2014年高考数学全国卷2(理数)

绝密 启用前 2014 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷全国卷 2 卷卷 数数 学学 理科理科 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要 求的 1 设集合 M 0 1 2 N 则 2 320 x xx MN A 1 B 2 C 0 1 D 1 2 答案 D 解析 把 M 0 1 2 中的数 代入不等式经检验 x 1 2 满足 所以选 D 023 2 xx 2 设复数 在复平面内的对应点关于虚轴对称 则 1 z 2 z 1 2zi 1 2 z z A 5B 5 C 4 iD 4 i 答案 B 解析 5 4 1 2 2 21 2211 Bzz izzziz 故选 关于虚轴对称 与 3 设向量 a b 满足 a b a b 则 a b 106 A 1B 2C 3D 5 答案 A 解析 1 62 102 6 10 2222 Aba babababababa 故选联立方程解得 4 钝角三角形 ABC 的面积是 AB 1 BC 则 AC 1 2 2 A 5 B 5 C 2D 1 答案 B 解 5 cos2 4 3 ABC 4 4 3 4 2 2 sin 2 1 sin12 2 1 sin 2 1 222 ABC BbBaccabB BB BBBacS 故选解得 使用余弦定理 符合题意 舍去 为等腰直角三角形 不时 经计算当或 5 某地区空气质量监测资料表明 一天的空气质量为优良的概率是 0 75 连续两为优良的概率是 0 6 已知某天的空气质量为优良 则随后一天的空气质量为优良的概 率是 A 0 8 B 0 75 C 0 6 D 0 45 答案答案 A 解析 8 0 75 06 0 App p 故选解得则据题有 优良的概率为则随后一个空气质量也设某天空气质量优良 6 如图 网格纸上正方形小格的边长为 1 表示 1cm 图中粗线画出的是某零件的三视图 该零件 由一个底面半径为 3cm 高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到 则切削掉部分的体积与原来毛坯体积 的比值为 A B C D 17 27 5 9 10 27 1 3 答案答案 C 解析 27 10 54 34 54 342 944 2 342 546 963 2 1 C v v 故选积之比削掉部分的体积与原体 体积 高为径为 右半部为大圆柱 半 高为小圆柱 半径加工后的零件 左半部 体积 高加工前的零件半径为 7 执行右图程序框图 如果输入的 x t 均为 2 则输出的 S A 4 B 5 C 6 D 7 答案答案 C 解析 3 7 2 2 5 2 1 3 1 2 2 C KSM tx 故选 变量变化情况如下 8 设曲线 y ax ln x 1 在点 0 0 处的切线方程为 y 2x 则 a A 0 B 1 C 2 D 3 答案答案 D 解析 3 2 0 0 0 1 1 1ln Daff x axfxaxxf 故选联立解得且 9 设 x y 满足约束条件 则的最大值为 70 31 0 350 xy xy xy 2zxy A 10 B 8 C 3 D 2 答案答案 B 解析 8 2 5 07 013 2 Bz yxyxyxz 故选取得最大值 处的交点与在两条直线 可知目标函数三角形 经比较斜率 画出区域 可知区域为 10 设 F 为抛物线 C 的焦点 过 F 且倾斜角为 30 的直线交 C 于 A B 两点 O 为坐标原点 2 3yx 则 OAB 的面积为 A B C D 3 3 4 9 3 8 63 32 9 4 答案答案 D 解析 4 9 4 3 2 1 6 3 2 2 3 32 2 3 3 4 3 22 3 4 3 22 2 2 OAB DnmS nmnmnnmm nBFmAFBA 故选 解得 直角三角形知识可得 则由抛物线的定义和 分别在第一和第四象限 设点 11 直三棱柱 ABC A1B1C1中 BCA 90 M N 分别是 A1B1 A1C1的中点 BC CA CC1 则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为 A B C D 1 10 2 5 30 10 2 2 答案答案 C 解析 10 30 56 41 0 cos 2 1 0 2 1 1 0 1 0 0 1 1 2 0 2 2 2 0 2 111111 C ANBM ANBM ANBMNMBA CCBCACZYXCCACBC 故选 则轴 建立坐标系 令为 如图 分别以 12 设函数 若存在的极值点满足 则 m 的取值范 3sin x f x m f x 0 x 2 22 00 xf xm 围是 A B C D 66 44 22 14 答案答案 C 解析 2 3 4 3 4 2 3 3 sin3 2 22 2 0 2 0 0 2 0 Cmm mm xfx m xxf m x xf 故选解得 即的极值为 xx xxxf xxf fxfy 16 设点 M 1 若在圆 O 上存在点 N 使得 OMN 45 则的取值范围是 0 x 22 1xy 0 x 答案答案 1 1 解析 1 1 x 1 1 x 1 M x1 yO 00 0 故形外角知识 可得由圆的切线相等及三角 在直线上其中和直线在坐标系中画出圆 三三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知数列满足 1 n a 1 a 1 31 nn aa 证明是等比数列 并求的通项公式 1 2 n a n a 证明 12 3111 2 n aaa 答案答案 1 无无 2 无无 解析 1 的等比数列 公比为是首项为3 2 3 2 1 2 1 2 1 3 2 1 13 2 1 a N n13 1 1 1n 11 aa aa aaa n nn nn 2 证毕 所以 时 当 知 由 2 31111 2 3 3 1 1 2 3 3 1 1 3 1 1 3 1 3 1 3 1 1 1111 3 1 1 3 21 1 1 1 1 3 21 2 1 3 2 3 2 1 1 321 1 21 321 1 1 Nn aaaa aaaa a n a a aa n n n n n nn n n n n n n n 18 本小题满分 12 分 如图 四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为矩形 PA 平面 ABCD E 为 PD 的中点 证明 PB 平面 AEC 设二面角 D AE C 为 60 AP 1 AD 求三棱锥 E ACD 的体积 3 答案答案 1 无无 2 无无 解析 1 设 AC 的中点为 G 连接 EG 在三角形 PBD 中 中位线 EG PB 且 EG 在平面 AEC 上 所以 PB 平面 AEC 2 设 CD m 分别以 AD AB AP 为 X Y Z 轴建立坐标系 则 的体积为所以 三棱锥 的高即为三棱锥 面且的中点 则为设 解得 解得一个 则法向量为同理设平面 解得一个 则法向量为设平面 8 3 8 3 2 1 3 2 3 2 1 3 1 3 1 2 1 2 2 3 2 1 33 3 cos 3 cos 3 3 0 0 0 1 0 0 0 0 3 2 1 0 2 3 0 0 3 0 3 2 1 0 2 3 0 0 3 0 0 0 22 22 22 22 2 222222 1 111111 ACDE EFSVACDE ACDEF EF PAEFPAADF m mmnn nn nn mmn AEnACnzyxnACE n AEnADnzyxnADE mACAEAD mCEDA ACDACDE y b 20 本小题满分 12 分 设 分别是椭圆的左右焦点 M 是 C 上一点且与 x 轴垂直 直线 1 F 2 F 2 2 22 10 y x ab ab 2 MF 与 C 的另一个交点为 N 1 MF 若直线 MN 的斜率为 求 C 的离心率 3 4 若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2 且 求 a b 1 5MNFN 答案答案 1 2 1 2 72 7 ba 解析 1 2 1 2 1 02 32 4 3 2 1 4 3 2222 2 21 1 的离心率为解得 联立整理得 且由题知 Ce eecba ca b FF MF 2 72 7 72 7 1 4 2 3 2 3 4 422 222 1111 11 2 2 ba bacba a c eNFMFceaNFecaMF ccNM mMFmNF a b MF 所以 联立解得 且 由焦半径公式可得两点横坐标分别为 可得由两直角三角形相似 由题可知设 即知 由三角形中位线知识可 21 本小题满分 12 分 已知函数 f x2 xx eex 讨论的单调性 f x 设 当时 求的最大值 24g xfxbf x 0 x 0g x b 已知 估计 ln2 的近似值 精确到 0 001 1 414221 4143 答案答案 1 上单增在Rxf 2 2 解析 1 0 2 1 2 2 1 2 2 上单增在所以 Rxf e e e eeexfRxxeexf x x x xxxxx 2 2 22 0 0 0 2 2 2 0 0 tt 0 x 2 2 2 0 0 0mm 0 x 2 2 2 0 2 2 2 0 2 4 4 22 0 0 mm 0 x 2 4 4 22 0 0 0 2 4 4 0 0 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 的最大值为 所以 即即 且 即即 使 则 同理 令 即 即 使 则令 bbeeeebee eeeebeeeeeebee xmeebeexm meebeexm eebee eebee xheebeexh hxxeebxeexh xxeebxeexbfxfxg xxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx 3 2 2 2ln 4 1 2 3 2 4 1 2 3 2 2ln 2 3 242ln6 2ln2 2 1 282ln2 2 1 2 2 ln8 2 ln 2 ln8 2ln2 02ln 8 2 2 2 2 2ln 0 2ln 2 2 2ln2 2 1 2 2 ln 0 2 ln 02ln 所以 即 解得 即即 则令知 由解得 即则设 ff ffxxfxf ffx 请考生在第 22 23 24 题中任选一题做答 如果多做 同按所做的第一题计分 做答时请写清题 号 22 本小题满分 10 选修 4 1 几何证明选讲 如图 P 是O 外一点 PA 是切线 A 为切点 割线 PBC 与O 相AA 交于点 B C PC 2PA D 为 PC 的中点 AD 的延长线交O 于点 E 证明 A BE EC AD DE 2 2 PB 答案答案 1 无无 2 无 无 解析 1 EC BEBE CE BE BE BE DEB PDA AE CE EB 2 所以 即即 则连接 为等腰三角形 DBDD DPADBADPABBCEPAB BBDPABAB PADPDPADCPDPAPC 2 2 2 2PA PA PAPB PB PA PADCBD PADC BDDEAD PBPBPBPB PCPBPCPB PADCPDPCPB 23