武汉大学数学物理方法2_3其它柱函数

2 3 2 3 其他柱函数其他柱函数其他柱函数其他柱函数 一 三类柱函数一 三类柱函数 1 第一类 柱函数 第一类 柱函数 Bessel函数 定义 2 0 1 1 2 k k k x Jx kk 为第一类柱函数 当时 已证 和线性无关 n Jx Jx 2 第二类 柱函数 第二类 柱函数 Neuman函数 无论与否 和均为 阶Bessel方程的线性无关解 即 若 则 定义 1 为第二类柱函数 cos2 sin v JxJx Nx n Jx Nx yA JxB Nx n 1 cos sin NxJxJx JxJx 1 cos sin Jx Jx 常数 cos lim sin sin cos lim cos 1 1 n n n n n JxJx Nx JJ Jx JxJx i i 若 则n 2 2 1 1 1 22 on n n JxJx Nx 2 此时 cos 1 0 sin0 n nn n n JxJx NxNx n 2 1 0 21 1 2 ln 2 2 k n n o nn k xn kx NxJx k 2 0 1 1 1 1 2 k n k k x knk knk 3 11 1 0 577216 1 1 2 k k 这只需将的级数表达式代入 2 式进行冗长的计算即可得到 V Jx 是方程 的解 而只要证明 2 满 足 即可 3 o n Nx 222 0 x JxxJxxJx 将上式分别对求导得 2 222 2 2 222 2 2 0 2 0 JxJxJxdd xxxJxA dxdx JxJxJxdd xxxJxB dxdx 与线性无关 4 o n Nx 2 0 1 1 2 k k k x Jx kk 由 2 00 2 0 1 1 2 0 1 k k x k n x Jx k Jxn 1 1 n AB ii 并令 n 222 0 nnn x NxxNxxnNx 当大不一样 即和 线性无关 0 x n n Nx Jx n Nx n Jx 注 注 无论并否 在中 的有限 解为 0 x Nx 0a yJx 00 0 22 lnln 22 1 1 2 x n n xx NxJx nx Nxn 由 3 第三类 柱函数 第三类 柱函数 Hankel函数 定义 第三类 4 1 2 HxJxiNx HxJxiNx 无论与否n 和是 线性无关解 和线性无关 且均为 的解 1 Hx 2 Hx J H 4 三类柱函数的关系 三类柱函数的关系 1 2 Hx Hx Jx Nx 互相均线性无关 1 2 Hx Hx Jx Nx 互相之间的关系如同 cos sin ix ix e e x x 之间的关系 1 2 cossin cos sin ix ix HxJxiNxexix HxJxiNxex ix 12 cos 22 ixix HHee Jxx 12 sin 22 ixix HHee Nxx ii 二 球贝塞尔函数二 球贝塞尔函数 1 球 球Bessel方程及其解 方程及其解 2 2 2 22 22 0 1 0sin1 0 sinsin 2 1 0 u R r rn ddm uul l dd dR r Rrk rl lRk dr 5 令令 令则 xkr yR r 1d Rd yd xd y d rd xd rkd x 22 2 1 0 x yxyxl ly 6 1 y xv x x 2 22 1 0 2 x vxvxlv x 7 由于 7 具有与Bessel方程相同的形式 故 5 6 均称为球Bessel方程 对比方程 故知 7 的有解 1111 2222 1 2 llll JxNxHxHx 而 6 有解 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 l l l l Jx x Nx x Hx x Hx x 2 球 球Bessel函数 函数 定义 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 l l l l l l lll lll j xJxlBessel x n xNxlNeuman x nxHxj xin x x nxHxj xin x x 阶球 阶球 l阶球 Hankel函 函数 函数 均为球Bessel方程 6 的线性无关解 1 2 llll x n x hx hx 三 虚宗量的三 虚宗量的Bessel函数 函数 1 虚宗量 虚宗量Bessel方程的解 方程的解 0 0 u RZ z u uu 2 21222 0 0 0 8 ZZ n RRknR 令则 22 xky xRn dRdy dx dldx d 222 0 x yxyxy 若 0 则记 2 k 此时 8 222 0 x yxyxy 9 称之为虚宗量Bessel方程 222 0 9 Z ix Z yzyZy 令令 阶Bessel方程 9 有特解 yJixNix yA JixB Nix 通通 2 虚宗量柱函数 虚宗量柱函数 定义 Ixi Jix Ixi Jix 第一类虚宗量柱函数 则 当时 n o 1 yA IxB Ix 通通 o 2时 n nn IxIx 1 nn n nnn Ixi Jixi Jix 1 nn n nnn Ix