06高考数学(上海理)含答案

1 2 20 00 06 6 年年上上海海高高考考 数学理工 一 填空题一 填空题 本大题满分 48 分 1 已知集合 A 1 3 2 1 集合 B 3 若 BA 则实数 m 2 m m 2 已知圆 4 4 0 的圆心是点 P 则点 P 到直线 1 0 的距离是 2 xx 2 yxy 3 若函数 0 且 1 的反函数的图像过点 2 1 则 xf x aaaa 4 计算 1 lim 3 3 n Cn n 5 若复数同时满足 2 为虚数单位 则 zz zi ziziz 6 如果 且是第四象限的角 那么 cos 5 1 2 cos 7 已知椭圆中心在原点 一个焦点为 F 2 0 且长轴长是短轴长的 2 倍 则该椭3 圆的标准方程是 8 在极坐标系中 O 是极点 设点 A 4 B 5 则 OAB 的面积是 3 6 5 9 两部不同的长篇小说各由第一 二 三 四卷组成 每卷 1 本 共 8 本 将它们任意地 排成一排 左边 4 本恰好都属于同一部小说的概率是 结果用分数表示 10 如果一条直线与一个平面垂直 那么 称此直线与平面构成一个 正交线面对 在一 个正方体中 由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的 正交线面对 的个 数是 11 若曲线 1 与直线 没有公共点 则 分别应满足的条件是 2 yxykxbkb 12 三个同学对问题 关于的不等式 25 5 在 1 12 上恒成立 求实x 2 x 3 x 2 xax 数的取值范围 提出各自的解题思路 a 甲说 只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值 乙说 把不等式变形为左边含变量的函数 右边仅含常数 求函数的最值 x 丙说 把不等式两边看成关于的函数 作出函数图像 x 参考上述解题思路 你认为他们所讨论的问题的正确结论 即的取值范围是 a 二 选择题二 选择题 本大题满分 16 分 13 如图 在平行四边形 ABCD 中 下列结论中错误的是 A B AB DC AD AB AC C D AB AD BD AD CB 0 14 若空间中有四个点 则 这四个点中有三点在同一直线上 是 这四个点在同一平面 上 的 AB CD 2 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 非充分非必要条 件 15 若关于的不等式 4 的解集是 M 则对任意实常数 总有 xxk 1 2 4 kk A 2 M 0 M B 2M 0M C 2 M 0M D 2M 0 M 16 如图 平面中两条直线和相交于点 O 对于平面上任意一点 M 若 分别是 1 l 2 lpq M 到直线和的距离 则称有序非负实数对 是点 M 的 距离坐标 已知 1 l 2 lpq 常数 0 0 给出下列命题 pq 若 0 则 距离坐标 为 0 0 的点有且仅有 1 个 pq 若 0 且 0 则 距离坐标 pqpq 为 的点有且仅有 2 个 pq 若 0 则 距离坐标 为 pqpq 的点有且仅有 4 个 上述命题中 正确命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 三 解答题三 解答题 本大题满分 86 分 本大题共有 6 题 17 本题满分 12 分 求函数 2 的值域和最小正周y 4 cos 4 cos xxx2sin3 期 18 本题满分 12 分 如图 当甲船位于 A 处时获悉 在其正东方向相距 20 海里的 B 处 有一艘渔船遇险等待营救 甲船立即前往救援 同时把消息告知在甲船的南偏西 30 相 距 10 海里 C 处的乙船 试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援 角度精 确到 1 19 本题 6 8 14 分 在四棱锥 P ABCD 中 底面是边长为 2 的菱形 DAB 60 1 l 2 l O M pq 北 20 10 A B C 3 对角线 AC 与 BD 相交于点 O PO 平面 ABCD PB 与平面 ABCD 所成的角为 60 1 求四棱锥 P ABCD 的体积 2 若 E 是 PB 的中点 求异面直线 DE 与 PA 所成角的大小 结果用反 三角函数值表示 20 本题 6 8 14 分 在平面直角坐标系O中 直线 与抛物线 2相交于 A Bxyl 2 yx 两点 1 求证 如果直线 过点 T 3 0 那么 3 是真命题 l OA OB 2 写出 1 中命题的逆命题 判断它是真命题还是假命题 并说明理由 21 本题 4 6 6 16 分 已知有穷数列共有 2项 整数 2 首项 2 设该 n a kk 1 a 数列的前项和为 且 2 1 2 2 1 其中常数n n S 1 n a n Sa 1 nk 1 a 1 求证 数列是等比数列 n a 2 若 2 数列满足 1 2 2 求数a 12 2 k n b n b log 1 212n aaa n nk 列的通项公式 n b 3 若 2 中的数列满足不等式 n b 1 b 2 3 2 b 2 3 4 求的值 12 k b 2 3 k b2 2 3 k P A B C D O E 4 22 本题 3 6 9 18 分 已知函数 有如下性质 如果常数 0 那么该函数yx x a a 在 0 上是减函数 在 上是增函数 a a 1 如果函数 0 的值域为 6 求的值 yx x b 2 x b 2 研究函数 常数 0 在定义域内的单调性 并说明理由 y 2 x 2 x c c 3 对函数 和 常数 0 作出推广 使它们都是你所推广的yx x a y 2 x 2 x a a 函数的特例 研究推广后的函数的单调性 只须写出结论 不必证明 并求函数 是正整数 在区间 2 上的最大值和最小值 可 xF n x x 1 2 n x x 1 2 n 2 1 利用你的研究结论 5 上海数学上海数学 理工农医类理工农医类 参考答案参考答案 2 20 00 06 6 年年全全国国普普通通高高等等学学校校招招生生统统一一考考试试 上海 数学试卷 理工农医类 考生注意 考生注意 1 答卷前 考生务必将姓名 高考准考证号 校验码等填写清楚 2 本试卷共有 22 道试题 满分 150 分 考试时间 120 分钟 请考生用钢笔或圆珠笔将答 案直接写在试卷上 一 填空题一 填空题 本大题满分 48 分 本大题共有 12 题 只要求直接填写结果 每个空格填对 得 4 分 否则一律得零分 1 已知集合 A 1 3 2 1 集合 B 3 若 BA 则实数 m 2 m m 解 解 由 经检验 为所求 2 211mmm 1m 2 已知圆 4 4 0 的圆心是点 P 则点 P 到直线 1 0 的距离是 2 xx 2 yxy 解 解 由已知得圆心为 由点到直线距离公式得 2 0 P 2 0 1 2 2 1 1 d 3 若函数 0 且 1 的反函数的图像过点 2 1 则 xf x aaaa 解 解 由互为反函数关系知 过点 代入得 xf 1 2 11 2 2 aa 4 计算 1 lim 3 3 n Cn n 解 解 3 322 333 3 32 1 1 2 321 limlimlimlim 16 1 1 3 1 3 1 3 n nnnn Cn nn n nnnn nnn n AA A 5 若复数同时满足 2 为虚数单位 则 zz zi ziziz 解 解 已知 2 21 1 i ZiZiZi i 6 6 如果 且是第四象限的角 那么 cos 5 1 2 cos 解 解 已知 22 6 cos sin 1 cos 25 7 已知椭圆中心在原点 一个焦点为 F 2 0 且长轴长是短轴长的 2 倍 则该椭3 圆的 标准方程是 解 解 已知为所求 2 2 2 2 222 4 2 2 3 161 164 2 3 0 b ab c y x a abc F 8 在极坐标系中 O 是极点 设点 A 4 B 5 则 OAB 的面积是 3 6 5 解 解 如图 OAB 中 55 4 5 2 366 OAOBAOB 平方单位 15 4 5 sin5 26 AOB S A A A 9 两部不同的长篇小说各由第一 二 三 四卷组成 每卷 1 本 共 8 本 将它们任意地 排成 一排 左边 4 本恰好都属于同一部小说的概率是 结果用分数表示 解 解 分为二步完成 1 两套中任取一套 再作全排列 有种方法 1 24 CPA 2 剩下的一套全排列 有种方法 4 P 所以 所求概率为 1 244 8 1 35 C P P P 10 如果一条直线与一个平面垂直 则称此直线与平面构成一个 正交线面对 在一个正 方体 中 由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的 正交线面对 的个数是 解 解 正方体中 一个面有四条棱与之垂直 六个面 共构成 24 个 正交线面对 而 正方 体的六个对角截面中 每个对角面又有两条面对角线与之垂直 共构成 12 个 正 交线 面对 所以共有 36 个 正交线面对 11 若曲线 1 与直线 没有公共点 则 分别应满足的条件是 2 yxykxbkb 7 解 解 作出函数的图象 2 1 0 1 1 0 xx yx xx 如右图所示 所以 0 1 1 kb 12 三个同学对问题 关于的不等式 25 5 在 1 12 上恒成立 求实x 2 x 3 x 2 xax 数a 的取值范围 提出各自的解题思路 甲说 只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值 乙说 把不等式变形为左边含变量的函数 右边仅含常数 求函数的最值 x 丙说 把不等式两边看成关于的函数 作出函数图像 x 参考上述解题思路 你认为他们所讨论的问题的正确结论 即的取值范围是 a 解 解 由 25 5 2 x 3 x 2 x 225 112 5 axxaxxx x 而 等号当且仅当时成立 2525 210 xx xx A5 1 12 x 且 等号当且仅当时成立 2 5 0 xx 5 1 12 x 所以 等号当且仅当时成立 故 2 min 25 5 10axxx x 5 1 12 x 10 a 二 选择题二 选择题 本大题满分 16 分 本大题共有 4 题 每题都给出代号为 A B C D 的四 个结 论 其中有且只有一个结论是正确的 必本大题满分 16 分 须把正确结论的代号写 在题 后的圆括号内 选对得 4 分 不选 选错或者选出的代号超过一个 不论是否都写在 圆括 号内 一律得零分 13 如图 在平行四边形 ABCD 中 下列结论中错误的是 答答 A B ABDC ADABAC C D ABADBD 0AD CB 解 解 由向量定义易得 C 选项错误 ABADDB 14 若空间中有四个点 则 这四个点中有三点在同一直线上 是 这四个点在同一平面 上 的 答答 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 非充分非必 要条件 解 解 充分性成立 充分性成立 这四个点中有三点在同一直线上 有两种情况 AB CD 8 1 第四点在共线三点所在的直线上 可推出 这四个点在同一平面上 2 第四点不在共线三点所在的直线上 可推出 这四点在唯一的一个平面 内 必要性不成立 必要性不成立 四个点在同一平面上 可能推出 两点分别在两条相交或平行直 线上 故选 故选 A 15 若关于的不等式 4 的解集是 M 则对任意实常数 总有 答答 xxk 1 2 4 kk A 2 M 0 M B 2M 0M C 2 M 0M D 2M 0 M 解 解 选 A 方法方法 1 代入判断法 将分别代入不等式中 判断关于的不等式解2 0 xx k 集是 否为 R 方法方法 2 求出不等式的解集 4xk 1 2 4 k 4 22 min 222 455 1 2 1 2 2 5 2 111 k xkxk kkk 16 如图 平面中两条直线和相交于点 O 对于平面上任意一点 M 若 分别是 1 l 2 lpq M 到 直线和的距离 则称有序非负实数对 是点 M 的 距离坐标 1 l 2 lpq 已知常数 0 0 给出下列命题 pq 若 0 则 距离坐标 为 0 0 的pq 点有且仅有 1 个 若 0 且 0 则 距离坐标 为pqpq 的点有且仅有 2 个 pq 若 0 则 距离坐标 为 的点有且仅有 4 个 pqpq 上述命题中 正确命题的个数是 答答 A 0 B 1 C 2 D 3 解 解 选 D 正确 此点为点 正确 注意到为常数 由中必有一个为零 O p q p q 另 一个非零 从而可知有且仅有 2 个点 这两点在其中一条直线上 且到另一直线 的距 离为 或 正确 四个交点为与直线相距为的两条平行线和与直qp 1 lp 线 2 l 相距为的两条平行线的交点 q 三 解答题三 解答题 本大题满分 86 分 本大题共有 6 题 解答下列各题必须写出必要的步骤 1 l 2 l O M pq 9 17 本题满分 12 分 求函数的值域和最小正周期 2cos cos 3sin2 44 yxxx 解解 2cos cos 3sin2 44 yxxx 2211 2 cossin 3sin2 22 cos23sin2 2sin 2 6 xxx xx x 函数的值域是 最小正周期是 2cos cos 3sin2 44 yxxx 2 2 18 本题满分 12 分 如图 当甲船位于 A 处时获悉 在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险 等待 营救 甲船立即前往救援 同时把消息告知在甲船的南偏西 30 相距 10 海里 C 处 的乙 船 试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援 角度精确到 1 解解 连接 BC 由余弦定理得 BC2 202 102 2 20 10COS120 700 于是 BC 10 7 sin ACB 710 120sin 20 sin ACB 7 3 ACB 90 ACB 41 乙船应朝北偏东 71 方向沿直线前往 B 处救援 19 本题满分 14 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 6 分 第 2 小题满分 8 分 在四棱锥 P ABCD 中 底面是边长为 2 的菱形 DAB 60 对角线 AC 与 BD 相交 于点 O PO 平面 ABCD PB 与平面 ABCD 所成的角为 60 1 求四棱锥 P ABCD 的体积 2 若 E 是 PB 的中点 求异面直线 DE 与 PA 所成角的大小 结果用 反三角函数值表示 解解 1 在四棱锥 P ABCD 中 由 PO 平面 ABCD 得 PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角 PBO 60 在 Rt AOB 中 BO ABsin30 1 由 PO BO 于是 PO BOtg60 而底面菱形的面积为 2 33 P A B C D O E 10 四棱锥 P ABCD 的体积 V 2 2 3 1 33 2 解法一 解法一 以 O 为坐标原点 射线 OB OC OP 分别为 x 轴 y 轴 z 轴的正半轴建立 空间直角坐标系 在 Rt AOB 中 OA 于是 点 A B 3 D P 的坐标分别是 A 0 0 3 B 1 0 0 D 1 0 0 P 0 0 3 E 是 PB 的中点 则 E 0 于是 0 0 2 1 2 3 DE 2 3 2 3 AP33 设的夹角为 有 cos arccos AP与DE 4 2 33 4 3 4 9 2 3 4 2 异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是 arccos 4 2 解法二 解法二 取 AB 的中点 F 连接 EF DF 由 E 是 PB 的中点 得 EF PA FED 是异面直线 DE 与 PA 所成 角 或它的补角 在 Rt AOB 中 AO ABcos30 OP 3 于是 在等腰 Rt POA 中 PA 则 EF 6 2 6 在正 ABD 和正 PBD 中 DE DF 3 cos FED 3 4 6 2 1 DE EF 4 2 异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是 arccos 4 2 20 本题满分 14 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 6 分 第 2 小题满分 8 分 在平面直角坐标系O中 直线 与抛物线 2相交于 A B 两点 xyl 2 yx 1 求证 如果直线 过点 T 3 0 那么 3 是真命题 l OA OB 2 写出 1 中命题的逆命题 判断它是真命题还是假命题 并说明理由 解解 1 设过点 T 3 0 的直线 交抛物线 y2 2x 于点 A x1 y1 B x2 y2 l 当直线 的钭率不存在时 直线 的方程为 x 3 此时 直线 与抛物线相交于点 A 3 lll 11 B 3 3 66OBOA 当直线 的钭率存在时 设直线 的方程为 其中 ll 3 yk x 0k 由得 2 2 3 yx yk x 2 12 2606kyyky y 又 22 1122 11 22 xyxy 2 12121212 1 3 4 OA OBx xy yy yy y A 综上所述 命题 如果直线 过点 T 3 0 那么 3 是真命题 lOBOA 2 逆命题逆命题是 设直线 交抛物线 y2 2x 于 A B 两点 如果 3 那么该直线过点lOBOA T 3 0 该命题是假命题假命题 例如 取抛物线上的点 A 2 2 B 1 此时 3 2 1 OA OB A 直线 AB 的方程为 而 T 3 0 不在直线 AB 上 2 1 3 yx 说明 由抛物线 y2 2x 上的点 A x1 y1 B x2 y2 满足 3 可得OBOA y1y2 6 或 y1y2 2 如果 y1y2 6 可证得直线 AB 过点 3 0 如果 y1y2 2 可证得 直线 AB 过点 1 0 而不过点 3 0 21 本题满分 16 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 6 分 第 3 小题 满分 6 分 已知有穷数列共有 2项 整数 2 首项 2 设该数列的前项和为 n a kk 1 an 且 2 1 2 2 1 其中常数 1 n S 1 n a n Sa 1 nka 1 求证 数列是等比数列 n a 2 若 2 数列满足 1 2 2 a 12 2 k n b n b log 1 212n aaa n nk 求数列的通项公式 n b 3 若 2 中的数列满足不等式 n b 1 b 2 3 2 b 2 3 12 k b 2 3 k b2 2 3 4 求的值 k 12 1 证明证明 当 n 1 时 a2 2a 则 a 1 2 a a 2 n 2k 1 时 an 1 a 1 Sn 2 an a 1 Sn 1 2 an 1 an a 1 an a 数列 an 是等比数列 n n a a 1 2 解 由 1 得 an 2a a1a2 an 2a 2a 2 1 n n 1 21 n n 2 1 nn 12 1 k nn n bn n 1 2 2k 1 12 1 12 1 1 k n k nn n n 3 设 bn 解得 n k 又 n 是正整数 于是当 n k 时 bn 2 3 原式 b1 b2 bk bk 1 b2k 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 bk 1 b2k b1 bk 12 10 2 1 12 12 2 1 k k kk k k kkk 12 2 k k 当 4 得 k2 8k 4 0 4 2 k 4 2 又 k 2 12 2 k k 33 当 k 2 3 4 5 6 7 时 原不等式成立 22 本题满分 18