【创新设计】（浙江专用）2014届高考数学总复习 第13篇 第3讲 直接证明与间接证明限时训练 理

1 第第 3 3 讲讲 直接证明与间接证明直接证明与间接证明 分层 A 级 基础达标演练 时间 30 分钟 满分 55 分 一 选择题 每小题 5 分 共 20 分 1 2013 中山调研 设a b R 则 a b 1 是 4ab 1 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 若 a b 1 则 4ab 4a 1 a 4 2 1 1 若 4ab 1 取 a 1 2 a 4 b 1 a b 3 即 a b 1 不成立 则 a b 1 是 4ab 1 的充 分不必要条件 答案 A 2 2013 金华十校联考 对于平面 和共面的直线m n 下列命题中真命题是 A 若m m n 则n B 若m n 则m n C 若m n 则m n D 若m n与 所成的角相等 则m n 解析 对于平面 和共面的直线m n 真命题是 若m n 则m n 答案 C 3 要证 a2 b2 1 a2b2 0 只要证明 A 2ab 1 a2b2 0 B a2 b2 1 0 a4 b4 2 C 1 a2b2 0 D a2 1 b2 1 0 a b 2 2 解析 因为a2 b2 1 a2b2 0 a2 1 b2 1 0 故选 D 答案 D 4 2013 四平二模 设a b是两个实数 给出下列条件 a b 1 a b 2 a b 2 a2 b2 2 ab 1 其中能推出 a b中至少有一个大于 1 的条件是 A B C D 2 解析 若a b 则a b 1 但a 1 b2 故 推不出 若a 2 b 3 则ab 1 故 推不出 对于 即a b 2 则a b中至少有一个大于 1 反证法 假设a 1 且b 1 则a b 2 与a b 2 矛盾 因此假设不成立 a b中至少有一个大于 1 答案 C 二 填空题 每小题 5 分 共 10 分 5 用反证法证明命题 a b N ab可以被 5 整除 那么a b中至少有一个能被 5 整除 那么假设的内容是 解析 至少有n个 的否定是 最多有n 1 个 故应假设a b中没有一个能被 5 整除 答案 a b中没有一个能被 5 整除 6 设a b 0 m n 则m n的大小关系是 aba b 解析 取a 2 b 1 得m n 再用分析法证明 a0 显然成立 aba baba bba bba b 答案 m n 三 解答题 共 25 分 7 12 分 若a b c是不全相等的正数 求证 lg lg lg lg a lg b lg c a b 2 b c 2 c a 2 证明 a b c 0 0 0 0 a b 2ab b c 2bc a c 2ac 又上述三个不等式中等号不能同时成立 abc成立 a b 2 b c 2 c a 2 上式两边同时取常用对数 得 lg lg abc a b 2 b c 2 c a 2 lg lg lg lg a lg b lg c a b 2 b c 2 c a 2 8 13 分 2013 鹤岗模拟 设数列 an 是公比为q的等比数列 Sn是它的前n项和 3 1 求证 数列 Sn 不是等比数列 2 数列 Sn 是等差数列吗 为什么 1 证明 假设数列 Sn 是等比数列 则S S1S3 2 2 即a 1 q 2 a1 a1 1 q q2 2 1 因为a1 0 所以 1 q 2 1 q q2 即q 0 这与公比q 0 矛盾 所以数列 Sn 不是等比数列 2 解 当q 1 时 Sn na1 故 Sn 是等差数列 当q 1 时 Sn 不是等差数列 否则 2S2 S1 S3 即 2a1 1 q a1 a1 1 q q2 得q 0 这与公比q 0 矛盾 分层 B 级 创新能力提升 1 2013 漳州一模 设a b c均为正实数 则三个数a b c 1 b 1 c 1 a A 都大于 2 B 都小于 2 C 至少有一个不大于 2 D 至少有一个不小于 2 解析 a 0 b 0 c 0 a 1 b b 1 c c 1 a a 1 a b 1 b 6 当且仅当a b c时 成立 故三者不能都小于 2 即至少有一个不 c 1 c 小于 2 答案 D 2 下列各式中对x R 都成立的是 A lg x2 1 lg 2x B x2 1 2x C 1 D x 2 1 x2 1 1 x 解析 A D 中x必须大于 0 故 A D 排除 B 中应x2 1 2x 故 B 不正确 答案 C 3 2013 株洲模拟 已知a b 0 且 1 则使得a b 恒成立的 1 a 9 b 的取值范围是 解析 a b 0 且 1 1 a 9 b a b a b 10 10 2 16 a b的最小值为 16 1 a 9 b 9a b b a 9 4 要使a b 恒成立 需 16 0 16 答案 0 16 4 2012 金华一模改编 已知下表中的对数值有且只有一个是错误的 x35689 lg x 2a ba c 11 a b c3 1 a c 2 2a b 试将错误的对数值加以改正 解析 由 2a b lg 3 得 lg 9 2lg 3 2 2a b 从而 lg 3 和 lg 9 正确 假设 lg 5 a c 1 错误 则由 Error 得Error 所以 lg 5 1 lg 2 a c 因此 lg 5 a c 1 错误 正确结论是 lg 5 a c 答案 lg 5 a c 5 已知f x x2 ax b 1 求 f 1 f 3 2f 2 2 求证 f 1 f 2 f 3 中至少有一个不小于 1 2 1 解 f 1 a b 1 f 2 2a b 4 f 3 3a b 9 f 1 f 3 2f 2 2 2 证明 假设 f 1 f 2 f 3 都小于 1 2 则 f 1 f 2 f 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2f 2 1 1 f 1 f 3 1 2 f 1 f 3 2f 2 1 a 0 1 求f x 的单调区间 2 证明 当m n 0 时 1 m n0 所以f x 在 1 上是增函数 当a 0 时 f x 在上单调递增 1 e 1 a a 1 在单调递减 e 1 a a 1 2 要证 1 m n 1 n m 5 只需证