2012年高考数学一轮复习 第14讲 导数的概念及其运算精品试题 新人教版

用心 爱心 专心1 第十四讲第十四讲 导数的概念及其运算导数的概念及其运算 班级 姓名 考号 日期 得分 一 选择题 本大题共 6 小题 每小题 6 分 共 36 分 将正确答案的代号填在题后 的括号内 1 下列结论不正确的是 A 若y 3 则y 0 B 若y 则y 1 x 1 2x C 若y 则y x 1 2x D 若y 3x 则y 3 解析 y x x 1 x 1 2 1 2 3 2 1 2x3 选 B 答案 B 评析 简单函数的求导 关键是将函数关系式合理地转化为可以直接应用公式的基本 函数的模式 2 已知奇函数y f x 在区间 0 上的解析式为f x x2 x 则切点横坐标为 1 的切线方程是 A x y 1 0 B x y 1 0 C 3x y 1 0 D 3x y 1 0 解析 由题意得 x 0 时 x0 时有解 即 3ax2 0 有解 1 x 即 3a 1 x3 0 1 x3 当 3a 0 即a0 的图象在点 ak a 处的切线与x轴的交点的横坐 2k 标为ak 1 其中k N N 若a1 16 则a1 a3 a5的值是 解析 y 2x 过点 ak a 处的切线方程为y a 2ak x ak 又该切线与 2k2k x轴的交点为 ak 1 0 所以ak 1 ak 即数列 ak 是等比数列 首项a1 16 其公比q 1 2 a3 4 a5 1 a1 a3 a5 21 1 2 答案 21 三 解答题 本大题共 3 小题 11 12 题 13 分 13 题 14 分 写出证明过程或推演 步骤 11 已知曲线y x3 x 2 在点P0处的切线l1平行于直线 4x y 1 0 且点P0在第 三象限 用心 爱心 专心4 1 求P0的坐标 2 若直线l l1 且l也过切点P0 求直线l的方程 解 1 由y x3 x 2 得y 3x2 1 由已知得 3x2 1 4 解之得x 1 当x 1 时 y 0 当x 1 时 y 4 又 点P0在第三象限 切点P0的坐标为 1 4 2 直线l l1 l1的斜率为 4 直线l的斜率为 1 4 l过切点P0 点P0的坐标为 1 4 直线l的方程为y 4 x 1 即x 4y 17 0 1 4 12 已知函数f x x3 x 16 1 求曲线y f x 在点 2 6 处的切线的方程 2 直线l为曲线y f x 的切线 且经过原点 求直线l的方程及切点坐标 3 如果曲线y f x 的某一切线与直线y x 3 垂直 求切点坐标与切线的方 1 4 程 分析 首先要判断已知点是否在曲线上 再根据切线的斜率即导数值列方程解决问 题 解 1 f 2 23 2 16 6 点 2 6 在曲线上 f x x3 x 16 3x2 1 在点 2 6 处的切线的斜率为 k f 2 3 22 1 13 切线的方程为y 13 x 2 6 即y 13x 32 2 解法一 设切点为 x0 y0 则直线l的斜率为f x0 3x 1 2 0 直线l的方程为 y 3x 1 x x0 x x0 16 2 03 0 又 直线l过点 0 0 0 3x 1 x0 x x0 16 2 03 0 用心 爱心 专心5 整理得x 8 3 0 x0 2 y0 2 3 2 16 26 k 3 2 2 1 13 直线l的方程为y 13x 切点坐标为 2 26 解法二 设直线l的方程为y kx 切点为 x0 y0 则k y0 0 x0 0 x3 0 x0 16 x0 又 k f x0 3x 1 2 0 3x 1 解得x0 2 x3 0 x0 16 x02 0 y0 2 3 2 16 26 k 3 2 2 1 13 直线l的方程为y 13x 切点坐标为 2 26 3 切线与直线y 3 垂直 x 4 斜率k 4 设切点为 x0 y0 则f x0 3x 1 4 2 0 x0 1 Error 或Error 即切点坐标为 1 14 或 1 18 切线方程为y 4 x 1 14 或y 4 x 1 18 即y 4x 18 或y 4x 14 评析 解题过程中 很容易把所给的点当作曲线上的点 错误原因是没有把点代入方 程进行检验 13 设函数f x ax a b Z Z 曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为 1 x b y 3 1 求f x 的解析式 2 证明 函数y f x 的图象是一个中心对称图形 并求其对称中心 3 证明 曲线y f x 上任一点的切线与直线x 1 和直线y x所围的三角形的面积 为定值 并求出此定值 解 1 f x a 1 x b 2 于是Error 解得Error 或Error a b Z Z f x x 1 x 1 用心 爱心 专心6 2 证明 已知函数 y1 x y2 都是奇函数 1 x 函数 g x x 也是奇函数 其图象是以原点为中心的中心对称图形 而 f x 1 x x x 1 1 1 x 1 1 x 1 可知 f x 的图象是由 g x 的图象沿 x 轴正方向向右平移 1 个单位 再沿 y 轴正方向向 上平移 1 个单位得到的 故函数 f x 的图象是以点 1 1 为中心的中心对称图形 3 证明 在曲线上任取一点 x0 x0 1 x0 1 由 f x0 1 知过此点的切线方程为 1 x0 1 2 y x x0 x2 0 x0 1 x0 1 1 1 x0 1 2 令 x 1 得 y x0 1 x0 1 切线与直线 x 1 交点为 1 x0 1 x0 1 令 y x 得 x 2x0