掌握空间向量神器决战高考立体难题

掌握空间向量神器掌握空间向量神器 决战高考立体难题决战高考立体难题 例析空间向量在立体几何中的应用例析空间向量在立体几何中的应用 安徽合肥市巢湖柘皋中学安徽合肥市巢湖柘皋中学 孙平 特级教师孙平 特级教师 邮编邮编 238062238062 空间向量是高考考查的重要内容之一 是处理空间线线 线面 面面位置关系和夹角 距离的重要工具 掌握空间向量神器 决战高考立体难题 思路简单 模式固定 避免了 作辅助线的难度 下面例析空间向量在立体几何中的重要考点和解题方法 1 1 利用空间向量求空间角和距离利用空间向量求空间角和距离 一 一 两条异面直线所成角的求法两条异面直线所成角的求法 设两条异面直线 a b 的方向向量为 其夹角为 a b 则 cos cos 其中 为异面直线 a b 所成的角 a b a b A 二 直线和平面所成的角的求法 二 直线和平面所成的角的求法 如图所示 设直线 l 的方向向量为 平面 的法向量为 直线 l 与平面 所成的 e n 角为 两向量与的夹角为 则有 sin cos e n n e n e A 三 求二面角的大小 三 求二面角的大小 1 如图 AB CD 是二面角 l 的两个面内与棱 l 垂直的直线 则二面角的大 小 AB CD 2 如图 分别是二面角 l 的两个半平面 的法向量 则二面角 1n 2n 的大小 或 1n 2n 1n 2n 四 利用向量法求点到平面的距离 四 利用向量法求点到平面的距离 如图 设 AB 为平面 的一条斜线段 为平面 的法向 n 量 则点 B 到平面 的距离 d 可理解为 和平面 单 AB n n A AB 位法 向量的数量积的绝对值 例例 1 2013 新课标全国卷 如图所示 三棱柱 ABC A1B1C1中 CA CB AB AA1 BAA1 60 1 证明 AB A1C 2 若平面 ABC 平面 AA1B1B AB CB 求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值 解 1 证明 取 AB 的中点 O 联结 OC OA1 A1B 因为 CA CB 所以 OC AB 由于 AB AA1 BAA1 60 故 AA1B 为等边三角形 所以 OA1 AB 因为 OC OA1 O 所以 AB 平面 OA1C 又 A1C 在平面 OA1C 内 故 AB A1C 2 由 1 知 OC AB OA1 AB 又平面 ABC 平面 AA1B1B 交线为 AB 所以 OC 平面 AA1B1B 故 OA OA1 OC 两两相互垂直 以 O 为坐标原点 的方向为 x 轴的正方向 为单位 OA OA 长 建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz 由题设知 A 1 0 0 A1 0 0 C 0 0 33 B 1 0 0 则 1 0 1 0 0 BC 3 BB1 AA1 3 A1C 33 设 n x y z 是平面 BB1C1C 的法向量 则即 n BC 0 n BB1 0 x 3z 0 x 3y 0 可取 n 1 1 故 cos n 3 A1C n A1C n A1C 10 5 所以 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 10 5 例例 2 2011 四川卷 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 BAC 90 AB AC AA1 1 D 是棱 CC1上的一点 P 是 AD 的延长线与 A1C1的延长线的交点 且 PB1 平面 BDA1 1 求证 CD C1D 2 求二面角 A A1D B 的平面角的余弦值 3 求点 C 到平面 B1DP 的距离 解 如图 以 A1为原点 A1B1 A1C1 A1A 所在直线分别为 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直 角坐标系 A1 xyz 则 A1 0 0 0 B1 1 0 0 C1 0 1 0 B 1 0 1 1 设 C1D x AC PC1 C1P AC C1D CD x 1 x 由此可得 D 0 1 x P 0 1 x 1 x 0 1 0 1 0 1 x A1B A1D B1P 1 1 x 1 x 0 设平面 BA1D 的一个法向量为 n1 a b c 则Error Error 令 c 1 则 n1 1 x 1 PB1 平面 BA1D n1 1 1 x 1 0 0 B1P 1 x 1 x 由此可得 x 故 CD C1D 1 2 2 由 1 知 平面 BA1D 的一个法向量 n1 1 1 2 1 又 n2 1 0 0 为平面 AA1D 的一个法向量 cos n1 n2 n1 n2 n1 n2 1 1 3 2 2 3 故二面角 A A1D B 的平面角的余弦值为 2 3 3 1 2 0 PB1 PD 0 1 1 2 设平面 B1DP 的一个法向量 n3 a1 b1 c1 则Error Error 令 c1 1 可得 n3 1 1 2 1 又 DC 0 0 1 2 C 到平面 B1DP 的距离 d DC n3 n3 1 3 2 2 用向量法证明空间平行或垂直 用向量法证明空间平行或垂直 一 向量法证明空间平行的方法 一 向量法证明空间平行的方法 线线平行 只要证明两直线的方向向量共线 线面平行 只要证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直 或证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 面面平行 只要证明两平面的法向量为共线向量 或转化为线面平行 线线平行问题 例例 3 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AA1 2AB 2BC E F E1分别是棱 AA1 BB1 A1B1的中点 求证 CE 平面 C1E1F 解 以 D 为原点 DA DC DD1所在的直线为 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系 设 BC 1 则 C 0 1 0 E 1 0 1 C1 0 1 2 F 1 1 1 E1 1 1 2 2 1 设平面 C1E1F 的法向量 n x y z 1 0 1 11 C E 1 1 0 2 1 FC 即取 n 1 2 1 11 1 0 0 n C E n FC A A 1 0 2 0 xy xz 1 1 1 n 1 2 1 0 n CE CE CE CE 平面 C1E1F 二 向量法证明空间垂直的方法 二 向量法证明空间垂直的方法 线线垂直 只要证明两直线所在的方向向量互相垂直 即证它们的数量积为零 线面垂直 只要证明直线的方向向量与平面的法向量共线 或将线面垂直的判定定理用向量表示 面面垂直 只要证明两个平面的法向量垂直 或将面面垂直的判定定理用向量表示 例例 4 如图 已知 AB 平面 ACD DE 平面 ACD ACD 为等边三角形 AD DE 2AB F 为 CD 的中点 1 求证 AF 平面 BCE 2 求证 平面 BCE 平面 CDE 解 设AD DE 2AB 2a 建立如图所示 的坐标系A xyz 则 A 0 0 0 C 2a 0 0 B 0 0 a D a a 0 E a a 2a 33 F 为 CD 的中点 F 0 3a 2 3 2 a 1 证明 0 AF 3a 2 3 2 a a a a 2a 0 a BE 3 BC AF 在平面 BCE 内 AF 平面 BCE AF 1 2 BE BC 2 证明 0 AF 3a 2 3 2 a a a 0 0 0 2a CD 3 ED 0 0 AF CD AF ED AF CD AF ED 又 CD DE D 平面 CDE 即 AF 平面 CDE AF 又 AF 平面 BCE 平面 BCD 平面 CDE 3 3 学生巩固练习学生巩固练习 1 如图在圆锥 PO 中 已知 PO O 的直径 AB 2 C 是的中点 D 2 A AB A AB 为 AC 的中点 1 证明 平面 POD 平面 PAC 2 求二面角 B PA C 的余弦值 参考解法 1 如图所示 以 O 为坐标原点 OB OC OP 所在直线分别为 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系 则 O 0 0 0 A 1 0 0 B 1 0 0 C 0 1 0 P 0 0 D 2 1 2 1 2 0 设 n1 x1 y1 z1 是平面 POD 的一个法向量 则由 n1 0 n1 0 得 OD OP Error Error 所以 z1 0 x1 y1 取 y1 1 得 n1 1 1 0 设 n2 x2 y2 z2 是平面 PAC 的一个法向量 则由 n2 0 n2 0 得Error Error PA PC 所以 x2 z2 y2 z2 22 取 z2 1 得 n2 1 22 因为 n1 n2 1 1 0 1 0 所以 n1 n2 22 从而平面 POD 平面 PAC 2 因为 y 轴 平面 PAB 所以平面 PAB 的一个法向量为 n3 0 1 0 由 1 知 平面 PAC 的一个法向量为 n2 1 22 设向量 n2和 n3的夹角为 则 cos n2 n3 n2 n3 2 5 10 5 由图可知 二面角 B PA C 的平面角与 相等 所以二面角 B PA C 的余弦值为 10 5 2 2011 全国卷 如图四棱锥 S ABCD 中 AB CD BC CD 侧面 SAB 为等边三 角形 AB BC 2 CD SD 1 1 证明 SD 平面 SAB 2 求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小 参考解法 以 C 为坐标原点 射线 CD 为 x 轴正半轴 建立如图所示的空间直角坐标 系 C xyz 设 D 1 0 0 则 A 2 2 0 B 0 2 0 又设 S x y z 则 x 0 y 0 z 0 1 x 2 y 2 z x y 2 z x 1 y z AS BS DS 由 得 AS BS x 2 2 y 2 2 z2x2 y 2 2 z2 故 x 1 由 1 得 y2 z2 1 DS 又由 2 得 x2 y 2 2 z2 4 BS 即 y2 z2 4y 1 0 故 y z 1 2 3 2 于是 S 1 1 2 3 2 AS 1 3 2 3 2 BS 1 3 2 3 2 DS 0 1 2 3 2 0 0 故 DS AS DS BS 又 AS BS S DS AS DS BS 所以 SD 平面 SAB 2 设平面 SBC 的法向量 a m n p 则 a a a 0 a 0 BS CB BS CB 又 0 2 0 BS 1 3 2 3 2 CB 故Error Error 取 p 2 得 a 0 2 又 2 0 0 3 AB 所以 cos a 故 AB 与平面 SBC 所成的角为 arcsi