域 理解它Dd 们的关系以及它们的测度如何来刻画 蒲丰投针问题 蒲丰投针问题 平面上画有等距离的一系列的平行线 平行线间距离为 a2 0 a 向平面内任意的投掷一枚长为的针 求针与平行线相交的概率 2a ll 解 以表示针的中点与最近的一条平行线的距离 又以表示针与此直线的交角 如图x 易知 有这两式可以确定平面上的一个矩形 这是 0 0 ax x 为了针与平行线相交 其充要条件为 有这个不等式表示的区域为图中的 Sin l x 2 A 阴影部分 由等可能性知 a l a dSin l S S AP A 0 2 如果 a 的值如果已知反过来的值值代入上式即可计算则以已知APAPl 而关于的值 则可以用实验的方法 用频率去近似它 则也可以利用上式来求 AP 既 如果 投针 N 次 其中平行线相交的次数为 n 次 则频率为 于是 N n n a N l N n a