2012高考数学复习 第十四章 导数14章 综合试题 选修2

用心 爱心 专心1 第十四章第十四章 导数综合能力测试导数综合能力测试 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 满分 150 分 考试时间 120 分 钟 第 卷 选择题 共 60 分 一 选择题 每小题只有一个选项是正确的 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的 四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知某函数的导数为y 则这个函数可能是 1 2 x 1 A y ln B y ln 1 x 1 1 x C y ln 1 x D y ln 1 1 x 答案 A 解析 对选项求导 ln 1 x 1 1 x1 x 1 x 1 1 1 x 1 2 1 2 故选 A 1 2 x 1 2 2009 江西 设函数f x g x x2 曲线y g x 在点 1 g 1 处的切线方程 为y 2x 1 则曲线y f x 在点 1 f 1 处切线的斜率为 A 4 B C 2 D 1 4 1 2 答案 A 解析 f x g x 2x y g x 在点 1 g 1 处的切线方程为y 2x 1 g 1 2 f 1 g 1 2 1 2 2 4 y f x 在点 1 f 1 处切线斜率为 4 3 2009 辽宁 曲线y 在点 1 1 处的切线方程为 x x 2 A y x 2 B y 3x 2 C y 2x 3 D y 2x 1 答案 D 解析 y x x 2 2 x 2 2 k y x 1 2 l y 1 2 x 1 则y 2x 1 故选 D 4 曲线y ex在点 2 e2 处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为 A e2 B 2e2 C e2 D 9 4 e2 2 答案 D 用心 爱心 专心2 解析 y ex y ex在点 2 e2 的导数为 e2 y ex在点 2 e2 的切线方程为y e2x e2 y e2x e2与x轴 y轴的交点分别为 1 0 和 0 e2 S 1 e2 故选 D 1 2 e2 2 5 已知函数y f x y g x 的导函数的图象如图 那么y f x y g x 的图象 可能是 答案 D 解析 由题意知函数f x g x 都为增函数 当x x0时 由图象知f x g x 即f x 的增长速度大于g x 的增长速度 当x x0时 f x g x g x 的增长速 度大于f x 的增长速度 数形结合 选 D 6 设y 8x2 lnx 则此函数在区间 0 和 1 内分别 1 4 1 2 A 单调递增 单调递减 B 单调递增 单调递增 C 单调递减 单调递增 D 单调递减 单调递减 答案 C 解析 y 16x 1 x 当x 0 时 y 0 y 8x2 lnx为减函数 1 4 当x 1 时 y 0 y 8x2 lnx为增函数 1 2 7 下列关于函数f x 2x x2 ex的判断正确的是 f x 0 的解集是 x 0 x 2 f 是极小值 f 是极大值 22 f x 没有最小值 也没有最大值 A B C D 答案 D 解析 由f x 0 2x x2 ex 0 2x x2 0 0 x 2 故 正确 f x ex 2 x2 由f x 0 得x 2 由f x 0 得x 或x 22 由f x 0 得 x 22 f x 的单调减区间为 22 单调增区间为 22 f x 的极大值为f 极小值为f 故 正确 22 用心 爱心 专心3 x 时 f x 0 恒成立 2 f x 无最小值 但有最大值f 2 不正确 8 已知f x x3 x x m n 且f m f n 0 则方程f x 0 在区间 m n 上 A 至少有三个实根 B 至少有两个实根 C 有且只有一个实根 D 无实根 答案 C 9 已知函数f x x3 ax2 a 6 x 1 有极大值和极小值 则实数a的取值范围是 A 1 a 2 B 3 a 6 C a 3 或a 6 D a 1 或a 2 答案 C 解析 由于f x x3 ax2 a 6 x 1 有f x 3x2 2ax a 6 若f x 有极大值和极小值 则 4a2 12 a 6 0 从而有a 6 或a 3 故选 C 10 要做一个圆锥形漏斗 其母线长为 20cm 要使其体积最大 其高应为 A cm B 100cm 20 3 3 C 20cm D cm 20 3 答案 A 解析 设高为h 则半径为 202 h2 体积V r2h 202 h2 h 1 3 1 3 h3 h 0 h 20 1 3 202 3 V h2 202 3 令V 0 得h 或h 舍去 20 3 3 20 3 3 即当h 时 V为最大值 20 3 3 11 2010 河南省实验中学 若函数f x 的图象如图所示 则m的范围为 2 m x x2 m A 1 B 1 2 C 1 2 D 0 2 答案 C 解 析 f x x2 m m 2 x2 m 2 x r m x r m m 2 x2 m 2 由图知m 2 0 且m 0 故 0 m 2 又 1 m 1 因此 1 m 2 选 C m 12 定义在 R R 上的函数f x 满足f 4 1 f x 为f x 的导函数 已知函数y f x 的图象如图所示 若两正数a b满足f 2a b 1 则的取值范围是 b 2 a 2 用心 爱心 专心4 A 1 3 1 2 B 3 1 2 C 3 1 2 D 3 答案 C 解析 由y f x 的图象知 当x 0 时 f x 0 函数f x 是减函数 当 x 0 时 f x 0 函数f x 是增函数 两正数a b满足f 2a b 1 f 4 1 点 a b 的区域为图中的阴影部分 不包括边界 的意义为阴影部分的点与点 b 2 a 2 A 2 2 连线的斜率 直线AB AC的斜率分别为 3 则的取值范围是 3 1 2 b 2 a 2 1 2 故选 C 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 请将答案填在题中的横线上 13 2009 武汉模拟 函数y xln x 1 的单调减区间是 答案 0 1 e 14 已知函数f x x3 12x 8 在区间 3 3 上的最大值与最小值分别为M m 则 M m 答案 32 解析 令f x 3x2 12 0 得x 2 或x 2 列表得 x 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 f x 0 0 f x 17 极值 24 极值 8 1 可知M 24 m 8 M m 32 15 2009 南京一调 已知函数f x ax x4 x 1 A B是其图象上不同的 1 2 两点 若直线AB的斜率k总满足 k 4 则实数a的值是 1 2 答案 9 2 解析 f x a 4x3 x 1 由题意得 a 4x3 4 即 4x3 a 4x3 4 1 2 1 2 1 2 在x 1 上恒成立 求得 a 则实数a的值是 1 2 9 2 9 2 9 2 16 2009 淮北模拟 已知函数f x 的导数f x a x 1 x a 若f x 在 x a处取到极大值 则a的取值范围是 答案 1 0 解析 结合二次函数图象知 当a 0 或a 1 时 在x a处取得极小值 用心 爱心 专心5 当 1 a 0 时 在x a处取得极大值 故a 1 0 三 解答题 本 大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 17 本小题满分 10 分 设a为大于 0 的常数 函数f x ln x a x 1 当a 求函数f x 的极大值和极小值 3 4 2 若使函数f x 为增函数 求a的取值范围 解析 1 当a 时 f x 3 4 1 2x 1 x 3 4 令f x 0 则x 2 0 x 或 x 3 4 9 4 1 4 当x 0 时 f x 0 当x f x 0 9 4 f x 极大值 f f x 极小值 f ln3 1 4 1 2 9 4 3 2 2 f x 若f x 为增函数 则当x 0 时 f x 0 恒成 1 2x 1 x a 立 即x a 2 1 2x 1 x ax 即a 2 x 1 2 1 恒成立 xx a 1 18 本小题满分 12 分 已知函数y f x lnx x 1 求函数y f x 的图象在x 处的切线方程 1 e 2 求y f x 的最大值 3 设实数a 0 求函数F x af x 在 a 2a 上的最小值 解析 1 f x 定义域为 0 f x 1 lnx x2 f e 又 k f 2e2 1 e 1 e 函数y f x 的在x 处的切线方程为 1 e y e 2e2 x 即y 2e2x 3e 1 e 2 令f x 0 得x e 当x 0 e 时 f x 0 f x 在 0 e 上为增函数 当x e 时 f x 0 则在 e 上为减函数 fmax x f e 1 e 3 a 0 由 2 知 F x 在 0 e 上单调递增 在 e 上单调递减 F x 在 a 2a 上的最小值f x min min F a F 2a F a F 2a ln 1 2 a 2 当 0 a 2 时 F a F 2a 0 fmin x F a lna 用心 爱心 专心6 当a 2 时 F a F 2a 0 f x min f 2a ln2a 1 2 19 本小题满分 12 分 设a 0 函数f x x a a x2 1 1 若f x 在区间 0 1 上是增函数 求a的取值范围 2 求f x 在区间 0 1 上的最大值 解析 1 对函数f x 求导数 得f x 1 ax x2 1 要使f x 在区间 0 1 上是增函数 又要f x 1 0 在 0 1 上恒成立 ax x2 1 即a 在 0 1 上恒成立 x2 1 x 1 1 x2 因为在 0 1 上单调递减 1 1 x2 所以在 0 1 上的最小值是 1 1 x22 注意到a 0 所以a的取值范围是 0 2 2 当 0 a 时 由 1 知 f x 在 0 1 上是增函数 2 此时f x 在区间 0 1 上的最大值是f 1 1 1 a 2 当a 时 令f x 1 0 2 ax x2 1 解得x 0 1 1 a2 1 因为当 0 x 时 f x 0 1 a2 1 当 x 1 时 f x 0 1 a2 1 所以f x 在 0 上单调递增 在 1 上单调递减 1 a2 1 1 a2 1 此时f x 在区间 0 1 上的最大值是f a 1 a2 1a2 1 综上所述 当 0 a 时 f x 在区间 0 1 上的最大值是 1 1 a 22 当a 时 f x 在区间 0 1 上的最大值是a 2a2 1 20 本小题满分 12 分 已知函数f x x 0 1 ln x 1 x 1 函数f x 在区间 0 上是增函数还是减函数 证明你的结论 2 若当x 0 时 f x 恒成立 求正整数k的最大值 k x 1 解析 1 f x 1 ln x 1 ln x 1 1 x2 x x 1 1 x2 1 x 1 由x 0 x2 0 0 ln x 1 0 得f x 0 1 x 1 因此函数f x 在区间 0 上是减函数 2 解法一 当x 0 时 f x 恒成立 令x 1 有k 2 1 ln2 k x 1 又k为正整数 则k的最大值不大于 3 下面证明当k 3 时 f x x 0 恒成立 k x 1 即证明x 0 时 x 1 ln x 1 1 2x 0 恒成立 令g x x 1 ln x 1 1 2x 用心 爱心 专心7 则g x ln x 1 1 当x e 1 时 g x 0 当 0 x e 1 时 g x 0 当x e 1 时 g x 取得最小值g e 1 3 e 0 当x 0 时 x 1 ln x 1 1 2x 0 恒成立 因此正整数k的最大值为 3 解法二 当x 0 时 f x 恒成立 k x 1 即h x k对x 0 恒成立 x 1 1 ln x 1 x 即h x x 0 的最小值大于k 由h x 记 x x 1 ln x 1 x 0 x 1 ln x 1 x2 则 x 0 x x 1 x 在 0 上连续递增 又 2 1 ln3 0 3 2 2ln2 0 x 0 存在惟一实根a 且满足 a 2 3 a 1 ln a 1 由x a时 x 0 h x 0 0 x a时 x 0 h x 0 知 h x x 0 的最小值为h a a 1 3 4 a 1 1 ln a 1 a 因此正整数k的最大值为 3 21 2009 天津 本小题满分 12 分 已知函数f x x2 ax 2a2 3a ex x R R 其中a R R 1 当a 0 时 求曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线的斜率 2 当a 时 求函数f x 的单调区间与极值 2 3 命题意图 本小题主要考查导数的几何意义 导数的运算 利用导数研究函数的单调 性与极值等基础知识 考查运算能力及分类讨论的思想方法 解析 1 当a 0 时 f x x2ex f x x2 2x ex 故f 1 3e 所以曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线的斜率为 3e 2 f x x2 a 2 x 2a2 4a ex 令f x 0 解得x 2a 或x a 2 由a 知 2a a 2 2 3 以下分两种情况讨论 若a 则 2a a 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 2 3 x 2a 2 a 2a a 2 a 2 a 2 f x 0 0 f x 极大值 极小值 所以f x 在 2a a 2 内是增函数 在 2a a 2 内是减函数 函数f x 在x 2a处取得极大值f 2a 且f 2a 3ae 2a 函数f x 在x a 2 处取得极小值f a 2 且f a 2 4 3a ea 2 若a 则 2a a 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 2 3 x a 2 a 2 a 2 2a 2a 2a f x 0 0 用心