【提优教程】江苏省2012高中数学竞赛 第44讲 排序不等式教案

用心 爱心 专心1 第第 4444 讲讲 排序不等式与琴生不等式排序不等式与琴生不等式 本节主要内容有排序不等式 琴生不等式 幂平均不等式 切比雪夫不等式及应用 排序不等式 又称排序定理 给定两组实数 a1 a2 an b1 b2 bn 如果a1 a2 an b1 b2 bn 那么 a1bn a2bn 1 anb1 反序和 a1 a2 an 乱序和 1 i b 2 i b n i b a1b1 a2b2 anbn 同序和 其中i1 i2 in是 1 2 n的一个排列 该不等式所表达的意义是和式在同序和反序时分别取得最大值和最小值 n j ij j ba 1 切比雪夫不等式 设有两个有序数组a1 a2 an b1 b2 bn 则 a1bn a2bn 1 anb1 1 n a1b1 a2b2 anbn a1 a2 an n b1 b2 bn n 1 n 其中等号仅当a1 a2 an或b1 b2 bn时取得 琴生不等式又称凸函数不等式 它建立在凸函数的基础上 定义 设连续函数f x 的定义域是 a b 开区间 a b 或 上均可 如果对于区间 a b 内的任意两点x1 x2有f f x1 f x2 则称f x 为 x1 x2 2 1 2 a b 上的下凸函数 如图 定理一 若f x 是下凸函数 则对其定义域中的任意几个点x1 x2 xn 恒有 f f x1 f x2 f xn x1 x2 xn n 1 n 定义 设连续函数f x 的定义域是 a b 开区间 a b 或 上均可 如 果对于区间 a b 内的任意两点x1 x2有f f x1 f x2 则称f x 为 x1 x2 2 1 2 a b 上的下凸函数 如图 2 定理二 若是上凸函数 则对其定义域中的任意个点恒有 xfn n xxx 21 容易验证分 1 21 21 n n xfxfxf nn xxx f xxxf 2 1 log tan x1x2M 1 x1x2M 2 用心 爱心 专心2 别是上的下凸函数 分别是上的上凸函数 0 2 0 xxxflg sin 0 0 定理一和定理二所表达的不等关系 统称为琴生不等式 幂平均 设是任意个正数 我们称为这一组数的 n aaa 21 n 0 1 21 r n aaa r r n rr 次幂平均 记为 简记作 由定义容易得到r r M n aaa 21 aMr 可以证明 n aaa aM n 21 1 n nr r aaaaM lim 21 0 幂平均不等式 设是任意个正数 如果 那么一定有 n aaa 21 n 等号只有当个数全相等时才能成立 例如时 aMaM n3 n 显然是的递增函数 33 2 3 2 2 2 1321 aaaaaa 3 3 3 3 2 3 1 3 aaa aMrr 我们将在本节的附录里对排序不等式 切比雪夫不等式 琴生不等式分别给出证明 由于幂平均不等式数学背景深 难度大 这里不再证明 有兴趣的读者可以参阅史济怀先 生著 平均 A 类例题 例 1 求证325tan46tan66tan 证法一 46tan 25tan65 tan25tan46tan66tan 345tan25tan 65tan2 证法二 在上是下凸函数 据琴生不等式xxftan 2 0 因此 45tan 3 137 tan 3 254666 tan 3 25tan46tan66tan 325tan46tan66tan 说明 如原题改为求证 则证法二仍可 证法一则不325tan44tan66tan 灵 例 2 中求的最大值 ABC CBAsinsinsin 解 考察函数 对任意 xxfsin 0 x 0 21 xx 2 1 21 xfxf 2 sin 2 cos 2 sin 2 sin sin sin 2 1 2 21212121 21 21 xxxxxxxx xx xx f 用心 爱心 专心3 所以 因此是0 1 2 cos 2 sin 2121 xxxx 2 21 xx f 2 1 21 xfxf xf 上凸函数 据琴生不等式CBA CBACBA sinsinsin 3 sin 3 sinsinsin 当且仅当时取得最大值 2 33 60 CBA 2 33 链接 用琴生不等式可以轻而易举得得到一系列三角不等式 例如中ABC 8 33 sin sin sin CBA 2 33 2 cos 2 cos 2 cos CBA 2 3 2 sin 2 sin 2 sin CBA 例 3 若 求的最小值 122 ba 1 22 ba 解 由于是下凸函数 读者自行证明 据琴生不等式 x y2 3 2 3 222 bba bba 即 也就是 当且仅当时达到最小值 4 2 32 22 ba 4822 1 ba 4 ba 说明 运用琴生不等式证题关键在于选去适当的辅助函数 情景再现 1 中 求的最大值 ABC CBAsinsinsin 2 若 证明是下凸的 若 证明是上凸的 cbxaxxf 2 0 a xf0 a xf 3 用函数的凸函数性质证明平均值不等式 对 有xxflg 0 i ani 2 1 n n n aaa n aaa 21 21 B 类例题 例 4 设都是正数 且 试证zyx 8 222 zyx 3 2 16 333 zyx 证明 据幂平均不等式 因此有 33 222 3 333 zyxzyx 也就是 9 3 8 3333 zyx 3 2 16 333 zyx 例 5 1 若不等式对所有正实数都成立 则的最小值是 422 bamba ba m 用心 爱心 专心4 2 设都是正数 试证cba 3 222333 cbacbacba 3 设 且 试证当时有 Raaa n 21 1 21 n aaa1 m mm n n mm n nn a a a a a a 1 1 1 1 2 2 1 1 1 解 据幂平均不等式 因此 4 422 2 1 22 2 2 1 2 1 22 2 2 babababa 故的最小值是 4 3 422 2 ba ba m 4 3 2 2 证明 1 又因 33 3 333 cbacba 33 222 3 333 cbacba 此得 2 1 与 2 相乘得 3 3 222 2 3 333 cbacba 也就是 3 33 222333 cbacbacba 3 333 cba 仿此 一般地设 都是正数 且 222 cbacba n aaa 21 r 则有 n aaa n aaa n aaa nn r n rr 212121 3 证明 由幂平均不等式 m m n n mm n a a a a a a 1 2 2 1 1 1 1 1 这样便有 n aaa n a a a a a a nn n 1 11 1 1 11 212 2 1 1 1 由于 mnm n n mm n aaa n a a a a a a 1 11 1 1 1 1 21 2 2 1 1 由柯西不等式 或平均值不等式 易知1 21 n aaa 21n aaa 于是得 2 由不等式 1 2 得 2 21 1 11 n aaa n 2 21 1 11 n aaa n 用心 爱心 专心5 mm n n mm n nn a a a a a a 1 1 1 1 2 2 1 1 我们注意到许多不等式就是该不等式的特例 例如 设都是正数 且 ba 1 ba 那么 设都是正数 且 那么 2 25 1 1 22 b b a acba 1 cba 3 100 1 1 1 222 c c b b a a 例 6 已知非负实数满足 证明zyx 4 13 32 222 zyxzyx 2 322 2 3 zyx 分析 我们想起这样的一道题 已知为非负实数 求的最大yx 1 22 yxyx 值和最小值 这道题的几何意义是点在单位圆的一段弧上 求点纵 横坐标之 yxpp 和的最值 对比我们做过的题和要做的题 发现其本质是一样的 只不过问题由平民推到 了空间 过去的圆变成了现在的球因而解法完全类似 证明 由已知 配方可得 这表明点 4 27 2 3 1 2 1 222 zyx 在以为球心 半径为的球面上 据幂平均不等式 zyxp 2 3 1 2 1 2 33 3 1 4 27 3 3 3 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 1 222 zyx zyxzyx 当且仅当时取等号 2 3 zyx 0 2 1 1 z y x 又为非负实数 所以 相zyx 2222 zyxzyx zyxzyx32 3 加得 解此不013 12 4 4 13 3 22 zyxzyxzyxzyx 等式得 当且仅当时等号成立 综上便有 2 322 zyx 2 322 0 z yx 2 322 2 3 zyx 用心 爱心 专心6 例 7 设 且 求证edcba 01 edcba 5 1 eabecbdcad 1994 年国家数学集训队 9 人测验试题 证明 因为 所以 利用切比edcba bacadbeced 雪夫不等式 有 5 1 edcbabaecaddbcecbeda 也即 5 2 bacadbeced 5 2 2 eabecbdcad 因此 5 1 eabecbdcad 说明 排序不等式与切比雪夫不等式有共同之处 它们都有已经排序的两组实数 都涉及到反序和及同序和 不同的是在排序不等式中没有每组 n aaa 21n bbb 21 数的算术平均 而在切比雪夫不等式中却有 正因为 n aaa n 21 n bbb n 21 有共性 因此它们是相通的 又由于有差异 作为数学工具 它们又有不同的功能和作用 在使用时 我们必须把握住问题的结构特点 选择最佳的切入点和突破口 例 8 设的三内角所对的边分别为 其周长为 1 求证 ABC CBA cba CBA 111 3 C c B b A a 分析 由问题的对称性 不妨设 三角形中大边对大角 于是有cba CBA 这种形式是题目所需要的 这样既不改变问题的实质 又增加了已知条 ABC 111 件 两组有序实数 及 这就为应用排序原理创设了很好的情境 cba ABC 111 证法一 用排序原理 不妨设 于是有 由排序cba CBA ABC 111 不等式 同序和大于或等于反序和 也就是 C c A a A c C a 1 1 1 1 C c A a A c C a 同理 相加得 C c B b B c C b B b A a A b B a 不等式两边同加 并注意到 C c B b A a A cb B ca C ba222 C c B b A a 就得1 cba CBA 111 3 C c B b A a 证法二 比较法 111 CBA C cba B bca A acb C c B b A a222 3 用心 爱心 专心7 C ca A ac B ba A ab C cbca B bcba A acab 因此0 BC CBcb AC CAca AB BAba C cb B bc CBA 111 3 C c B b A a 说明 利用排序原理证明其他不等式时 必须制造出两个合适的有序数组 情景再现 4 1 设都是正数 试证cba 222555 cbaabccba 2 设都是正数 试证dcba 4 66663333 dcbadcba 5 已知是正数 求证 n aaa 21 22 2 2 2 1 1 1 1 1 n n a a a a a a 2 21 21 n n aaa n n aaa 6 假设是正数的某一排列 证明 n bbb 21n aaa 21 n b a n i i i 1 7 设是三角形的三边长 求证cba abccbacbacbacba3 222 8 设 求证 0 x nn xnxxxx 12 1 232 例 9 设为两两不等的正整数 求证 对任何正整数 下列不等式成立 n aaa 21 n 第 20 届 IMO 试题 n k n k k kk a 11 2 1 证法一 用排序原理 对于任意给定的正整数 将按从小到大顺序排列n n aaa 21 为 因为 据排序原理得 2 1 n aaa 22222 1 1 2 1 3 1 1 11 nn 即 又因 22 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 11 2 1 1 1 n aaa n aaa nn n k k n k k k a k a 1 2 1 2 1 为为两两不等的正整数 所以 于是 2 1 n aaakak nk 2 1 故 n k n k n k k kk k k a 11 2 1 2 1 n k n k k kk a 11 2 1 用心 爱心 专心8 证法二 用平均值不等式 据平均值不等式的变形形式 取 ba b a 2 2 k a 1 有 这样便有 而 k a b 1 k k k ak a k k a12 1 1 2 2 2 n k k n k n k k akk a 111 2 11 2 故 n k n k k ka 11 11 n k n k n k n k k kkkk a 1111 2 111 2 证法三 用柯西不等式 据柯西不等式有 2 1 2 1 1 1 k n k k n ka k a k 两边约去正因式即得 1 1 11 2 11 2 n k n k k n k k n k k kk a ak a n k k 1 1 说明 这题证法很多 除了上述的证法之外还可用比较法 放缩法 增量法 构造法 数学归纳法来证得 读者不妨一试 例 10 W Janous 猜测 设 则0 zyx0 222222 zy zx yx yz xz xy 证法一 用排序原理 考察两组实数及 由对称性 不 222 zyxyxzxzy 妨设 由此则得 zyx 222 zyx 由排序原理 yxzxzy zyzxyx 111 顺序和不小于乱序和 yx y zy z xz x yx z zx y zy x 111111 222222 移项后得0 222222 zy zx yx yz xz xy 证法二 代换法 令 则得 代入后原不等式化为证 wzy vyx uxz 2 1 2 1 2 1 vwuz uwvy wvux 明 由于 即0 wvu w uv v wu u vw v wu u vw v wu u vw 2 用心 爱心 专心9 同理可证 三不等式相加便得w v wu u vw 2 u w uv v wu 2 v w uv u vw 2 wvu w uv v wu u vw 链接 由证法一很容易将 W Janous 猜测推广 设 记0 i xni 2 1 则 n xxxS 21 0 1 22 1 3 2 2 2 3 2 2 1 2 2 xS xx xS xx xS xx n 情景再现 9 设为正数 求证cba cba ab c ac b bc a 333 10 已知都是正数 求证cba 333 888 111 cba cba cba 习题四 A 类 1 设都是正数 且 求证 n aaa 21 2 n n i i a 1 1 n i i n i i i ana a 111 11 1 2 是给定的正整数 求单位圆的内接边形面积的最大值 n3 nn 3 设 满足 证明5 4 3 2 1 2 0 ixi 1sin sinsin 5 2 2 2 1 2 xxx 521521 cos coscos sin sin sin2xxxxxx 4 设是正数 是正整数 证明 n xxx 21 p 1 21 p n pp xxx n p n xxx n 1 21 B 类 5 记的三边长为 求证ABC cba 2 1 cbap pcbpapp p3 6 已知都非负且 求的 n 21 n 21n 2 2 2 1 2 sin sinsin 最大值 7 设 又是的一个排列 n xxx 21n yyy 21n zzz 21n yyy 21 求证 第 17 届 IMO 试题 n i ii n i ii zxyx 1 2 1 2 8 设是三角形的边长 求证 cba 0 222 acaccbcbbaba 用心 爱心 专心10 第 24 届 IMO 试题 C 类 9 设与是任意两组实数 它们满足条件 1 n xxx 21n aaa 21 0 21 n xxx 2 3 为了使不等式1 21 n xxx n aaa 21 2 n 成立 那么数的最小值是多少 12211nnn aaAxaxaxa A 1988 年理科试验班复试试题 10 平面上给定个不同的点 试证 一定可以画一个圆 使圆内恰有个点 而其余nk 个点都在所画的圆外面 kn 附录 1 排序不等式 给定两组实数 如果 n aaa 21n bbb 21n aaa 21 那么 反序和 n bbb 211121 bababa nnn 乱序和 同序和 其中 n inii bababa 21 21nnb ababa 2211 是的一个排列 n iii 21 n 2 1 证明 对于任意 2 1 nhk 111111nkknnk bbaababababa 由此得 所以 我们可将中的第一0 1111 babababa knk n inii bababa 21 21 项的因数与对调 和不会减少 同样可将第二项调为 依次类推即得 1 i b 1 b 22b a 同样可以证明 n inii bababa 21 21nnb ababa 2211 1121 bababa nnn 排序不等式的证明反映了调整的思想 通过调整产生变化并 n inii bababa 21 21 逐渐接近结论同排序不等式可以证明好些其他的重要不等式 例如切比雪夫不等式 平均 不等式 柯西不等式 2 切比雪夫不等式 设有两个有序数组 则 n aaa 21n bbb 21 n bbb n aaa bababa n nn nnn 1 2121 1121 1 1 221nnb ababa n 证明 由排序原理有 nnnn babababababa 22112211 用心 爱心 专心11 132212211 babababababa nnn nnb ababa 2211 相加 即 1121 nnn bababa 111 n i n i ii n i ii baban i n i i n i i n i i ba nn b n a 1 11 1 同样可证 n b n a ba n n i i n i i in n i i 11 1 1 1 3 琴生不等式 若是上凸函数 则对其定义域中的任意个点 恒有 xfn n xxx 21 1 21 21 n n xfxfxf nn xxx f 证明 用数学归纳法 时 不等式显然成立 时 由上凸函数的定义不等1 n2 n 式成立 假设时命题正确 即 2 1 2 21 21 xfxf xx f k n2 当时 2 1 2 2 21 2 21 k k xfxfxf xxx f kk 1 2 k n 2 2 2 1 2 11 222122 21 1 2 21 kkk kkkkk xxxxxx f xxx f 2 1 2 1 2 2 2 1 21 222122 21 1 xfxf xxx f xxx f kkk kkkk 2 1 2 1 21 1222122 1 xfxfxfxfxfxf kk kkkk 这就是说当时 不等式也成立 因此当 1 2122 kkk xfxfxf 1 2 k n 时不等式总成立 k n2 16 8 4 2 接下来我们再证明当时 如果不等式成立 那么当时不等式kn 2 n1 kn 也一定成立 设 令 1 21 21 k k xfxfxf kk xxx f 代入得 1 121 k xxx x k k 用心 爱心 专心12 1 1 121 121 121 k k k xfxfxf kk k xxx xxx f 也就是 1 121 k xxx f k 1 1 21 121 xfxf kk xxx f k 整理便得 1k xf 1 121 k xxx f k 这就是说当时不 1 1 1 121 121 k k xfxfxf kk xxx f1 kn 等式也一定成立 当时不等式成立 大踏步前进 然后又证明 2 2 16 8 4 2 1 kk n 了时成立 必导致时成立 将前面空档回填 因此对任意正整数不等式都成立 k1 k 本节情景再现解答 1 由幂平均不等式 而 0 21 xx 2 sinsin 2 sinsin 21 21 xxxx 因此有 2 sin 2 2 cos 2 sin2 2 sinsin 21 2121 21 xx xxxx xx 此式说明函数在上是上凸函 2 sinsin 2 sinsin 21 21 xxxx xxfsin 0 数 据琴生不等式 最大值为 2 3 3 3 sin3sinsinsin CBA CBA 2 1 4 5 2 3 2 设为任意实数 因 21 x x0 a0 2 2 2 2 21 21 21 xx axx fxfxf 此 故为下凸函数 时同理可证为上凸函数 2 1 2 21 21 xfxf xx f xf0 a 3 容易知道为正实数集上的上凸函数 为任意正实数 据琴生不xxflg n aaa 21 等式 去对数即得 lg lg lg 1 lg 21 21 n n aaa nn aaa 用心 爱心 专心13 当时取等号 n n n aaa n aaa 21 21 n aaa 21 4 1 参考例 5 中 2 有 又 333 222333555 cbacbacba 代入即得所证 abccba3 333 2 与 1 证法相同 5 据幂平均不等式 2 1 22 2 2 2 1 1 1 1 1 n a a a a a a n n 而 n aaa n aaa n a a a a a a nnn n 1 11 1 11 21212 2 1 1 因此 n n aaa n n aaa 1 11 21 21 两 2 1 22 2 2 2 1 1 1 1 1 n a a a a a a n n n n aaa n n aaa 21 21 边平方后即得 6 不妨设 则 注意到是0 21 n aaa 121 11 11 aaaa nn n bbb 1 1 1 21 的一个排列 故由排序原理 反序和 n aaa 1 1 1 21n n a a a a a an 1 11 2 2 1 1 乱序和 即 n n b a b a b a 1 11 2 2 1 1 n b a b a b a n n 2 2 1 1 7 不妨设 由排序原理先得 再得cba cbacbacbacba 222 acbcacbabcbacabcbacbacbacba 222 cbacabacbcacbabcbacbacbacba 以上两不等式相加便得 8 序列与有相同的次序 与有相反次序 而 n xxx 1 2n xxx 1 2 1 1 xxx nn 用心 爱心 专心14 是的一个排序 所以1 2n xxx n xxx 1 2 即 1 1 1 112422nnnnn xxxxxxxxx 1 同样 nn xnxxx 1 1 242 即 1 1 1 1 112nnnnn xxxxxxxxxx 2 1 2 便得所证 本题用平均不等式也可 nnn xnxxxx 1 3 12 证得 9 不妨设 则 cba abacbc 111 ab c ac b bc a ab c c ac b b bc a a 222 cba b bc a ab c ac b ac a bc c ab ab c a ac b c bc a b 222 10 三次用到排序原理 不妨设 则 故0 cba abacbc 111 333 888 cba cba 3 2 3 2 3 2 33 5 33 5 33 5 33 5 33 5 33 5 111111111 b c a b c a cb c ba b ac a ba c ac b cb a cbac c b b ab c c b a a 111111111 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 习题四解答 1 设 由此可得 由切比雪夫 n aaa 21 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 n aaa 不等式 也就是 n a n a a a n n i i n i i i n i i 1 1 1 1 1 1 11 n i i n i i i ana a 111 11 1 2 如图 容易证明当圆内接边形的所有顶点都在某一条直径的同侧时 边形面积不可nn 能取得最大值 设边形顶点不在任何一条直径的同侧 令 n n AAA 21121 OAA 232 OAA nnOA A 1 i 0ni 3 2 1 O A1 A2 A3 An 用心 爱心 专心15 由在上是上凸函数 据琴 sin sin sin 2 1 21nn S 边形 xxfsin 0 生不等式 nnn nn 2 sin sin sin sinsin 2121 当且仅当正边形时取得最大值 n n Sn 2 sin 2 边形 n 3 由已知 即 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 sinsinsinsinsin1xxxxx 再据幂平均不等式得 5 2 4 2 3 2 2 2 1 sinsinsinsincosxxxxx 于是有 2 sinsinsinsin sinsinsinsin 5432 5 2 4 2 3 2 2 2 xxxx xxxx 1 cosx 同理可得关于的同类不等 2 sinsinsinsin 5432 xxxx 5432 cos cos cos cosxxxx 式 五个不等式相加 即得所证 4 由于 由幂平均不等式 得 1 p 22 2121 xxxx p pp p pp xx xx 2 2 1 21 21 该式表明在上是下凸函数 因此有 p xxf 0 pn n xxx 21 1 21 p n pp xxx n 5 注意到是上的上凸函数 从而有xxf 0 cpbpap 另外一个不等式两边平方后 成为一个显然成立的式p cpbpap 3 3 3 子 6 是上凸函数 据琴生不等式xxf 2 sin 0 x n n 2 2 2 1 2 sin sinsin 因此有 对正整数 n n sin 21222 2 2 1 2 sinsin sinsin n n n 再求的最大值 当时 的值分别为 0 2 2 当n 2 sin n n 4 3 2 1 n 2 sin n n 4