高中数学 必修4 第二章 平面向量 复习+练习

高一备课组 高一下期期末复习 授课时间 2017 年 6 月 总 节 1 第二章第二章 平面向量平面向量 学案 学案 一 向量的概念一 向量的概念 1 向量 数学中 我们把既有大小 又有方向的量叫做向量 数量 我们把只有大小没有方向的量称为数量 向量 数学中 我们把既有大小 又有方向的量叫做向量 数量 我们把只有大小没有方向的量称为数量 2 有向线段 带有方向的线段叫做有向线段 有向线段 带有方向的线段叫做有向线段 3 向量的长度 模 向量 向量的长度 模 向量的大小 也就是向量的大小 也就是向量的长度 或称模 的长度 或称模 记作 记作 AB AB AB 4 零向量 长度为 零向量 长度为 0 的向量叫做零向量 记作的向量叫做零向量 记作 0 零向量的方向是任意的 零向量的方向是任意的 单位向量 长度等于单位向量 长度等于 1 个单位的向量 叫做单位向量 个单位的向量 叫做单位向量 5 平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 若向量 平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 若向量 a b 是两个平行向量 那么通常记作是两个平行向量 那么通常记作 a b 平行向量也叫做共线向量 我们规定 零向量与任一向量平行 即对于任一向量 平行向量也叫做共线向量 我们规定 零向量与任一向量平行 即对于任一向量 a 都有 都有 0 a 6 相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 若向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 若向量 a b 是两个相等向量 那么通常记作是两个相等向量 那么通常记作 a b 例例 1 若若 a 为任一非零向量 为任一非零向量 b 为其单位向量 下列各式 为其单位向量 下列各式 a b a b a 0 b 1 b a a 其中正确的是 其中正确的是 A B C D 例例 2 如图四边形如图四边形 ABCD CEFG CGHD 都是全等的菱形 则下列关系不一定成立的是 都是全等的菱形 则下列关系不一定成立的是 A B 与与共线共线 AB EF AB FH C D 与与共线共线 BD EH DC EC 例例 3 如图所示 在菱形如图所示 在菱形 ABCD 中 中 BAD 120 则下列说法中错误的是 则下列说法中错误的是 A 图中所标出的向量中与 图中所标出的向量中与相等的向量只有相等的向量只有 1 个 不含个 不含本身 本身 AB AB B 图中所标出的向量中与 图中所标出的向量中与的模相等的向量有的模相等的向量有 4 个 不含个 不含本身 本身 AB AB C 的长度恰为的长度恰为长度的长度的倍倍 BD DA 3 D 与与不共线不共线 CB DA 二 向量的加 减法二 向量的加 减法 1 已知非零向量 已知非零向量 a b 在平面内任取一点 在平面内任取一点 A 作 作 a b 则向量 则向量叫做叫做 a 与与 b 的和 记作的和 记作 a b 即 即AB BC AC a b ABBCAC 向量的加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 这种求向量的方法称为向量加法的三角形法则 向量的加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 这种求向量的方法称为向量加法的三角形法则 2 对于零向量与任一向量 对于零向量与任一向量 a 我们规定 我们规定 a 0 0 a a 3 公式及运算定律 公式及运算定律 0 a b a b 12231 n A AA AA A 高一备课组 高一下期期末复习 授课时间 2017 年 6 月 总 节 2 a b b a a b c a b c 4 相反向量 相反向量 我们规定 与我们规定 与 a 长度相等 方向相反的向量 叫做长度相等 方向相反的向量 叫做 a 的相反向量 记作 的相反向量 记作 a a 和 和 a 互为相反向量 互为相反向量 我们规定 零向量的相反向量仍是零向量 我们规定 零向量的相反向量仍是零向量 任一向量与其相反向量的和是零向量 即任一向量与其相反向量的和是零向量 即 a a a a 0 如果如果 a b 是互为相反的向量 那么是互为相反的向量 那么 a b b a a b 0 我们定义我们定义 a b a b 即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量 即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量 例例 1 向量 向量 等于 等于 AB MB BO BC OM A B C D BC AB AC AM 例例 2 ABC 中 点中 点 D E F 分别是边分别是边 AB BC AC 的中点 则下面结论正确的是 的中点 则下面结论正确的是 A B 0 0C 0 0D 0 0 AE AD FA DE AF AB BC CA AB BC AC 例例 3 若平行四边形若平行四边形 ABCD 的对角线的对角线 AC 和和 BD 相交于相交于 O 且 且 a b 用 用 a b 表示向量表示向量为 为 OA OB BC A a bB a bC a bD a b 例例 4 已知等腰直角已知等腰直角 ABC 中 中 C 90 M 为斜边中点 设为斜边中点 设 a b 试用向量 试用向量 a b 表示表示 CM CA AM MB CB BA 解 解 三 数乘向量三 数乘向量 1 向量的数乘 一般地 我们规定实数 向量的数乘 一般地 我们规定实数 与向量与向量 a 的积是一个向量 这种运算叫做向量的数乘 记作的积是一个向量 这种运算叫做向量的数乘 记作 a 它 它 的长度与方向规定如下 的长度与方向规定如下 a a 当当 0 时 时 a 的方向与的方向与 a 的方向相同 当的方向相同 当 0 时 的方向与时 的方向与 a 的方的方 向相反 向相反 0 时 时 a 0 2 运算定律 运算定律 ua u a u a a ua a b a b a a a a b a b 3 定理 对于向量 定理 对于向量 a a 0 b 如果有一个实数 如果有一个实数 使 使 b a 那么 那么 a 与与 b 共线 相反 已知向量共线 相反 已知向量 a 与与 b 共线 共线 a 0 且向量 且向量 b 的长度是向量的长度是向量 a 的长度的的长度的 倍 即倍 即 b a 那么当 那么当 a 与与 b 同方向时 有同方向时 有 b ua 当 当 a 与与 b 反方反方 向时 有向时 有 b ua 则得如下定理 向量 则得如下定理 向量 a a 0 与 与 b 共线 当且仅当有唯一一个实数共线 当且仅当有唯一一个实数 使 使 b a 例例 1 点点 C 在线段在线段 AB 上 且上 且 若 若 则 则 等于 等于 AC 2 5AB AC BC A B 2 3 3 2 C D 2 3 3 2 例例 2 在在 ABC 中 已知中 已知 D 为为 AB 边上一点 若边上一点 若 2 则 则 AD DB CD 1 3CA CB 高一备课组 高一下期期末复习 授课时间 2017 年 6 月 总 节 3 O A C B A B 2 3 1 3 C D 1 3 2 3 例例 3 已知已知 G 是是 ABC 内的一点 若内的一点 若 0 求证 求证 G 是是 ABC 的重心 的重心 GA GB GC 四 平面向量基本定理四 平面向量基本定理 1 如果 如果 e1 e2是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任意向量是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任意向量 a 有且只有一对实数 有且只有一对实数 1 使 使 a e1 e2 我们把不共线的向量 我们把不共线的向量 e1 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2 1 2 2 向量 向量 a 与与 b 的夹角 已知两个非零向量的夹角 已知两个非零向量 a 和和 b 作 作 a b 则 则 0 180 叫做向 叫做向OA OB AOB 量量 a 与与 b 的夹角 当的夹角 当 0 时 时 a 与与 b 同向 当同向 当 180 时 时 a 与与 b 反向 如果反向 如果 a 与与 b 的夹角是的夹角是 90 我们说 我们说 a 与与 b 垂直 记作垂直 记作 a b 3 补充结论 已知向量 补充结论 已知向量 a b 是不共线的两个向量 且是不共线的两个向量 且 m n R 若 若 ma nb 0 则 则 m n 0 例例 1 已知向量已知向量 e1 e2不共线 实数不共线 实数 x y 满足 满足 x y e1 2x y e2 6e1 3e2 则 则 x y 的值等于 的值等于 A 3B 3 C 6D 6 例例 2 如图 在如图 在 AOB 中 中 a b 设 设 2 3 而 而 OM 与与 BN 相交于点相交于点 P 试用 试用 a b 表表 OA OB AM MB ON NA 示向量示向量 OP 五 正交分解与坐标表示五 正交分解与坐标表示 1 正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量 叫做把向量正交分解 正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量 叫做把向量正交分解 2 两个向量和 差 的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 差 两个向量和 差 的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 差 即若 即若 a b 11 x y22 xy 则则 a b a b 1212 xxyy 1212 xxyy 3 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 即若 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 即若 a 则 则 a 11 x y11 xy 4 当且仅当 当且仅当 x1y2 x2y1 0 时 向量时 向量 a b b 0 共线 共线 5 定比分点坐标公式 当 定比分点坐标公式 当时 时 P 点坐标为点坐标为12P PPP 1212 11 xxyy 当点当点 P 在线段在线段 P1P2上时 点上时 点 P 叫线段叫线段 P1P2的内分点 的内分点 0 当点当点 P 在线段在线段 P1P2的延长线上时 的延长线上时 P 叫线段叫线段 P1P2的外分点 的外分点 1 当点当点 P 在线段在线段 P1P2的反向延长线上时 的反向延长线上时 P 叫线段叫线段 P1P2的外分点 的外分点 1 0 6 从一点引出三个向量 且三个向量的终点共线 从一点引出三个向量 且三个向量的终点共线 则则 其中 其中 1 OCOAOB 例例 1 1 设向量 设向量 a b 的坐标分别是 的坐标分别是 1 2 3 5 求 求 a b a b 2a 3b 的坐标 的坐标 2 设向量 设向量 a b c 的坐标分别为 的坐标分别为 1 3 2 4 0 5 求 求 3a b c 的坐标 的坐标 例例 2 平面内给定三个向量平面内给定三个向量 a 3 2 b 1 2 c 4 1 1 求满足 求满足 a mb nc 的实数的实数 m n 2 若 若 a kc 2b a 求实数 求实数 k 高一备课组 高一下期期末复习 授课时间 2017 年 6 月 总 节 4 例例 3 已知已知 A B C 三点的坐标分别为 三点的坐标分别为 1 0 3 1 1 2 并且 并且 AE 1 3AC BF 1 3BC 求证 求证 EF AB 例例 4 若向量若向量 a b 1 且 且 a b 1 0 求向量 求向量 a b 的坐标 的坐标 六 数量积 内积 六 数量积 内积 1 已知两个非零向量 已知两个非零向量 a 与与 b 我们把数量 我们把数量 a b 叫做叫做 a 与与 b 的数量积 或内积 的数量积 或内积 记作 记作 a b 即即 a b a b cos 其中 其中 是是 a 与与 b 的夹角 的夹角 a b 叫做向量 叫做向量 a 在在 b 方向上 方向上 b 在在 a 方向上 的投影 我们方向上 的投影 我们cos cos cos 规定 零向量与任一向量的数量积为规定 零向量与任一向量的数量积为 0 2 a b 的几何意义 数量积的几何意义 数量积 a b 等于等于 a 的长度的长度 a 与与 b 在在 a 的方向上的投影的方向上的投影 b 的乘积 的乘积 cos 3 数量积的运算定律 数量积的运算定律 a b b a a b a b a b a b c a c b c a b a 2a b b a b a 2a b b a b a b a b 4 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 即 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 即 a b 则 则 1212 x xy y 若若 a 则 则 a 或 或 a 如果表示向量 如果表示向量 a 的有向线段的起点和中点的坐标分别为的有向线段的起点和中点的坐标分别为 x y 22 xy 22 xy 那么 那么 a a 11 xy 22 xy 2121 xxyy 2121 22 xxyy 设设 a b 则 则 a ba b 0 11 xy 22 xy 1212 0 x xy y 5 设 设 a b 都是非零向量 都是非零向量 a b 是是 a 与与 b 的夹角 根据向量数量积的定义及坐标表示可的夹角 根据向量数量积的定义及坐标表示可 11 xy 22 xy 得 得 1212 2222 1122 cos a bx xy y a bxyxy 例例 1 若若 a 4 b 3 a b 6 则 则 a 与与 b 的夹角等于 的夹角等于 A 150 B 120 C 60 D 30 例例 2 若若 a 4 b 2 a 和和 b 的夹角为的夹角为 30 则 则 a 在在 b 方向上的投影为 方向上的投影为 A 2 B C 2D 4 33 例例 3 已知已知 a 1 b 2 a 与与 b 的夹角为的夹角为 60 c 2a 3b d ma b 若 若 c d 求实数 求实数 m 的值 的值 例例 4 已知已知 a 1 2 b 1 分别确定 分别确定 的取值范围 使得 的取值范围 使得 1 a 与与 b 夹角为夹角为 90 2 a 与与 b 夹角为钝角 夹角为钝角 3 a 与与 b 夹角为锐角 夹角为锐角 本章整合 本章整合 高一备课组 高一下期期末复习 授课时间 2017 年 6 月 总 节 5 第二章第二章 平面向量平面向量 一 向量的概念一 向量的概念 1 向量 数学中 我们把既有大小 又有方向的量叫做向量 数量 我们把只有大小没有方向的量称为数量 向量 数学中 我们把既有大小 又有方向的量叫做向量 数量 我们把只有大小没有方向的量称为数量 2 有向线段 带有方向的线段叫做有向线段 有向线段 带有方向的线段叫做有向线段 3 向量的长度 模 向量 向量的长度 模 向量的大小 也就是向量的大小 也就是向量的长度 或称模 的长度 或称模 记作 记作 AB AB AB 4 零向量 长度为 零向量 长度为 0 的向量叫做零向量 记作的向量叫做零向量 记作 0 零向量的方向是任意的 零向量的方向是任意的 单位向量 长度等于单位向量 长度等于 1 个单位的向量 叫做单位向量 个单位的向量 叫做单位向量 5 平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 若向量 平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 若向量 a b 是两个平行向量 那么通常记作是两个平行向量 那么通常记作 a b 平行向量也叫做共线向量 我们规定 零向量与任一向量平行 即对于任一向量 平行向量也叫做共线向量 我们规定 零向量与任一向量平行 即对于任一向量 a 都有 都有 0 a 6 相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 若向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 若向量 a b 是两个相等向量 那么通常记作是两个相等向量 那么通常记作 a b 例例 1 若若 a 为任一非零向量 为任一非零向量 b 为其单位向量 下列各式 为其单位向量 下列各式 a b a b a 0 b 1 b a a 其中正确的是 其中正确的是 A B C D 答案 答案 D 解析 解析 a 与与 b 大小关系不能确定 故大小关系不能确定 故 错 错 a 与其单位向量平行与其单位向量平行 正确 正确 a 0 a 0 正确 正确 b 1 故 故 错 由定义知错 由定义知 正确 正确 例例 2 如图四边形如图四边形 ABCD CEFG CGHD 都是全等的菱形 则下列关系不一定成立的是 都是全等的菱形 则下列关系不一定成立的是 A B 与与共线共线 AB EF AB FH C D 与与共线共线 BD EH DC EC 答案 答案 C 解析 解析 当菱形当菱形 ABCD 与其他两个菱形不共面时 与其他两个菱形不共面时 BD 与与 EH 异面 故选异面 故选 C 例例 3 如图所示 在菱形如图所示 在菱形 ABCD 中 中 BAD 120 则下列说法中错误的是 则下列说法中错误的是 A 图中所标出的向量中与 图中所标出的向量中与相等的向量只有相等的向量只有 1 个 不含个 不含本身 本身 AB AB 高一备课组 高一下期期末复习 授课时间 2017 年 6 月 总 节 6 B 图中所标出的向量中与 图中所标出的向量中与的模相等的向量有的模相等的向量有 4 个 不含个 不含本身 本身 AB AB C 的长度恰为的长度恰为长度的长度的倍倍 BD DA 3 D 与与不共线不共线 CB DA 答案 答案 D 解析 解析 易知易知 ABC 和和 ACD 均为正三角形 对于均为正三角形 对于 A 向量 向量 对于 对于 B AB DC AB DC DA CB CA 对于对于 C BAD 是顶角为是顶角为 120 的等腰三角形 则的等腰三角形 则 对于 对于 D 成立 故成立 故 D 是错误的是错误的 BD 3 DA CB DA 二 向量的加 减法二 向量的加 减法 1 已知非零向量 已知非零向量 a b 在平面内任取一点 在平面内任取一点 A 作 作 a b 则向量 则向量叫做叫做 a 与与 b 的和 记作的和 记作 a b 即 即AB BC AC a b ABBCAC 向量的加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 这种求向量的方法称为向量加法的三角形法则 向量的加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 这种求向量的方法称为向量加法的三角形法则 2 对于零向量与任一向量 对于零向量与任一向量 a 我们规定 我们规定 a 0 0 a a 3 公式及运算定律 公式及运算定律 0 a b a b 12231 n A AA AA A a b b a a b c a b c 4 相反向量 相反向量 我们规定 与我们规定 与 a 长度相等 方向相反的向量 叫做长度相等 方向相反的向量 叫做 a 的相反向量 记作 的相反向量 记作 a a 和 和 a 互为相反向量 互为相反向量 我们规定 零向量的相反向量仍是零向量 我们规定 零向量的相反向量仍是零向量 任一向量与其相反向量的和是零向量 即任一向量与其相反向量的和是零向量 即 a a a a 0 如果如果 a b 是互为相反的向量 那么是互为相反的向量 那么 a b b a a b 0 我们定义我们定义 a b a b 即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量 即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量 例例 1 向量 向量 等于 等于 AB MB BO BC OM A B C D BC AB AC AM 答案 答案 C 解析 解析 原式原式 0 AB BC MB BO OM AC AC 例例 2 ABC 中 点中 点 D E F 分别是边分别是边 AB BC AC 的中点 则下面结论正确的是 的中点 则下面结论正确的是 A B 0 0C 0 0D 0 0 AE AD FA DE AF AB BC CA AB BC AC 答案 答案 D 例例 3 若平行四边形若平行四边形 ABCD 的对角线的对角线 AC 和和 BD 相交于相交于 O 且 且 a b 用 用 a b 表示向量表示向量为 为 OA OB BC A a bB a bC a bD a b 答案 答案 B 解析 解析 解法一 解法一 2 a b 解法二 解法二 BC BA AC OA OB OA OA OB b a a b BC OC BC 例例 4 已知等腰直角已知等腰直角 ABC 中 中 C 90 M 为斜边中点 设为斜边中点 设 a b 试用向量 试用向量 a b 表示表示 CM CA AM 高一备课组 高一下期期末复习 授课时间 2017 年 6 月 总 节 7 MB CB BA 解 解 如图所示 如图所示 a b AM CM CA a b MB AM b 2 CB CA AB AM b 2a 2b 2a b 2 2 a b BA AM 2b 2a 三 数乘向量三 数乘向量 1 向量的数乘 一般地 我们规定实数 向量的数乘 一般地 我们规定实数 与向量与向量 a 的积是一个向量 这种运算叫做向量的数乘 记作的积是一个向量 这种运算叫做向量的数乘 记作 a 它 它 的长度与方向规定如下 的长度与方向规定如下 a a 当当 0 时 时 a 的方向与的方向与 a 的方向相同 当的方向相同 当 0 时 的方向与时 的方向与 a 的方的方 向相反 向相反 0 时 时 a 0 2 运算定律 运算定律 ua u a u a a ua a b a b a a a a b a b 3 定理 对于向量 定理 对于向量 a a 0 b 如果有一个实数 如果有一个实数 使 使 b a 那么 那么 a 与与 b 共线 相共线 相 反 已知向量反 已知向量 a 与与 b 共线 共线 a 0 且向量 且向量 b 的长度是向量的长度是向量 a 的长度的的长度的 倍 即倍 即 b a 那么当 那么当 a 与与 b 同方向时 有同方向时 有 b ua 当 当 a 与与 b 反方向时 有反方向时 有 b ua 则得如下定理 向量 则得如下定理 向量 a a 0 与 与 b 共线 当且仅当有唯一一个实数共线 当且仅当有唯一一个实数 使 使 b a 例例 1 点点 C 在线段在线段 AB 上 且上 且 若 若 则 则 等于 等于 AC 2 5AB AC BC A B 2 3 3 2 C D 2 3 3 2 答案 答案 C 解析 解析 故选故选 C AC 2 5AB 2 5 AC CB AC 2 3CB 2 3BC 2 3 例例 2 在在 ABC 中 已知中 已知 D 为为 AB 边上一点 若边上一点 若 2 则 则 AD DB CD 1 3CA CB A B 2 3 1 3 C D 1 3 2 3 答案 答案 A 解析 解析 解法一 解法一 A D B 三点共线 三点共线 1 解法二 解法二 1 3 2 3 2 AD DB AD 2 3AB CD CA AD CA 2 3AB CA 2 3 CB CA 故选 故选 A 1 3CA 2 3CB 1 3CA CB 2 3 例例 3 已知已知 G 是是 ABC 内的一点 若内的一点 若 0 求证 求证 G 是是 ABC 的重心 的重心 GA GB GC 解 解 如图 如图 0 GA GB GC 高一备课组 高一下期期末复习 授课时间 2017 年 6 月 总 节 8 GA GB GC 以以 为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形 BGCD 则 则 GB GC GD GB GC GD GA 又又 在平行四边形在平行四边形 BGCD 中 中 BC 交交 GD 于于 E BE EC GE ED AE 是是 ABC 的边的边 BC 的中线 且的中线 且 2 GA GE G 为为 ABC 的重心 的重心 四 平面向量基本定理四 平面向量基本定理 1 如果 如果 e1 e2是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任意向量是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任意向量 a 有且只有一对实数 有且只有一对实数 1 使 使 a e1 e2 我们把不共线的向量 我们把不共线的向量 e1 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2 1 2 2 向量 向量 a 与与 b 的夹角 已知两个非零向量的夹角 已知两个非零向量 a 和和 b 作 作 a b 则 则 0 180 叫做向 叫做向OA OB AOB 量量 a 与与 b 的夹角 当的夹角 当 0 时 时 a 与与 b 同向 当同向 当 180 时 时 a 与与 b 反向 如果反向 如果 a 与与 b 的夹角是的夹角是 90 我们说 我们说 a 与与 b 垂直 记作垂直 记作 a b 3 补充结论 已知向量 补充结论 已知向量 a b 是不共线的两个向量 且是不共线的两个向量 且 m n R 若 若 ma nb 0 则 则 m n 0 例例 1 已知向量已知向量 e1 e2不共线 实数不共线 实数 x y 满足 满足 x y e1 2x y e2 6e1 3e2 则 则 x y 的值等于 的值等于 A 3B 3 C 6D 6 答案 答案 C 解析 解析 由由 解得 解得 x y 6 故选 故选 C 6 23 xy xy 3 3 x x 例例 2 如图 在如图 在 AOB 中 中 a b 设 设 2 3 而 而 OM 与与 BN 相交于点相交于点 P 试用 试用 a b 表表 OA OB AM MB ON NA 示向量示向量 OP 解 解 OM OA AM OA 2 3AB OA 2 3 OB OA a b a a b 2 3 1 3 2 3 与与共线 令共线 令 t OP OM OP OM 则则 t OP 1 3a 2 3b 又设又设 1 m m a 1 m mb OP ON OB 3 4 Error Error Error a b OP 3 10 3 5 五 正交分解与坐标表示五 正交分解与坐标表示 1 正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量 叫做把向量正交分解 正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量 叫做把向量正交分解 2 两个向量和 差 的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 差 两个向量和 差 的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 差 即若 即若 a b 11 x y22 xy 则则 a b a b 1212 xxyy 1212 xxyy 3 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 即若 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 即若 a 则 则 a 11 x y11 xy 高一备课组 高一下期期末复习 授课时间 2017 年 6 月 总 节 9 O A C B 4 当且仅当 当且仅当 x1y2 x2y1 0 时 向量时 向量 a b b 0 共线 共线 5 定比分点坐标公式 当 定比分点坐标公式 当时 时 P 点坐标为点坐标为12P PPP 1212 11 xxyy 当点当点 P 在线段在线段 P1P2上时 点上时 点 P 叫线段叫线段 P1P2的内分点 的内分点 0 当点当点 P 在线段在线段 P1P2的延长线上时 的延长线上时 P 叫线段叫线段 P1P2的外分点 的外分点 1 当点当点 P 在线段在线段 P1P2的反向延长线上时 的反向延长线上时 P 叫线段叫线段 P1P2的外分点 的外分点 1 0 6 从一点引出三个向量 且三个向量的终点共线 从一点引出三个向量 且三个向量的终点共线 则则 其中 其中 1 OCOAOB 例例 1 1 设向量 设向量 a b 的坐标分别是 的坐标分别是 1 2 3 5 求 求 a b a b 2a 3b 的坐标 的坐标 2 设向量 设向量 a b c 的坐标分别为 的坐标分别为 1 3 2 4 0 5 求 求 3a b c 的坐标 的坐标 解 解 1 a b 1 2 3 5 1 3 2 5 2 3 a b 1 2 3 5 1 3 2 5 4 7 2a 3b 2 1 2 3 3 5 2 4 9 15 2 9 4 15 7 11 2 3a b c 3 1 3 2 4 0 5 3 9 2 4 0 5 3 2 0 9 4 5 5 8 例例 2 平面内给定三个向量平面内给定三个向量 a 3 2 b 1 2 c 4 1 1 求满足 求满足 a mb nc 的实数的实数 m n 2 若 若 a kc 2b a 求实数 求实数 k 解 解 1 a mb nc 3 2 m 1 2 n 4 1 m 4n 2m n Error 解得 解得Error 2 a kc 2b a 又又 a kc 3 4k 2 k 2b a 5 2 2 3 4k 5 2 k 0 k 16 13 例例 3 已知已知 A B C 三点的坐标分别为 三点的坐标分别为 1 0 3 1 1 2 并且 并且 AE 1 3AC BF 1 3BC 求证 求证 EF AB 解 解 设设 E x1 y1 F x2 y2 依题意有 依题意有 2 2 2 3 4 1 AC BC AB 因为因为 所以 所以 AE 1 3AC AE 2 3 2 3 因为因为 所以 所以 BF 1 3BC BF 2 3 1 因为 因为 x1 1 y1 所以 所以 E 2 3 2 3 1 3 2 3 因为 因为 x2 3 y2 1 所以 所以 F 2 3 1 7 3 0 EF 8 3 2 3 又因为又因为 4 1 0 所以 所以 2 3 8 3 EF AB 例例 4 若向量若向量 a b 1 且 且 a b 1 0 求向量 求向量 a b 的坐标 的坐标 解 解 设设 a m n b p q 则有则有Error 解得 解得Error 或或Error 故故 a b 或 或 a b 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 高一备课组 高一下期期末复习 授课时间 2017 年 6 月 总 节 10 六 数量积 内积 六 数量积 内积 1 已知两个非零向量 已知两个非零向量 a 与与 b 我们把数量 我们把数量 a b 叫做叫做 a 与与 b 的数量积 或内积 的数量积 或内积 记作 记作 a